超高性能混凝土板冲切与弯曲性能研究

2021-04-21樊健生

工程力学 2021年4期

樊健生，王哲，杨松，陈钒，丁然

(1. 清华大学土木工程系，北京 100084；2. 清华大学土木工程安全与耐久教育部重点实验室，北京 100084；3. 清华大学水利水电工程系，北京 100084；4. 中电建路桥集团有限公司，北京 100048)

UHPC 作为一种强度、耐久性、耐磨性等性能指标优异的新型混凝土材料，近年来在结构工程尤其是桥梁工程中得到越来越多的应用[1-7]。将UHPC 应用于桥面板时，相比于普通混凝土板其厚度更小，可使桥面系整体自重显著降低；相比于正交异性钢桥面，可显著提升抗疲劳性能，在大跨径桥梁工程应用中具有突出优势[8-9]。

针对UHPC 材料性能层面的研究，国内外已有大量成果[10-18]。而针对UHPC 基本构件的研究，相比于普通混凝土构件，总量仍然较少，其中针对UHPC 板的研究更为有限。

钢纤维高强混凝土与UHPC 具有一定的相似性。林旭健等[19]针对钢纤维高强混凝土板开展了试验及理论研究，将双剪强度理论应用于钢纤维高强混凝土板的塑性承载力分析，提出了包含抗弯与抗冲切承载力的极限承载力公式；谢晓鹏[20]设计完成了12 块四边简支的配筋钢纤维高强混凝土方板试验，结果表明钢纤维掺量对于板的初裂承载力、抗冲切极限承载力有显著影响，并提出了适用于高强混凝土及钢纤维高强混凝土抗冲切承载力的经验公式。尽管钢纤维高强混凝土与UHPC 中均含有钢纤维，然而由于基体配合比的显著差异，钢纤维高强混凝土与UHPC 的材料性能并不相同，上述研究结果具有一定参考意义，但并不完全适用于UHPC 板。

针对UHPC 板的承载力，已有学者开展了试验研究。陈浩[21]研究了11 块四边简支UHPC 方板的受力性能，试验板均发生冲切破坏，给出的桥面板设计建议为板厚不小于100 mm；Bunje 和Fehling[22]研究了12 块四边简支UHPC 方板的受力性能，最小跨厚比达到12.5，结果表明试验板均发生弯曲破坏，具有良好延性；Moreillon 等[23]研究了八点简支的UHPC 方板的抗弯和抗冲切性能，发现部分钢纤维掺量较高的UHPC 板，其极限承载力反而更低。上述研究探讨了四边简支板与八点简支板的抗弯承载力与抗冲切承载力的影响因素，然而针对板件承载力的计算并未给出有效的设计公式，对于试件破坏模式的预测也并未给出精确的判断方法。

为了进一步地指导UHPC 板的设计，需要提出明确的承载力设计公式以及破坏模式预测方法。曹清[24]对11 块四边简支的UHPC 板进行了试验研究，针对《纤维混凝土结构技术规程》[25]中的抗冲切承载力公式进行修正，并采用其文中的10 组试验数据进行了验证；Harris[26]研究了12 块无配筋UHPC 方板的破坏模式，边界条件为四边固支、中心单点加载，其中7 块板发生冲切破坏、5 块板发生弯曲破坏，得出结论为UHPC桥面板的厚度达到63.5 mm 即可满足抗冲切需求，并且基于7 组试验数据给出抗冲切极限承载力回归公式，但未经其他试验数据验证。Al-Quraishi[27]研究了6 块UHPC 八边形板的抗冲切性能，结果表明板厚显著影响冲切破坏区域的最终形状，并给出抗冲切极限承载力回归公式。上述研究基于已有规范或试验数据给出了UHPC 板抗冲切承载力设计公式，但是并没有使用更多试验数据进行验证，并且缺乏理论基础。Xie 等[28]开展了5 块UHPC 平行四边形板的弯曲性能试验，研究了不同倾斜角的影响，并且分析了其抗弯承载力。针对UHPC 板发生冲切和弯曲破坏的界限，仅有Harris[26]的研究仅给出了特定设计条件下的临界板厚，并不具备较强的适用性。

此外，上述研究中的UHPC 板多为采用四边简支的方形板。而在实际工程中，由于双向板构造复杂等原因，桥面板大多按单向板设计[29]。以大跨悬索桥为例，其板宽一般远大于吊索间距，因而在车辆荷载作用下，桥面板的边界条件更接近于双边支承板，其抗弯承载力与抗冲切承载力的关系值得探讨。

