一道模拟题引发的关于几何作图的思考

翟梅

摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学。发展学生的空间观念和几何直观是数学课程的重要目标。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要的作用。因此，历年全国各地的中考试题，都离不开对几何作图的考查。本文基于2019年各地中考对尺规作图的考查研究，反思笔者自身的教学实践，关于几何作图教学作出一些思考。

关键词：几何作图  尺规作图中的数学思维  无刻度直尺作图  中考

在我校九年级的一次模拟考试中有一道习题，评析完题目后我产生了一些思考，并记录下来，以期与大家分享。模拟考试形式和往年安徽中考形式一致，此题是第14题，即填空题的压轴题，这是一道常规的折叠后多情况分类讨论题。

一、原题呈现

如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得到△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为    。

二、题目解析

由折叠可知DF=DC=AB=6，AD=4，所以AD≠DF，若△AFD是等腰三角形，则有AF=DF或者AF=AD.

情况一：当AF=DF时，此时点F在线段AD的中垂线上，很容易画出此时的图形（如图2），只要作出等腰△AFD底邊AD上的高FM，则可证△DMF∽△PCD，则有MDDF=PCDP，即DP=3PC，再由DP2=PC2+DC2，可得DP=922;

情况二：当AF=AD时，此时F点在矩形ABCD外，如图3所示，只要作出等腰△AFD底边DF上的高AN，此时DN=12DF=3，又可证△DNA∽△PCD，则有DNDA=PCDP，即DP=43PC，再由DP2=PC2+DC2，可得DP=2477;

三、问题发现

这是一道综合题，表面上看考查了折叠、相似、等腰三角形、勾股定理等知识，然而学生答题情况很不理想。笔者课后做了大量的调查发现，学生基本上都知道两种情况，多数求出了情况一，但对情况二当AF=AD时，感觉难度很大，普遍反映无法判断F点是在矩形内还是矩形外，因而画不出正确的图形，从而无法解答。

实际上，当AF=AD时，△AFD的三边分别为：AF=AD=4，DF=6。这是一个确定的三角形，完全可以获得较为精确的图像。在评讲时，我请学生思考，不妨设本题长度单位是厘米，那么可否作出较为精确的图形呢？很快大家回忆起三边长确定的三角形的作图方法，即以A为圆心，AD长为半径画弧，再以D为圆心，DC长为半径画弧，两弧交点即为F点，如图4所示。

教师要认识到学生的作图能力才是关键，并且本题的这个作图要求完全符合课程标准里对学生作图能力的要求。

四、中考分析

安徽往年的中考作图题一直比较青睐网格作图，如图形的平移、对称、位似等，比较简单，其实并没有最大限度地发挥网格的特点。应该说网格作图能够保留图形自身的几何特性，网格自身的位置及数量的特殊性又赋予了图形一些特殊关系，进而使几何图形的性质得以特殊化、数量化。在构图时网格中的格点，提高了解题的灵活性和创造性，给了学生多角度探究的空间。因此，网格作图题目的设计还有很大的挖掘空间。而尺规作图，安徽中考在2018年首次考查，可谓一石激起千层浪，终于使得尺规作图进入了一线教师们的视野。但是纵观全国其他地区的中考，早已涉及无刻度直尺作图。这些命题的变化透露出来的信息对于一线教学都具有一定的意义。

笔者梳理了2019年各地中考对几何作图的考查情况，有的简单直接，有的含蓄委婉，可谓是推陈出新、精彩纷呈。下面是笔者作的一些简单梳理。

（一）直接考查五种基本尺规作图

记忆基本尺规作图方法即可，一般要求学生保留作图痕迹，不要求写作法。典型试题有2019年江苏泰州中考第20题、2019年江苏盐城中考第21题。

（二）无指定工具要求的作图

一般为网格作图，但不再停留在基本图形变换上，需要学生借助于已有的知识进行分析思考再加工。比如2019年安徽中考第16题、2019年浙江金华中考第20题。

（三）限制只能使用无刻度直尺作图

要求仅用无刻度直尺作图，每一步作图都应遵循“两点确定一条直线”原理，是中考考查重点和热点，涌现了许多新题型。比如2019年浙江嘉兴、舟山中考第20题，2019年江苏无锡中考第26题，2019年天津中考第18题，2019年湖北武汉中考第20题，2019年江西中考第15题。

