“至简数学”研究的可能性与可行性

邓凯

笔者在数学教学中一直努力探索并实践“让学生学简单的数学，让学生简单地学数学，让学生数学学得不简单”，并在此基础上提出“至简数学”的教学主张。但是有何证据表明数学能变简单？有何证据表明能让学生简单地学数学？基于对这两个问题的追问，笔者在“中国知网”以“至简数学”“简单数学”“简易数学”“简约数学”为主题词分别检索到382篇、96360篇、3182篇和3486篇文献，从中筛选出与“至简数学”相关的189篇文献泛读后，再从中选出36篇重要文献精读，然后根据这些文献及被引文献追踪研究重要作者的著作，结果发现多位数学家和数学教育家均对“至简数学”的必要性和可行性有相关的论述。

一、“让学生学简单的數学”是可能的

当代著名数学家阿蒂亚在1976年就任伦敦数学会主席时曾说：“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去，就必须不断努力把它们简化和统一。”“过去曾经使成年人困惑的问题，在以后的年代里，连孩子们都能容易地理解。” 阿蒂亚的这两句话表明数学家的使命不仅在于研究数学，还在于努力将数学简化和统一，让数学变得更容易理解，这是数学发展的必然。

英国数学家、逻辑学家、哲学家怀特海在著作《教育的目的》的第六章“数学课程”中指出：“我们的数学课程，应该被设计得能够简单明了地对具有明显重要性的概念进行举例说明。”他还指出：“数学的一般用处，应该是简单地研究一些一般定理，通过实例来给这些定理以有力的说明。”怀特海的这两个观点一方面强调抓住数学的本质，另一方面强调内容简单明了。

著名数学家、物理学家牛顿曾说：“几何学之所以堪称辉煌，就在于它只从很少的几条公理出发，而最终却得到了如此之多的结果。欧几里得只用了5条公理就把千头万绪的几何素材组织起来，组成了一个有机的整体。” 牛顿这段经典的名言表明，数学本身是“简洁”的，不仅内容简洁，而且结构简洁、逻辑简洁、形式简洁。事实上，数学就是人们在不断试图用简洁的方式揭示隐藏着的自然奥秘，并在“求简”目标驱动下兴起和发展起来的。

数学家莫里斯·克莱因在《数学与知识的探求》中写道：“如果没有符号体系，数学将迷失在文字的荒原中。” 这句话不仅表明数学通过符号语言变得更简单，而且表明符号化是让数学变简单的一种方法。

因此，数学变简单，既是数学自身的特点，也是数学发展的需求。随着时代的发展，根据学生的认知心理特点，让学生学简单的数学不仅是可能的，而且是未来的趋势。

二、“让学生学简单的数学”是可行的

中国科学院院士、数学家、计算机科学家张景中先生写过《把数学变得更容易》《把数学变得容易一些》《把高等数学变得更容易》《从数学难学谈起》等多篇文章举例论证了“数学变简单是可行的”这一论点。

他在《把数学变得更容易》一文中不仅提出了“教育数学就是要把数学变得更容易”，而且以“重建三角（笔者注：用单位菱形面积表示正弦及推广）”在无锡、宁波、广州等地实验的数据，论证通过“重建三角”能让初中生学习数学变得更简单。

他在《把数学变得容易一些》一文中提出“把数学变容易一些”主要有3个途径：想想哪些难点是人为制造的，不必要的规定要改掉，制造点人为的“容易”（对学生来说就是具体、熟悉，而不是抽象、陌生）;引进新的概念时，必须适合学生的思想，符合学生的生活经验（要返璞归真，要把条件变得较少、较简单;尽可能对一些定理少加附加条件）;教给学生比较一般的解题方法。

与此相应地，人教版数学教材在近年的修订过程中，多处数学知识点变得比原来更简单了，有两处变化是典型的例证。第一处是七年级下册第10章“10.1统计调查”这一节中对“总体”“个体”“样本”的描述定义。现行教材中写道：“全校学生是要考察的全体对象，称为总体，组成总体的每一个学生称为个体，而被抽取调查的那部分学生构成总体的一个样本。”这段话有一段旁白：“为了强调调查目的，人们有时也把全校学生喜爱的电视节目作为总体，每一个学生喜爱的电视节目作为个体。”该教材这样处理就是为了淡化和简化概念，学生更容易理解。第二处是八年级下册第15章“15.3分式方程”这一节关于分式方程应用题的检验，跟检验分式方程的解一样，只需检验解方程的结果是否为该分式方程的解，不需要检验是否符合实际。其原因是《义务教育数学课程标准（2011年版）》只要求“能解化为一元一次方程的分式方程”，所得结果只要不是增根都符合实际，因此可省去这个环节。