为模拟实桥中车辆荷载作用下的边界条件，并揭示影响桥面板破坏模式、承载力和变形能力的关键因素，本文设计了一系列长边支承的近似方板，分析了不同设计参数下的破坏模式、承载力、变形延性等，提出UHPC 板抗冲切极限承载力计算方法，并应用数值方法计算UHPC 板抗弯极限承载力，为UHPC 桥面板的工程应用提供参考依据。

1 试验概况

1.1 试件设计

某实际桥梁工程中的桥面系方案如图1 所示，UHPC 桥面板的纵向支承间距远小于横向支承间距，基于此设计如下试件。

本文设计了11 块UHPC 板以及1 块普通混凝土板，试件基本参数如图2 及表1 所示，其中，OS-1～OS-11 为UHPC 板，OS-12 为普通混凝土板。所有试件的长(l)、宽(b)均相同，分别为700 mm、800 mm，净跨(l0)均为600 mm。需要指出的是，本文试件设计并非完全按照原型结构进行缩尺，而是做了一定调整，以得到不同的破坏模式。试件中均放置单层钢筋网，纵筋靠近板底部。主要变化的研究参数为板厚(h)、保护层厚度(c)、配筋率(ρ)及加载区域面积(a×a)。由于UHPC 浇筑模板具有一定误差，且试验结果对于板厚参数较为敏感，因此，表1 中所列板厚为浇筑成型后实测平均板厚，相应的跨高比(l0/h)和冲跨比((l0-a)/2h0)也按照实际板厚计算。其中，h0为截面有效高度。

图 1 实际组合桥面系示意图Fig.1 Composite deck system

图 2 试验板设计Fig.2 Test specimen design

表 1 试件基本参数Table 1 Details of tested slabs

1.2 材料性能

UHPC 材料采用较为常规的配合比，掺入体积率为2.5%的平直钢纤维，钢纤维长13 mm、直径为0.2 mm。各组分质量见表2。UHPC 养护制度为浇筑后先室温覆膜养护48 h，然后90 ℃高温蒸汽养护48 h。UHPC 抗压强度采用100 mm 立方块测得，并按照折减系数0.9[30]换算为轴心抗压强度；UHPC 轴心抗拉强度采用《超高性能混凝土基本性能与试验方法》(T/CBMF 37-2018，T/CCPA 7-2018)[31]所推荐的狗骨试件测得。钢筋采用HRB400级带肋钢筋。OS-12 采用C50 普通混凝土。

表 2 UHPC 配合比Table 2 Mix proportions of UHPC

材性试验测得的C50 混凝土、UHPC 及钢筋的主要力学性能见表3。

表 3 材料力学性能Table 3 Material properties

1.3 加载装置及量测方案

所有试验板均为对边简支、跨中单点加载，试验板净跨为600 mm，加载方式如图3 所示，采用600 kN 千斤顶加载，并专门设计了倒金字塔式的辅助装置以满足较小的加载区域要求。采用位移控制的加载方式，试验停止的条件为试件承载力达到极限之后至少下降10%，也可根据不同的破坏现象延长加载。

图 3 加载示意图Fig.3 Test setup

试验板的量测方案如图4 所示。所有试验板的量测方案基本相同，UHPC 板顶布置有6 个混凝土应变片，预埋钢筋网布置最多7 个钢筋应变片，在UHPC 板跨中沿宽度方向布置3 个位移引伸计，支座处布置2 个位移计(图中未标出)。

