关于模的t-补子模

李煜彦

(陇南师范高等专科学校 数信学院,甘肃 陇南 742500)

0 引言及预备知识

Extending模及其各种推广在环模理论中占据了很重要的位置，其相关内容已经被许多作者研究过[1-4].称M是extending模，如果M的每个补子模(等价地，闭子模)是M的直和因子.2007年，Birkenmeier和Tercan[5]利用补子模考虑并研究了具有弱C1条件的模，并称其为C11-模.称M是C11-模，如果对任意N≤M，存在M的直和因子K，使得K是N在M中的补.近年来，相关于挠理论的extending模类受到一些作者的关注，其中一些作者借助于Gomez Pardo[6]在1985年提出的τ-本质子模的概念，进一步丰富了extending模的研究范畴(τ表示遗传挠理论).2012年，Çeken和Alkan[7]利用τ-本质子模引入了τ-闭子模和τ-extending模的概念，研究了τ-extending模的性质及直和，证明了模M的τ-闭子模和τ-补子模是等价的.2011年，Asgari和Haghany[8]从Goldie挠理论的角度引入了t-闭子模和t-本质子模的概念，研究了t-extending模和t-Baer模之间的关系.随后，2013-2019年期间Asgari和Haghany[9-12]利用t-本质子模和t-extending模又相继研究了t-半单模、t-连续模、t-拟连续模等.受以上文献的启发，自然地可以考虑的模的t-补.文中提出了t-补子模的概念，它和t-闭子模是等价的.讨论了t-补子模、τ-补子模和补子模之间的关系，给出了t-补子模、τ-补子模和补子模是不同概念的例子，研究了t-补子模的若干性质.进而，讨论了两个子模互为t-补的充要条件.

1 定义和引理

引理1[8]设C≤M，则以下等价：

(1)存在S≤M，使得C对C∩S是Z2-挠的性质是极大的；

(2)C在M中是t-闭的；

(4)Z2(M)≤C且C在M中是闭的；

(5)C是M的非奇异子模的补；

下面给出t-补子模的概念:

定义1 设K，N≤M，称K是N在M中的t-补，如果K是{L≤M|L∩N⊆Z2(M)}中的极大元.称A是M的t-补子模，如果存在B≤M，使得A是B在M中的t-补.

由引理1可得如下结论.

引理2C是M的t-闭子模当且仅当C是M的t-补子模.

由文献[7]和[8]易得下面结论.

引理3 设M是模，则以下几条成立：

(1)若N是M的τ-本质子模，则N是M的t-本质子模；若N是M的τ-补子模，则N是M的t-补子模；

(2)τ(M)是M的τ-补子模，Z2(M)是M的t-补子模；

(3)若M是τ-挠自由的(即τ(M)=0)，则M的τ-本质子模和本质子模是一致的.进而M的τ-补子模和补子模是一致的；

(4)若M是非奇异的(即Z(M)=0)，则M的t-本质子模和本质子模是一致的.进而M的t-补子模和补子模是一致的；

(5)若M是τ-挠自由且非奇异模，则M的τ-本质子模、t-本质子模和本质子模是一致的.进而M的τ-补子模、t-补子模和补子模是一致的.

2 主要结果

下面例子说明闭子模不一定是t-闭子模，τ-闭子模不一定是闭子模.从而补子模不一定是t-补子模，τ-补子模也不一定是补子模.

是M的τ-闭子模，但不是M的闭子模.

由文献[7]知，M的任意子模都存在τ-补.类似的，下面结论说明M的任意子模都存在t-闭包，从而t-补子模一定是存在的.

性质1M的任意子模都存在t-闭包.

证明设N≤M，令Γ={L|N≤tesL}.则Γ≠Φ且Γ关于集合的包含关系构成偏序集.假设{Hi}i∈I是Γ中的一个链.对任意W≤∪i∈IHi，设W∩N⊆Z2(∪i∈IHi).下证W⊆Z2(∪i∈IHi)，从而N≤tes∪i∈IHi.

