基于光栅投影三维测量的相位展开方法研究
2021-04-19张容卓宋金城郭天茂孙增玉潘兆义罗小涛
张容卓 刘 柯 宋金城 郭天茂 孙增玉 高 越 吴 桐 潘兆义 罗小涛
（1.北京航天计量测试技术研究所，北京100076；2.西安航天发动机有限公司，西安710061）
1 引言
随着现代工业的迅速发展，生产制造的水平不断提高，工业产品在研制中对于零部件的加工质量要求也越来越高，高精度的设计要求对外形轮廓的精密测量提出了更高的挑战。光栅投影三维测量技术作为一种新兴的快速测量方法，为数字化三维设计领域带来了新的技术途径。
光栅条纹的相位展开是光栅投影三维测量的关键技术，一直受到国内外众多研究人员的关注。相位展开按照展开角度的不同，大致分成两种：空域角度的相位展开方法与时域角度的相位展开方法。空域相位展开法是通过相位空间具有连续性，分析相邻空间元素的相位关系，求解光栅的绝对相位。这种方法只需要投射一幅图即可，且对投影测量设备的要求不高，可以减小硬件的误差影响，但是对待测物体有严格要求，若测量物体表面跳变大、轮廓复杂、信噪比不是足够高时，容易出现“丢包”“拉线”等问题。
时域相位展开法是按照一定的时间序列生成一套（多幅）条纹图，将其投射到物体表面，最后根据时域关系进行解相位。典型的时域相位展开法包括格雷码展开法、多频外差法。此类方法虽然增加了投射图片的数量，但每点的相位都是单独计算的，从原理上解决了误差的传播，不再因被测物表面不规则受影响，对于表面不连续的物体也可精准测量。但格雷码展开法所需投射的图片较多，且存在周期错位的现象。多频外差可以有效解决周期错位的影响。
针对上述问题，本文利用多频外差相移法进行相位展开，且对此算法进行优化。根据频率的主次，采用不同步数的相移法，在不降低精度的情况下，减少投射的条纹图，加快测量速度。
2 原理方法
相位求解一般分为两部分：相位主值求解与相位解包裹。相位主值的求解是对光栅相位的大致求解，解的范围在0 至2π 或-π 至π 之间，这个值在一个相位周期是唯一的，但一幅完整的光栅条纹图包括很多个相位周期，像素之间的实际相位差可能还包含多个完整的周期。相位解包裹就是将整幅光栅图中的多个相位周期转换为一个连续的、完整的相位周期，使求解的每个相位值在整个光栅相位中具有唯一性。相位的完整表达式为：
φ
——每点相位主值；k
——通过相位解包裹计算得出的条纹极次。相位展开图如图1所示。
图1 相位展开示意图Fig.1 Phase expansion schematic diagram
2.1 相位主值求解
相位主值的求解将采取相移法进行。相移法是通过投射多幅具有一定相位差的图像，计算含有物体表面轮廓三维信息的相位初值。目前已经有多种相移法被提出，对于不同的相移法，误差响应与稳定性也存在差异。为了在保证精度的前提下减少投射光栅图的数量，本文的主频次采用四步相移法确保精度不变，其他频次采用三步相移法。
在相移法中，投射的图片是光强为正弦分布的光栅条纹图，光强分布的函数表达式为：
I
——图像各点的光强；a
——图像的平均灰度；b
——图像的灰度调制；f
——光栅图像的频率。当光栅投影到待测物体表面后，光栅投影的条纹发生形变，其图像函数表达式为：
I
——相位为0 的光强；I
——相位为π/2 的光强；I
——相位为π 的光强；I
——相位为3π/2 的光强。通过上式进行计算，相位主值的表达式为：
N
＝3，每次相位移动的间隔为2π/3，光栅投影的相移依次为0，2π/3，4π/3，三帧光栅投影的光强为：
三步相移的相位主值表达式为：
通过上述公式可以得到三个频率的相位主值，每幅相位主值图都包含多个相位周期，需要通过相位解包裹，将多个周期相位展开为一个连续的周期的相位，使每点相位值具有唯一性。
2.2 相位解包裹
采用三频外差方法进行相位解包裹。其原理是通过叠加两列相近频率的波合并为一种更低频率的波，再经过计算得出条纹级数k
。频率的外差数学表达式为：
f
、f
——分别为叠加前两列波的频率；f
——叠加后的频率。当采用三频外差时，假设f
＞f
＞f
，它们分别为三列波的不同频率，叠加后的频率f
为
f
、f
、f
的三列波对应的波长为λ
、λ
、λ
。每列波的包裹相位为φ
