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关于各项异性Heisenberg群上几个不等式、定理、原理的探究

2021-04-25王胜军

关键词:恒等式广义算子

王胜军

(青海师范大学 数学与统计学院,青海 西宁 810008)

1 引言

文献[1]首先建立Heisenberg群上的Picone恒等式

(1)

其中:u≥0,v>0,同时u,v是可微函数.接着建立了Heisenberg群上的Hardy不等式

(2)

(3)

最近,文献[3]在欧式空间上,关于p-laplace算子给出了如(4)式的更加一般的Picone恒等式

(4)

本文首先使用类似文献[3]的方法将公式(4)推广到各项异性Heisenberg群上,得到一类广义Picone型恒等式(这个结果包含了公式(1));接着利用这个结果,使用类似于文献[4]的方法建立了各项异性Heisenberg上的广义Hardy型不等式(得到了类似公式(3)的结果),建立了各项异性Heisenberg群上的Barta不等式、广义Liouville型定理及广义Sturmian比较型定理.

下面陈述了有关各项异性Heisenberg群的一些基本知识,更多详细的内容以及证明可参考文献[2]、文献[4]-[7]及其中的参考文献.

(ξ,t)=(ξ1,ξ2,…,ξ2n,t),(η,s)=(η1,η2…,η2n,s)∈R2n+1.对于(x,y,t)∈R2n+1,x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn),下列向量场

(5)

构成了其李代数的基底.容易得到向量场X1,…,Xn,Y1,…,Yn满足Heisenberg交换关系

而且是左不变的.

由(5)式中的向量场X1,…,Xn,Y1,…,Yn构成H(a)上的次Laplace算子

(6)

是亚椭圆的和左不变的,相应的水平梯度和散度分别为

▽H=(X1,…,Xn,Y1,…,Yn),

H(a)上的p次Laplace算子形为

相应于(6)式中的算子△H的一族各项异性的伸缩为

δτ(x,y,t)=(τx,τy,τ2t),τ>0,(x,y,t)∈R2n+1.

(7)

由(7)式诱导的拟距离为

2 各项异性Heisenberg群p-退化椭圆算子的一类广义Picone恒等式

下文中,总是假设g满足下列条件,g:(0,∞)→(0,∞)是局部Lipchitz函数,且在(0,∞)上

(8)

几乎处处成立.

定理2.1(广义Picone恒等式)若10,且g满足(8)式,设

则L(u,v)=R(u,v)≥0.而且在Ω上L(u,v)=0几乎处处成立的充要条件是在Ω上u=kv几乎处处成立,其中k∈R.

证明直接计算

得到L(u,v)=R(u,v).应用Young不等式及(8)式,有

这样L(u,v)=R(u,v)≥0.

由以下三个等式同时成立,

L(u,v)=R(u,v),

可以得到:

(9)

当v∈ω,由(9)得到

从而,有

(10)

当v∈ωc,设

由L(u,v)=0,得

上式中,取g(v)=vp-1,得

(11)

注2.1 在定理2.1中,当Ω=H(a)时,结论仍然成立.

注2.2 在定理2.1中,取g(v)=vp-1,u≥0,得到(1)式.

3 各项异性Heisenberg群上的广义Hardy型不等式、Barta型不等式、广义Liouville型定理及广义Sturmian比较型定理

定理3.1(广义Hardy型不等式)若v∈C1(H(a)),在Ω上v>0,并且满足

-△H,pv≥λhg(v),

(12)

等号成立的必要条件是u=kv.

令φ→u,就得到(12).由以上推导知道

2.2 两组患者治疗前后胎儿生长指标比较 治疗前,两组患者孕20周时胎儿BPD及FL比较,差异无统计学意义(P>0.05);治疗后,用药8周后胎儿BPD及FL显著高于治疗前(P<0.05),且治疗组明显高于对照组(P<0.05)。见表2。

利用定理3.1,取g(v)=vp-1,容易得到类似于文献[2]中的Hardy不等式.

定理3.3(Barta型不定式)若v满足(12)及其条件,则下列不等式成立

等号成立时,有u=kv.

证明设

由定理3.1,得到

定理3.4(Liouville型定理)若c>0,g满足(8),则不等式

-ΔH,Pv≥cg(v)

(13)

证明假定v是(13)的一个正解,φ1是相应于第一特征值λ1(Ω)的第一特征函数且λ1(Ω)

从而,得到

这是一个矛盾式,故定理3.4得证.

u=0,ξ∈∂Ω

的一个正解,则方程

-△H,pv=f2(ξ)g(v),ξ∈Ω

v=0,ξ∈∂Ω

(14)

的任意非平凡解一定改变符号.

证明假设v>0是(14)的一个解,由广义Picone恒等式,有

这是一个矛盾式.因此假设错误.即v在Ω上改变符号.

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