2 试验结果及分析

2.1 试验过程及破坏模式

本文将形成冲切锥的破坏模式定义为冲切破坏，将形成塑性铰的破坏模式定义为弯曲破坏，将兼具上述两者特征的破坏模式定义为冲弯破坏。以下对各种破坏模式分别进行描述。

2.1.1 冲切破坏模式

图 4 测点布置图 /mm Fig.4 Arrangement of measurement devices

OS-1～OS-7 以及OS-12 均发生冲切破坏(图5)，这里以OS-4 为例进行说明：荷载达到0.24Pu时，UHPC 板底面在对应于加载块角部位置处产生细微纵向及横向裂缝。随着荷载增大，裂缝变宽并且向边缘处发展，此时裂缝彼此独立尚未贯穿，而且裂缝的发展没有表现出明显的单向受弯裂缝形态；加载至0.71Pu时，原有的裂缝之间发展出新的裂缝并逐渐贯穿连通；荷载达到0.8Pu前，试验板仍有较大刚度，之后试件刚度迅速降低，裂缝宽度增大，跨中挠度随荷载的增大而快速发展；达到极限荷载Pu时，跨中最大挠度为8.8 mm，试件未发生严重破坏，仍可继续加载。之后试件承载力略有降低，裂缝及挠度发展迅速；跨中挠度发展至10.5 mm 时，加载块下局部UHPC 脱空，冲切锥形成，试验板发生明显的冲切破坏，之后承载力迅速降低至0.42Pu，跨中挠度发展至14.2 mm；继续加载，承载力稳定在0.35Pu，跨中挠度增大至20 mm 以上，试验停止。以上UHPC试验板在破坏后均保持了较好的完整性，没有发生保护层剥落，受弯裂缝多发生在钢筋网格处，主要裂缝宽度大于3 mm。

2.1.2 弯曲破坏模式

图 5 试验板冲切破坏Fig.5 Punching shear failure pattern

OS-8 和OS-9 发生弯曲破坏(图6)，这里以OS-8 为例进行说明：荷载为0.25Pu时，在UHPC板底面跨中加载区域的附近，出现细微受弯横向裂缝；加载至0.4Pu时，板底加载区域附近产生局部纵向裂纹；继续加载至0.45Pu，板底跨中受弯裂缝扩展至板的西侧边缘；荷载达到0.55Pu时，板底跨中东侧产生边缘至1/3 宽度处的细微裂缝；达到极限荷载Pu时，两条主裂缝贯通，形成横向的通长裂缝，板顶跨中UHPC 由中间到两侧逐渐压溃，跨中最大挠度为11.5 mm；继续加载，裂缝宽度增大，试件承载力稍有降低，跨中挠度加载至20 mm 时，承载力仍有0.93Pu；跨中挠度加载至30 mm 时，承载力下降至0.83Pu，主裂缝继续不断发展；跨中挠度加载至40 mm 时，承载力下降至0.81Pu，停止试验。

2.1.3 冲弯破坏模式

图 6 试验板弯曲破坏Fig.6 Bending failure pattern

OS-10～OS-11 兼具冲切与弯曲的破坏特征(图7)，本文将这种破坏模式简称为冲弯破坏，破坏过程以OS-11 为例说明：加载至0.17Pu时，加载区域对应的板底产生纵向及横向的微裂纹；荷载达到0.4Pu时，上述区域对应的板底出现多条纵横裂缝，主要裂缝呈“井”字形，基本对应于钢筋所在位置；达到0.61 Pu时，原有裂缝变宽并且不断向端部及两侧发展，同时在横向钢筋处产生更多的横向裂缝；达到极限荷载Pu时，弯曲变形进一步发展，挠度达到13.06 mm，弯曲裂缝变宽，但板底没有出现环状剪切裂缝，此时板顶加载块周围已有环状剪切裂缝(靠近三角支座一侧的裂缝贴合加载块边缘，而靠近滚轴支座一侧的裂缝未贴合加载块边缘，而是发展出更大的开裂区域)；继续加载，裂缝扩展，承载力缓慢下降，挠度达到15 mm 时，荷载为0.98 Pu；挠度达到25 mm 时，荷载为0.91 Pu，停止试验，过程中板底仅在后期产生少量剪切环状裂缝，但未闭合。

2.2 荷载-挠度关系

每块试验板测量了跨中3 点的挠度值与两端支座的沉降值，测量挠度值扣除支座沉降值之后为实际挠度值。图8 所示为试验板跨中中点的荷载-挠度曲线。

图 7 试验板冲弯破坏Fig.7 Punching & bending failure pattern

图 8 荷载-挠度曲线Fig.8 Load-deflection curves

对于冲切破坏的试件，达到极限承载力之后承载力随挠度的增大而迅速降低，残余承载力约为极限承载力的30%～60%。对于UHPC 试件，由于钢纤维的桥接作用，UHPC 材料基体保持较好的完整性，没有发生大面积脱落，与钢筋网共同贡献残余承载力；对于普通混凝土试件，混凝土破碎、脱落严重，主要靠钢筋网提供残余承载力。这一阶段的残余承载力保持到较大变形后才又进一步降低。