假设x∈W，则存在i∈I，使得xR∩N⊆Hi.因为W∩N⊆Z2(∪i∈IHi)，所以xR∩N⊆Z2(∪i∈IHi)，从而xR∩N⊆Z2(Hi).由文献[9]知，Z2(∪i∈IHi)=∪i∈IZ2(Hi)，且N≤tesHi，可得xR⊆Z2(Hi).因此W⊆Z2(∪i∈IHi).由Zorn’s引理，Γ中存在极大元H.由[1]及t-本质子模的遗传性质知，N≤tesH且H是t-闭的，从而H是N的t-闭包.

由文献[7]定理2.13和[13]性质6.23知，τ-补子模和补子模都具有传递性.类似地，下面结论说明t-补子模也具有传递性.

性质2 设A，B≤M.则以下几条成立：

(1)设A≤B≤M.若A是M的t-补子模，则A是B的t-补子模；

(2)若A是B的t-补子模，B是M的t-补子模，则A是M的t-补子模；

(2)跟(1)类似.

众所周知，τ-补子模或补子模的交未必仍是τ-补子模或补子模.由文献[14]定理3.6知，当M的是τ-UC模时，τ-补子模的交仍是是τ-补子模.对于t-补子模，有如下结论.

性质3 设A，B≤M.则以下几条成立：

(1)若A是M的t-补子模，则A∩B是B的t-补子模；

(2)若A和B都是M的t-补子模，则A∩B是M的t-补子模.

性质4 设M=M1⊕M2，A，B≤M1.则A是B在M1中的t-补当且仅当A⊕M2是B在M中的t-补.

证明必要性.设C≤M，使得B∩C≤Z2(M)且A⊕M2≤C.下证A⊕M2=C.因为A是B在M1中的t-补，所以A∩B≤Z2(M1).故B∩(A⊕M2)≤Z2(M)=Z2(M1)⊕Z2(M2).而B∩(C∩M1)≤Z2(M)∩M1=Z2(M1)，故C∩M1≤A.因此C∩M1=A.设c∈C，则c=m1+m2，其中mi∈Mi(i=1，2).于是m1=c-m2∈M1∩C=A，即c∈A⊕M2.所以A⊕M2=C.

充分性.设D≤M1，且满足A⊆D，以及D∩B≤Z2(M1).下证A=D.因为A⊕M2是B在M中的t-补，所以B∩(A⊕M2)≤Z2(M)，故B∩A≤Z2(M).于是B∩(D⊕M2)≤Z2(M).由A⊕M2的极大性可知A⊕M2=D⊕M2.从而A=D.

设A，B≤M.由文献[15]引理2.2知，A是B在M中的补当且仅当A∩B=0，且A⊕B≤eM.对于t-补子模，我们有

定理1 以下对模M成立：

(1)设A，B≤M.若A是B在M中的t-补，则A+B≤tesM；

(2)设N是M的t-补子模，L≤M，且N∩L≤Z2(M).若N+L≤tesM，则N是L的t-补.

证明 (1)设N≤M，且(A+B)∩N≤Z2(M).因为A是B在M中的t-补，所以A在M中是t-闭的.由[8]引理2.5知，Z2(M)≤A.于是B∩(A+N)≤Z2(M)，从而A+N=A，即N≤A.故N=N∩A⊆(A+B)∩N≤Z2(M).所以A+B≤tesM.

(2)设K≤M，使得N≤K且K∩L≤Z2(M).因为N是M的t-补子模，所以存在H≤M，使得N是H的t-补.由[8]引理2.5知，Z2(M)≤N.于是有：

(N+L)∩(K∩H)=((N+L)∩K)∩H=(N+(L∩K))∩H≤(N+Z2(M))∩H=N∩H≤Z2(M).

由于N+L≤tesM，故K∩H≤Z2(M).从而N=K，即N是L的t-补.

下面讨论两个子模在什么条件下互为t-补.

3 结束语

extending模及其相关问题是环模理论中很重要的研究对象，其研究成果受到了许多作者的关注.本文提出了t-补子模的概念，利用环模理论的研究方法，讨论了t-补子模、τ-补子模和补子模之间的关系，给出了t-补子模、τ-补子模和补子模是不同概念的例子，研究了t-补子模的若干性质.对于模M，证明了下面两条是成立的：(1)设A，B≤M.若A是B在M中的t-补，则A+B≤tesM；(2)设N是M的t-补子模，L≤M，且N∩L≤Z2(M).若N+L≤tesM，则N是L的t-补.最后，讨论了M的两个子模互为t-补的充要条件.