基于多重分数阶傅里叶变换 ISAR快速成像算法

张 俊 王 伟 向 聪 相 飞 宋文青

(西安电子工程研究所 西安 710100)

0 引言

逆合成孔径雷达能够对非合作目标进行高分辨成像观测，近年来在低空管控、战场侦察及遥测监视等方面受到了广泛的关注[1-3]。在大部分ISAR应用场景下，其观测目标由于自身特性或者客观气象因素等条件，往往具有很强的机动性，高机动性会导致目标散射点上的多普勒频率具有时变性，进而导致传统处理得到的ISAR图像存在严重的散焦现象。为解决这一问题，许多参数估计算法，如距离-瞬时多普勒算法(RIDA)[2-5]等相继被提出。

作为一种参数化算法，RIDA通常会将一个距离单元内的回波信号用特定模型进行描述，然后利用参数估计的方法获取瞬时运动参数，进而实现ISAR图像的聚焦，其中，二次调频信号是最常见的用来描述机动目标ISAR回波的信号模型。许多ISAR算法在此信号模型的基础上被提出，如积分高阶模糊函数(IHAF)算法[4]、离散调频傅里叶变换[3]、相干积累广义立方相位函数(CIGCPF)算法[5]等。尽管这些算法能够通过参数估计获得聚焦效果良好的图像，但往往存在运算量繁重的问题，此外，低信噪比(SNR)与传递误差的影响，也会降低算法的最终精度。

为解决上述问题，本文提出了一种基于多重分数阶傅里叶变换的快速ISAR成像算法。首先我们将收到的回波信号重新用QFM信号进行建模，随后采用CIGCPF的思想，通过相干积累对信号中的三次项与线性项进行估计补偿，针对剩下的调频项，我们提出了一种最小二乘分数阶傅里叶变换(LS-FRFT)对其进行独立估计，LS-FRFT估计能够在保持较高估计精度的同时，降低算法复杂度，考虑到低信噪比与传递误差仍然会对参数估计精度带来影响，我们考虑通过利用加权的方式突出高信噪比样本在参数估计过程中的贡献，提出了加权最小二乘分数阶傅里叶变换(WLS-FRFT)算法来进一步提升参数估计精度，进而改善图像质量。

1 机动目标ISAR回波信号模型

在本节中，我们首先将接收到的目标回波建立为QFM信号模型，图1给出了机动目标的成像几何模型。

图1 机动目标ISAR成像几何观测构型

(1)

(2)

雷达工作时发射信号为线性调频信号，经过基带调制与距离压缩后，信号回波可以表示为

(3)

其中，A为信号幅度，c表示光速，tr为距离时间，散射点积累时间为Ta，信号带宽表示为Br，N(tr,ta)为加性高斯白噪声。

在本文中，我们主要讨论多普勒参数估计和补偿问题，因此认为信号已经过距离徙动校正处理，目标上所有散射点均已被校正至正确的距离单元内。假定在一个距离单元内包含有N个散射点，将式(3)与式(1)联立合并同类项后，第k个距离单元的回波信号即可表示为

(4)

2 基于多重FRFT估计的ISAR快速成像算法

2.1 QFM信号线性项与三次相位项补偿方法

我们利用CIGCPF的思路对QFM信号中的线性项及三次相位进行估计补偿[6]。为简便起见，这里忽略信号包络的变化，仅对相位上的处理进行讨论。首先构造对称自相关函数如式(5)所示。

(5)

(6)

(7)

(8)

然后对式(7)关于方位时间ta做FFT，即可得到接收信号的CIGCPF表达式为

(9)

(10)

根据式(10)可知，线性项与三次项均已被补偿，随后需要再对调频项进行估计补偿即可获得聚焦良好的ISAR图像。

2.2 基于最小二乘分数阶傅里叶变换的调频项估计方法

此前我们曾提到，近年来相继有多种算法被提出用来估计调频率，如CPF算法[7]、CIGCPF[5]算法等。但这些算法往往具有较高的运算量且受传递误差影响较大。为解决这一问题，我们考虑利用FRFT的时频关系[10]，通过将时频变换与运动参数相结合的方式对调频率进行单独估计，在降低运算量的同时，改善最终的参数估计精度。

简便起见，在随后的推导过程中，忽略距离包络与噪声项，则式(10)经过WVD变换后的表达式为

(11)