对于弯曲破坏和冲弯破坏的试件，达到极限承载力之后承载力随挠度的增大而缓慢降低，钢筋的屈服后变形在其中发挥了较大作用，整体呈现出延性破坏特征，这两种破坏模式更有利于结构安全。

根据冲切破坏前板的整体变形情况，将冲切破坏进一步细分为弯曲型冲切破坏和剪切型冲切破坏。发生弯曲型冲切破坏的试件在达到极限承载力之前，部分纵筋屈服，荷载-挠度曲线存在明显平台段，破坏时挠度较大，挠跨比大多在2.5%以上，包括OS-1、OS-2、OS-4、OS-5；而剪切型冲切破坏试件在达到极限承载力时，钢筋未发生屈服，破坏呈明显脆性，此时挠跨比远低于2%，包括OS-3、OS-6、OS-7、OS-12。

根据研究参数的不同，将荷载挠度曲线分为6 组显示。图8(a)中试件变化参数为板厚，随着板厚的增加，试件刚度和极限承载力明显提高，而OS-3在发生冲切破坏前整体未屈服、延性较差，这说明板厚的增加使得UHPC 板由延性更好的弯曲破坏机制向延性更差的冲切破坏机制转变。图8(b)和图8(c)中试件变化参数为保护层厚度，随着保护层厚度的减小，试件刚度提高、极限承载力提高，但OS-4 的极限承载力偏低，极大可能是UHPC 材料强度的离散性导致的。图8(d)中变化参数为配筋率，随着配筋率的降低，试件刚度变化不大，但抗弯承载力急剧下降，导致除OS-1 之外的试件均发生弯曲破坏，弯曲破坏的试件在达到极限承载力之后的延性明显优于冲切试件；图8(e)中变化参数为加载区域面积，随着加载区域变大，试件剪跨减小、刚度提高，且极限承载力提高，而破坏模式由冲切向弯曲过渡。图8(f)中变化参数为混凝土种类，该条件下UHPC 与C50 混凝土试件均发生冲切破坏，但是UHPC 试件在达到极限荷载之前先发生整体屈服，保证了冲切脆性破坏前的变形与延性，极大地提高了安全性，UHPC试件极限承载力是C50 试件的2 倍以上。

一般认为，板的冲跨比是影响破坏模式的关键因素，本文试件的冲跨比列于表1 中，在5.5～11.7 之间。对于试件OS-1～OS-7，板厚的增加、保护层的变化均体现为截面有效高度的变化，进而影响冲跨比。从结果来看，这个范围内的试件均发生了冲切破坏，但板厚为60 mm 的试件，发生了延性更差的剪切型冲切破坏(OS-3、OS-6、OS-7，冲跨比在5.5～8.0 之间)，板厚为40 mm和50 mm 的试件，发生了延性相对较好的弯曲型冲切破坏(OS-1、OS-2、OS-4、OS-5，冲跨比在7.4～11.7 之间)。整体而言，对于同一种配筋率和加载面积，冲跨比越大，破坏模式更趋向于弯曲型，延性更好。但通过对配筋率和加载面积的分析可以看到，除了冲跨比，这两个因素也对破坏模式有明显的影响。最终结果取决于这些因素的综合影响。

2.3 跨中挠度横向分布

由于试验板的宽跨比较大，且试验采用局部加载，该条件下试验板在受弯时跨中挠度并不均匀，试验板跨中挠度的横向分布如图9 所示。除弯曲破坏模式之外，其余破坏模式的试验板跨中变形差异明显，边缘挠度最大值在2 mm 以内，而极限状态下的中点挠度是边缘挠度的3.5 倍以上。对于发生弯曲型破坏的试验板，由于配筋率较低，弯曲变形充分发展，极限状态下中点挠度与边缘挠度之比介于1.5～2.0 之间。

图 9 跨中变形模式Fig.9 Deflection at mid span

2.4 混凝土板顶应变

试验中主要在跨中截面及加载区域周围布置了应变片，典型的板顶应变如图10 所示。与第2.3 节中观测到的规律一致，试验板跨中变形不均匀，由中点到边缘，跨中纵向压应变逐渐减小，C4>C3>C2>C1。对于冲切或冲弯破坏的试件，达到极限荷载之后，顶部局部破坏并逐渐脱空，板其余位置的变形逐渐恢复，因此，纵向压应变减小；对于弯曲破坏的试件，塑性铰的形成与发展使得整体弯曲变形越来越大，因此，跨中顶部纵向压应变始终增大。

