数学中的求“同”存“异”

肖旭平

摘要：数学考试作为检验学生数学能力的高低，了解同学们现有的解题水平的考试，十分注重学生的解题思维。依据现在新课标的改革，除了让学生能有扎实的数学基础之外，培养学生的创新能力，创新思维也提到了现在教学的日程之上，而实现这一切的途径，可通过解题才可以。在解题的过程中，培养学生们求同存异的思维，通过总结归纳，在总结一类题型当中共同的一部分，使用自己扎实的数学基础，找到一些比较新颖的解法，锻炼学生们的创新思维，提高综合素质。

关键词：求同存异;创新思维;解题方向

求同存异思维，是我们在数学学习当中相当重要的解题思维，通过对比部分试题之间的差异性和共同性，来拓宽学生们的思维，发散思维，以最快速度找到问题的突破点，进而解决问题。但是平时的教学当中学生们在遇到比较困难的问题，或者是稍微比之前的常规问题多出一点点变化的时候，往往会出现手足无措的茫然感觉，感觉无从下手，究其原因，是学生的思维非常的僵硬，见过的题型不多。要知道数学知识具有相当强的灵活性，一个小小的知识点，就可以衍生出相当多不同的题目，这就需要学生们在解题的过程当中，寻找这些题目的共性，或者是寻找一道题目中的不同解题方法，把握住当中的核心脉络，真正吃透一道题，同样也可以举一反三，提升解题效率。

一、同一道题用不同思路解决

（一）例题

例如：已知函数f（x）=ax3 -3x2+1，若f（x）存在唯一的零点X0，且X0>0，则a的取值范围为（ ）

A.（2， +∞） B. （-∞，-2）

C.（1， +∞） D.（-∞，-1）

（二）不同解法

解法一：求导得f（x）=3ax2-6x=3x（ax2-2），若a=0，则f（x）=-3x2+1，不合题意，舍去：若a≠0，令f （x）=0解得x=0或x=2/a。

当a<0时，可以得到f（x）在（-∞，2/a） 上呈现的趋势是单调递减。在（2/a，0）上则是单调递增的趋势，在（0，+∞）上单调递减，结合f（x）的图像，只需有f（2/a）>0.解得a<2.

当a>0时，可以得到f（x）在（-∞，0）上单调递增，由f（-1）=-a-2<0，f（0）=1>0，知f（x）在（-1.0）上有零点，不合题意，舍去：

综上所述，a的取值范围为（-∞，-2），因此答案选择B。

解法二：由题意知，方程ax3-3x2+1=0与x轴正半轴有且仅有一个交点，所以x≠0，则a= -（1/x3）+3/x.令t=1/x≠0，等价于方程a=-t3+3t（t≠0）有唯一正根，来做出关于a的图像，数形结合，a的取值范围为（-∞，-2），答案选择B.

解法三：取a=3，f（x）=3x3-3x2+1，检验知不合题意，排除A，C;取a=-4/3，f（x）=-4/3（X3） -3x2+1，所以ACD都不是正确答案，选择B

（三）解法分析

解法一：通过求导，得出一个新的方程，代入题内的已知条件，排除一种可能，随后，用导数的性质来判断原图像的走势，最终得出结论。

解法二：运用了数形结合的思维，先是通过对于题意的判断，得出来了X≠0的结果，其次再用等效替换法，设出了一个新的方程，并且通过数形结合，来达到解题的目的。

解法三：这也是最简单的一种方法，将选择题所给的答案带入到题中去，进而判断出哪一个更符合题意。

（四）解法反思

解法一的特点就是中规中矩，也是这一类题型当中比较常用的思路，通过求导来构建新的方程，并且通过导数的性质来判断，进而得出答案，但是缺点就是运算量太大，需要学生具有良好的逻辑思维能力，并且还要具备完善的数学知识体系，扎实的数学功底才能够解决这一类问题。

解法二更需要学生拥有天马行空的想象力，能够准确地运用构造方程，数形结合的思维，比起第一种来更为的简单，但是对学生的数学水平要求极高。

解法三角度出奇，通过带入题中所给的答案，来判断哪一个更符合题意，这样的方式更适合那些基础薄弱的学生，同样也是一种取向的方法，只能运用在选择题。

由此可知，通过对一道相对基础的题型进行不同角度的解法，不仅可以拓寬了同学们的创新思维，也能从多个方面理解知识的含义，对于课本上的知识理解得更清晰，更透彻，解题思路瞬间扩大，思维更为的活跃，也可以从这多种类型的解题思路当中，进行求同存异，把握住核心脉络，进行对知识的剖析，掌握住重点，不仅减少了学生的学习任务，学习起来更轻松，也更让学生对于这门课程充满兴趣，提升了学生的综合素质。

二、结语

数学学科与其他的学科不同，需要一定的逻辑思维能力，学生们在学习数学的过程当中，不仅要掌握扎实的数学知识基础，还需要拥有天马行空的解题思维，在解决数学问题当中，学会求同存异，通过同一种题型的不同解决方法，找到其核心脉络，拓展自己的解题思维，教师在教学途中同样也要刻意地培养这一种思维能力，引导学生们去主动思考，下意识的主动去思索每一道题的核心，深入的理解课本上的知识，在做题的时候灵活应用，甚至举一反三，扩展学生们对于解题的思维，提升他们对于数字的敏感度，适应当今社会对于他们新的要求，严格要求自己，真正能够全方位的成长，提高他们的综合素质。

参考文献：

[1]毛丽敏，王强.高中数学创新思维能力的培养分析[J].中华少年，2020

（15）：184+187.

[2]刘世忠.高中数学创新思维能力的培养分析[J].中学课程辅导（教师教育），2020（10）：40+43.