其中fd为多普勒频率。在时频域内，定义调频率的时频变换角度为θ，根据文献[8]可知，调频率与其时频变换角间有关系式为

en,2=(λ·PRF)/(4π·Ta·tanθ)

(12)

PRF为系统的脉冲重复周期。由式(12)可知，调频率估计问题实质上等同于时频变换角估计。图2(b)中给出了FRFT的投影示意图，根据图中的变换几何关系，可以得到

图2 最小二乘FRFT算法原理示意图

Lθ|cos(π-θ-(α-π/2))|=Lα

(13)

其中Lθ表示散射点在距离多普勒域内的归一化投影长度，而Lα表示变换角为θ时，散射点在FRFT变换域内的归一化投影长度。利用余弦公式和绝对值转换后，式(13)改写为

-Lθsin(θ+α)=Lα

(14)

式(14)需满足条件π-θ<α<2π-θ。Lα通常通过固定阈值进行测量，根据文献[9]，阈值通常取0.5。由于在一维的FRFT变换域内，Lα很容易测得，因此，通过两次FRFT变换的结果进行对消，就能将未知长度Lθ消除，即有

Lθsin(θ+α1)/Lθsin(θ+α2)=L1/L2

(15)

结合文献[10]中的推导式，可以得到调频率变换角的表达式为

tanθ=-(L1sinα2+L2sinα1)/(L1cosα2+L2cosα1)

(16)

根据式(16)即可独立地估计出信号调频率。但是归一化长度L1与L2对噪声非常敏感，仅利用两组归一化长度估计出的调频率往往会存在较大的误差。为改善在低信噪比条件下的FRFT估计效果，考虑结合最小二乘估计，利用多组FRFT变换来估计调频率。

将由噪声引起的归一化长度计算偏差定义为μ，变换关系式改写为式(17)。

-Lθsin(θ+α)+μ=Lα

(17)

将单次FRFT估计的结果拓展至多次，式(17)可以改写为

Lθ(-cosα-sinα)(sinθcosθ)T+μ=Lα

(18)

假设总共使用了M组FRFT变化进行估计，则相关的估计矩阵可以表示为

(19)

为简便起见，将式(19)表示为Ax+μ=L。假设测量误差μ服从高斯分布，利用最小二乘估计可以最小化误差μ的影响，因此关于调频率的矩阵x可以通过式(20)得到

(20)

结合式(20)，即可得到调频率变换角的正切值为

(21)

2.3 基于加权最小二乘分数阶傅里叶变换的稳健参数估计方法

由上述分析可知，通过式(20)即可对消散射点归一化长度，进而估计得到调频率变换角正切值，结合式(12)即可获得最终的调频率估计值。但在实际中，强噪声与传递误差均会对归一化投影长度的测量带来影响。如图3(b)所示，使用同一的门限阈值会不可避免地在测量归一化投影长度时引入误差，这将对最终的估计精度造成不可忽视的影响。

根据图2(a)与图3可以看出，在FRFT域中的能量会随着变换角与调频角之间差值的增加而减小，这也表明，不同的FRFT变换角得到的变换结果对应不同的熵值与测量误差。这里将其规律总结为：归一化投影长度越短，其引入的测量误差越小，最终的估计精度越高。基于上述分析，我们引入能量熵对不同组的FRFT归一化投影长度进行加权，提出一种加权最小二乘FRFT方法来改善估计精度。

图3 FRFT多变换角时归一化投影长度测量结果

这里给出FRFT结果F(n,β)的熵值计算公式为

(22)

根据加权最小二乘算法的思想，考虑通过给较为精确的样本加大权值突出其在样本集中的贡献，而对存在较大误差的样本加小权值抑制其对样本集的影响。因此，将FRFT结果熵值的倒数作为WLS-FRFT算法的中权值：即样本熵值越低，其测量误差越小，在整个样本集的估计中其所占权重越大。基于上述分析，可以得到基于FRFT能量熵的权值矩阵表示为

W=diag(I)

(23)

可以得到基于WLS-FRFT方法的调频角估计矩阵表达式为

(24)

将式(24)与式(12)与式(21)结合后，便可估计出调频率。将其从信号回波中补偿之后，即可获得聚焦良好的ISAR图像。WLS-FRFT算法不仅能够改善低信噪比条件下的参数估计精度，同时还具有较低的运算复杂度，利用工程实现。