图 10 板顶应变分布Fig.10 Strain distribution on top surface of slabs

2.5 钢筋网应变

图 11 钢筋应变分布Fig.11 Strain distribution on reinforcement

板内钢筋应变分布如图11 所示。钢筋网中纵筋靠近底面，纵向应变为拉应变。与上述板顶应变的规律一致，越靠近中点加载区域，跨中纵向拉应变越大。尽管横向边界无约束，但由于试验板宽跨比较大，位于受拉区的横向钢筋的拉应变仍然有所发展。对于不同的破坏模式，钢筋应变值有显著区别。试件达到极限承载力时，发生剪切型冲切破坏的试件，其纵筋全部未进入屈服(图11(a)，OS-3)；而发生弯曲型冲切破坏、冲弯破坏或弯曲破坏的试件，其纵筋大部分进入屈服(图11(b)～图11(d)，OS-5、OS-9 和OS-10)。这是导致各种破坏模式的延性变形有显著区别的根本原因。

2.6 试验板延性

构件的延性是指在破坏阶段的塑性变形能力，一般可以将极限荷载时的位移与屈服荷载时的位移之比作为位移延性系数，来衡量延性的大小。本文中的试验板在达到极限承载力之前，部分为脆性破坏，部分为延性破坏，且均无明显屈服点。因此为了方便比较不同试验板的延性变形能力，本文根据试验得到的荷载-挠度曲线，采用能量等效的原则得出新的曲线，进而计算位移延性系数。

计算得到的位移延性系数如表4 所示。由表可知，随着板厚的增加、保护层厚度的减小、配筋率的增加，UHPC 板更容易产生冲切破坏机制，因此延性降低。随着加载区域增大，试件的抗冲切承载力比抗弯承载力增长更明显，UHPC板更容易发生延性更好的弯曲破坏机制；然而加载点边缘至支座的距离也变小且试件净跨本身较小(仅为600 mm)，该情况导致试件延性变差，因此，加载区域因素对试件延性的最终影响取决于两种效应的相对大小。UHPC 试件的延性明显高于C50 混凝土。

表 4 试验板延性Table 4 Ductility of slabs

对于发生剪切型冲切破坏的试件，其位移延性系数均小于1.4；对于发生弯曲型冲切破坏或冲弯破坏的试件，其位移延性系数基本介于1.5～1.9之间，除了OS-4 提前破坏导致位移延性系数偏低；对于发生弯曲破坏的试件，其位移延性系数均大于1.9。

3 UHPC 板破坏机理及承载力分析

3.1 冲切破坏

3.1.1 破坏机制

由图5 可知，对于本文中发生冲切破坏的双边支承板，破坏时形成的机构与四边约束的双向板并无差异。如图12 所示，与普通混凝土板类似的，发生冲切破坏时，加载区域周围的混凝土发生局部破坏，形成锥体整体冲出，UHPC 锥体侧面区域进入塑性、钢筋屈服，同时试验板整体受弯转动，最终形成破坏机构。

本文采用塑性极限法进行抗冲切承载力分析，通过假定钢筋和混凝土为理想刚塑性材料，研究构件的塑性极限状态，从而求得抗冲切承载力。分别考虑UHPC 和钢筋对于抗冲切承载力的贡献，UHPC 锥体的破坏区域以及钢筋的屈服区域如图12 所示。

图 12 冲切破坏机制Fig.12 Punching shear failure mechanism

3.1.2 UHPC 屈服准则

应用塑性极限理论时，选取合适的材料屈服准则是解决问题的关键。对于混凝土类材料，拉压强度不等，本文采用俞茂宏等[32]提出的双剪应力三参数准则作为UHPC 屈服准则。该准则考虑了中间主应力对于材料屈服的影响，同时考虑了静水应力，数学形式如下：