（四）需要自己画图的几何题

题目设计时不提供图形，或者是图形不确定、是变化的，则需要学生绘制直观的图形来寻找解题途径。比如2019年四川绵阳中考第17、18题，2019年江苏南京中考第16题等。

五、个人思考

2019年11月29日，教育部宣布取消初中学业水平考试大纲，安徽地区的师生们也将面临无考纲备考的挑战。那么，没有考纲的我们如何应对几何作图这部分的教学呢？

首先，回归课标。

在课程标准里并没有详细罗列如何进行几何作图的教学，但是课程标准告诉我们数学是研究数量关系和空间形式的科学。总结课程标准中对尺规作图的要求，那就是“会做”和“明理”。

要想“明理”，在教学中就不能把尺规作图作为一种技能去教，学生不仅要理解凝结在作图中的数学逻辑和思维脉络，还要在此基础上自主探究画法。比如“角平分线的尺规作图”，很多教师认为这没什么需要探究的，让学生直接学习作法更高效，殊不知这种看似高效的做法恰恰跳过了最重要的思维提升良机。

笔者在教学时就通过一些问题引导学生开动脑筋，让学生自己思考解决问题的办法，过程如下：

问题1：∠AOB的平分线是什么图形？

问题2：怎么确定一条射线？

问题3：这条射线有什么特别的性质？

问题4：根据我们的经验，在怎样的条件下会出现两个相等的角？

问题5：怎样创造想要的条件？

学生通过合作交流，很容易想到以O为圆心、任意长为半径画弧，从而构造以∠AOB的顶点O为顶角顶点的等腰三角形OMN（如图5），然后作MN的中点，就可以利用三线合一找到角的平分线。

问题6：怎样用尺规作图找到MN的中点？

学生很快想到作MN的中垂线即可（如图6）。然后笔者和学生一起简化了过程，C、D两点只需作出图中交点C即可。

笔者认为经过这样的思考，学生能够深刻理解凝结在作图中的数学逻辑和思维脉络，可以“明理”。

其次，回归课本。

沪科版的教材很重视几何作图的渗透。教师只要仔细研究，就会发现很多几何作图教学的好机会。

例如，在八年级上册第14章《全等三角形》中，就经常需要作图。在探究三角形全等判定方法初始，教材里安排的“操作”，就是通过简单的工具作图，明确“只给定三角形的一个或两个元素不能完全确定一个三角形的形状、大小”。而接下来所有判定方法的得出都是以尺规作图“探究”引入的。笔者在进行这部分内容的教学时，并不急于告知学生判定方法，而是让学生逐个作图。这部分即课标中的要求“用基本作图完成已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形”。学生通过作圖也加深了对“边边角”不能证明全等的理解。因此，第14章《全等三角形》不单单是学习三角形的全等判定，更重要的是也完成了对尺规作图基本方法的再次练习。再比如八年级下册第19章《四边形》中，平行四边形的判定定理2、3也都是利用尺规作图的方法获得的。课后习题19.2也有诸多练习是需要作图辅助解决的。教师一定要充分挖掘教材，将知识串联起来，站在更高的高度教学。

最后，回归课堂。

数学课堂一定是有思维深度的课堂。随着教育教学改革的深入发展，以及核心素养理念的提出，对学生思维能力的培养愈发受到广泛的关注。数学课堂更应该关注思维教学，使学生的思维运作方式产生结构性变化，思维结构得以优化，从而形成良好的思维品质。像文中提到的2019年各地中考考查的无刻度直尺作图，它是不可能依靠大量的题海战术解决的。教师只有立足关注思维的数学课堂，才能提高教学的效率，使学生学会用数学的眼光看世界，用数学的思考方法解决问题。

以上是笔者的一些粗浅之见，期待和大家交流。