3 仿真实验

在本节中，我们将通过实测数据来验证所提算法的有效性与正确性，实验系统参数在表1中给出。

表1 试验系统参数

3.1 算法性能分析及对比

这里我们主要利用调频率估计精度来对算法性能进行分析，仿真实验中，调频率真值设置为0.5。数据已经过距离徙动补偿，在补偿掉线性项与三次项后，即可对调频项进行估计补偿。

我们选择CIGCPF，LS-FRFT以及WLS-FRFT算法进行估计对比。根据先验知识，调频率变换角范围设置为[70°，80°]，选用的总变换数量为20。图4(a)给出了估计偏差方差值随信噪比变化曲线图。可以看出，与CIGCPF相比，在高信噪比时，两种所提方法均能保持较高的估计精度，但随着信噪比的降低，LS-FRFT的估计误差会迅速增大，而WLS-FRFT对低信噪比具有较好的稳健性，但估计精度相较CIGCPF仍会有所下降。性能下降的主要原因是在估计精度与运算速度之间进行了折中，如需要进一步提升估计精度，则可以通过增加估计样本数量来满足实际系统的要求，同样地，系统的运算量就会进一步增加。

在实际中，由于噪声、交叉相以及剩余相位的影响，整个估计过程中会存在明显的传递误差，这也会对最终的估计精度造成影响。为分析对比传递误差对算法的影响，这里我们假定传递误差主要是在估计线性项时产生，且设定对比环境信噪比为SNR=-4dB，最终的估计精度曲线如图4(b)所示。

图4 不同算法估计精度对比曲线

由图4(b)可以看出，当传递误差较小时，CIGCPF的估计误差较小，但随着传递误差的逐渐增大，其估计精度迅速下降；而所提算法的估计精度几乎不受传递误差变化的影响。这是由于所提算法利用的是参数在FRFT平面投影的斜率来反推参数，传递误差对其投影的影响主要是影响投影在FRFT平面内的位置，而其斜率则几乎不会受到影响。此外，最小二乘估计也能在一定程度消除传递误差影响，因此所提方法对传递误差具有较好的稳健性。

3.2 实测数据实验

本小节中，我们通过实测数据处理结果对所提算法的有效性进行验证。实验中观测目标为一非合作客机，其运动参数未知，实验系统参数如表1所示，图5给出了实测数据处理结果。

图5 实测数据处理结果

数据经过距离脉压和距离徙动校正后的结果如图5(a)所示，可以看出目标的所有散射点均已处于正确的距离单元内，需要对其高阶相位进行估计补偿以获得最终的聚焦图像。我们选择第224个距离单元的回波信号进行估计，在估计补偿掉线性相位与三次相位后，对其做WVD，变换后的结果如图5(b)所示。可以看出，图中存在明显的交叉项与传递误差，交叉项产生的原因主要是由多分量以及噪声影响，而传递误差则是由于线性项估计不够精确所导致的，这些因素会对CIGCPF的估计精度产生影响。利用CIGCPF方法获得的成像结果如图5(c)所示，尽管在补偿掉高阶相位后，目标已经能够实现整体聚焦，但剩余相位误差的影响仍然导致图像存在部分散射点散焦的现象。图5(d)给出了所提WLS-FRFT处理算法的成像结果，可以看出目标的散射点均得到了良好的聚焦。

为进一步精确评估两种算法的成像结果性能，我们对图像的熵值以及算法处理时间进行统计对比，图5(c)与图5(d)的熵值分别为11.8237与11.5316。此外，利用Matlab对两种算法处理进行计时，可知CIGCPF与WLS-FRFT算法所需处理时间分别为178.32s与84.67s。这一结果也证明了所提方法能够更为高效地获得高分辨ISAR图像，进一步验证了所提方法的有效性与正确性。

4 结束语

本文提出了一种基于多重FRFT的快速算法来估计调频率并获得聚焦良好的ISAR图像。与传统算法相比，所提算法利用参数的时频变换投影关系反推相应参数，消除传递误差影响的同时，降低了算法复杂度。为进一步改善算法稳健性，基于利用归一化投影长度的熵值对估计样本进行加权的思想，提出了WLS-FRFT的快速估计方法。最后通过算法性能分析与实测数据处理验证了所提算法的正确性与有效性。