遵循张景中院士提出的3个途径，在教学中可以对教材中的一些概念、定理、例题等进行科学合理的处理，可以让学生先简单地了解，然后通过“螺旋式上升”的教学让学生在后续学习中完整地理解与掌握，也可以让数学变得简单一些，让更多的学生有兴趣、有信心学习数学。

三、“让学生简单地学数学”是可能的

祖丹和孔凡哲从28位数学家（亚里士多德、毕达哥拉斯等）对数学品格的相关论述中，归纳统计得到数学必备品格的七个要素，按其重要性排序为：数学兴趣、创新、自强不息、严谨、勇于质疑、化繁为简、独立思考。这个统计结果说明，化繁为简是数学教师作为数学人“先天”的品格，让学生简单地学数学不仅是数学教师必备的品格，也是其教学该有的自发行为。统计结果还说明要培养学生“化繁为简”的数学学习必备品格，通过让学生简单地学数学是最直接的方式。

华罗庚运用讲授法传授知识主张“深入浅出见功夫”，在教学内容的处理上，他主张：“高的内容放低了，难的内容改易了，繁的内容化简了。”他还曾对他的助教说：“高水平的教师总能把复杂的东西讲简单，把难的东西讲容易;反之，如果把简单的东西讲复杂了，把容易的东西讲难了，那就是低水平的表现。” 华罗庚先生不仅这样说，而且自己上课时坚持让学生简单地学数学，他的学生回忆道：“他讲课时先把枝节的地方很快讲完，马上就进入主题，让人很容易理解。” 华罗庚先生身体力行地证明了让学生简单地学数学是可能的，但需要教师具有较高的教学水平。

德国著名数学家克莱因则指出了一种具体的方法，他在其著作《高观点下的初等数学》中提到：“基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。”

人教版初中数学教材主编章建跃撰写了多篇论文如《数学教学要“准”“精”“简”》《追求本质、简单、自然的数学教学》等都提出数学教学要追求“简”。当然，章建跃表达言语中不止“简”和“简单”，还包含“准”“精”“本质”“自然”等内容。数学课真正实现了“简”和“简单”的目标，同时就能实现“准”“精”“本质”“自然”的目标，它们之间是相辅相成的。

因此，让学生简单地学数学不仅是可能的，而且是必须的。数学教师必须提高自己的数学专业能力，努力让学生简单地学数学。

四、“让学生简单地学数学”是可行的

不少数学家、数学教育家、科普工作者以及广大教师都努力探索过让学生简单地学数学，因此相关文献十分丰富，而且各自从不同的角度提出了让学生简单地学数学的具体措施与方法。

华罗庚说：“退到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题弄清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再‘进到一般性问题上来。”这是让学生简单地学数学的基本原理。

英国史里斯·韦林（Chris Waring）著有《极简数学》，作者通过实例将代数、几何、概率、统计等学科的知识分解为生活中的场景，将看似抽象、复杂的运算用实物表现出来。这是“具身数学”“手工数学”“测量数学”的源头。

美國赛·太蒙尼（Cy Tymony）著有《数学本来很简单》，作者富有创意地将数学符号用易于理解和记忆的方式书写，比如在表示速率的R中画一个正在跑步的人像，在表示时间的T中画一个计时的表等，作者还创设了一些数学实验，通过让学生动手做实验理解数学符号和数学运算。这是“实验数学”的基本思想。

英国理查德·埃尔威斯（Richard Elwes）著有《数学简单学——化繁为简“学数学”》，作者试图用一些小故事、小游戏和简洁的语言表述从小学到高中的数学核心概念和运算法则等内容。这是“故事数学”和“游戏数学”的基本思想。

斯坦福大学教授乔·博勒（Jo Boaler）的著作《这才是数学》，该书提出将数学可视化，设计开放性数学作业，不留家庭作业等观点。这是“视频数学”的源头。

在研究上述著作的基础上，笔者还研读了大量与“至简数学”相关的心理学、教育学、信息学、数学及数学教育等文献，发现“让学生简单地学数学”主要有以下策略：通过“具身数学”让数学具身化、通过“图画数学”让数学图片化、通过“视频数学”让数学可视化、通过“游戏数学”让数学娱乐化、通过“手工数学”让数学模型化、通过“故事数学”让数学情境化、通过“史料数学”让数学文化化、通过“测量数学”让数学数量化、通过“列举数学”让数学数字化、通过“实验数学”让数学实验化，等等。这些形式都能实现让学生简单地学数学的目标，都能让学生在数学课堂上轻松地理解数学概念、掌握运算法则、理清数学关系以及建构数学模型，学生通过具身认知、图像感知及建立联结等方式自然而然地获得数学认知与发展。

注：本文系中山市教育科研2020年度重点立项课题“‘至简数学的理论与实践研究”（课题编号：A2020019）的阶段性成果。

责任编辑 罗 峰