式中：σ1、σ2、σ3分别为最大、中间、最小主应力；c1、c2、c3为材料参数，可由下列表达式确定：

由试验条件，可近似假定塑性区域内位移场为轴对称，则有：

式中，μ为泊松比，对于混凝土材料可取为0.2。由式(6)可得：

对于UHPC 材料， α¯值可取为1.1[33]。将式(3)～式(7)分别代入式(1)和式(2)，得：

令：

得到：

3.1.3 极限状态下的应力圆及破坏面

设破坏面上的正应力和剪应力分别为σ 和τ，由式(14)可得应力圆的方程为：

求包络线，令：

得到：

由式(16)和式(18)，得到应力圆包络线方程为：

同理，由式(15)可得：

对于UHPC 材料，α＜0.1，因此，k4<0，所以式(20)无意义。

由式(19)，上支包络线与σ 轴夹角γ 可由下式求得：

设冲切破坏机构的刚塑性位移场如图12 所示，其中：u 为中心部分位移；β 为破坏面与竖向夹角；δ 为塑性变形区的初始厚度。由几何关系及塑性理论关联流动法则，可得：

所以，β=γ。

3.1.4 抗冲切承载力

由虚功原理，建立内外虚功平衡方程，得：

式中：Ppun为试验板整体抗冲切承载力；Pc为UHPC 贡献的抗冲切承载力；Pr为钢筋贡献的抗冲切承载力；θ 为试验板转角；As为冲切锥体之内的钢筋总截面积；A 为破坏锥面的面积。对于本文中方形板：

将式(18)～式(19)、式(21)～式(24)、式(28)代入式(26)并整理，得到：

由式(25)及式(27)，得出：

根据试验数据统计，式(30)中试验板转角θ为可由下式近似估计：

式中，ρ 为板的配筋率。

在求解Pc时，本文采用的刚塑性模型为理想情况的上限解，通过进一步考虑冲切锥面上UHPC斜裂缝的发展及混凝土缺陷等因素，对UHPC 抗冲切的贡献Pc进行折减，经过统计回归得出：

采用式(33)对本文中UHPC 板抗冲切承载力进行计算，汇总结果如表5 所示。理论抗冲切承载力与试验抗冲切承载力吻合良好，且实际发生弯曲破坏的试件承载力低于理论抗冲切承载力，破坏模式预测准确。

表 5 抗冲切及抗弯承载力计算Table 5 Calculation of punching shear and flexural capacity

进一步地验证上述理论公式的适用性，笔者搜集了文献[19, 21, 26, 34]中报道的发生冲切破坏的UHPC 板、钢纤维高强混凝土板试验数据，包括本文共计39 个试件，将本文公式计算的结果与文献[26]及法国UHPC 建议[35]中公式的结果进行对比，如图13 所示。结果表明：上述理论公式能够良好预测UHPC 板抗冲切承载力，计算误差基本在±20%以内；而其余公式对抗冲切承载力均有较为显著的高估或低估。

上述39 个试件的主要设计参数如表6 所示。

图 13 理论承载力与试验承载力对比Fig.13 Comparison between theoretical and experimental bearing capacity

3.2 弯曲破坏

3.2.1 破坏机制

本文中，OS-8～OS-10 发生单向弯曲破坏，试验均为三点受弯加载。试件破坏时跨中加载截面沿宽度方向全部进入塑性，UHPC 板底形成明显的弯曲裂缝，板顶逐渐压溃，纵筋屈服，整体形成塑性铰，由于对边简支条件，试件整体形成破坏机构。

针对试验板的正截面抗弯承载力进行计算，相比于普通混凝土，UHPC 材料具有优越的抗拉性能，因此，在进行抗弯承载力分析时，应考虑UHPC 受拉区的贡献。

表 6 抗冲切承载力计算公式验证Table 6 Verification of calculation formula of punching shear capacity

3.2.2 抗弯承载力计算

本文采用纤维截面模型求解UHPC 板抗弯承载力，计算基本流程如图14 所示。

图 14 抗弯承载力计算流程Fig.14 Calculating procedure of flexural capacity

根据材性试验结果和理论分析，UHPC 单轴受拉和受压的应力-应变关系分别选用式(34)和式(35)的形式。对于本文采用的UHPC，取w0为1.00、wc为0.05、p0为1.6。

钢筋本构关系采用Esmaeily 和Xiao[36]建议的形式(如图15 所示)，其强化段采用二次抛物线形式，数学表达式为：

应用MATLAB 软件进行编程运算，分别求得OS-1～OS-11 的抗弯极限承载力，数值模拟结果与试验结果对比见表5。结果表明：该数值方法能够准确预测UHPC 板抗弯承载力，数值解与试验极限承载力误差不超过10%；对于发生冲切破坏的试件，其抗弯极限承载力数值解均远大于实际冲切极限承载力，预测破坏模式与实际结果一致。