（x
，y
）、φ
（x
，y
）、φ
（x
，y
），与之对应的绝对相位为Φ
（x
，y
）、Φ
（x
，y
）、Φ
（x
，y
）。绝对相位值与周期满足的关系式为：
利用外差原理叠加后的波长和相位发生改变：
λ
——频率为f
、f
的两列波叠加的波长；λ
——频率为f
、f
的两列波叠加的波长；λ
——λ
与λ
叠加的波长。
φ
——φ
、φ
叠加后的相位；φ
——φ
、φ
叠加后的相位；φ
——φ
、φ
叠加后的相位。相位解包裹的主要目的是相位主值内包含的周期个数。由于频次越高的波，信噪比越高，所以，将频率为f
的波设置为主频次波，通过四步相移进行相位主值的计算，其他两列利用三步相移进行主值计算。在进行相位解包裹时，也将围绕主频次波进行相位展开，联立式（1）、（8）、（9）、（10）可推导出：
k
（x
，y
），再结合相位主值的结果就可以得到该点的绝对相位。整个相位展开的实体图，如图2所示。
图2 实际相位展开图Fig.2 Actual phase expansion diagram
3 试验结果
为了验证算法的有效性与实用性，本文利用实验室现有设备，进行测量试验。试验中采用的硬件包括：投影仪（型号为DLP-4500）进行光栅图的投射，定焦工业相机（型号为MER-500，焦距为30cm，分辨率为2448 ×2048）采集经物体表面调制的光栅图，工控机将采集的光栅图进行相位解算，测量试验实物如图3所示。
图3 测量试验实物图Fig.3 Measuring experimental objects
试验以常规的三频四步相移法为基准，验证三频异步相移法的有效与优越性。通过上位机制作三频四步与三频异步的光栅图：三频四步的光栅图共计12 幅，如图4所示；三频异步的光栅图共计10幅，如图5所示。本文试验选取一个圆形盒子为被测物，将制作好的光栅分别投射到物体表面，如图6所示。再通过CCD 采集经物体表面调制后的光栅图。
图4 三频四步光栅图Fig.4 Three-frequency four-step grating
图5 三频异步光栅图Fig.5 Three-frequency asynchronous grating
图6 经被测物调制的光栅图Fig.6 Modulated grating
通过CCD 采集经物体表面调制后的光栅图，采用本文算法与三频四步相移法进行相位展开。由于相机拍摄的视角比较广，周围会出现无效区域，所以选取中间区域进行试验分析。为了避免其他误差的引入，本试验只进行相位的比较，选取（500，450）～（500，650）作为比较区域，将两种方法相位展开后的绝对相位进行比较，如图7所示。
图7 相位差值Fig.7 Phase difference value
4 讨论分析
对于光栅相位展开技术，很多专家学者通过试验论证了基于时间序列展开法的优越性，且三频四步相移法比格雷码方法更有优势。所以本文提出的算法只进行了与三频四步相移法的比较。从图7可以看出本文提出的三频异步算法与三频四步相移法的插值在4.188 附近浮动，这说明优化算法的相位展开精度与三频四步相移法很相近，只是存在一个固定的差值。由于优化算法需要将四步相移法与三步相移法进行结合，两种方法的位移量存在偏差，为了使四步相移的相位主值更好的与三步相移的相位主值融合，需要将四步相移的整体相位频移2/3 个周期，这就导致最后进行相位展开以后，整体绝对相位会比三频四步相移法展开的绝对相位大2π/3。为了更直观地反映优化后算法的有效性，本文又将光栅直接投射到平面上，进行相位展开，同样取第500 行对比绝对相位，如图8所示。
由图8 可以更明显地看出，三频异步相移法展开的相位与三频四步相移法展开的效果相同，只有初始的相位有些偏移且优化后的初始相位为零点，但三频异步相移法相比于三频四步等所需的投射光栅图更少，证实了优化后算法的有效性与优越性。
图8 第500 行绝对相位分布图Fig.8 Line 500 absolute phase
5 结束语
本文对三频四步相移法进行分析，为了减少投射光栅图的数量，在不降低精度的情况下加快测量速度，优化算法后得到三频异步相移法。对圆形盒子进行表面测量试验，将不同的光栅条纹投射到圆盒表面，采用三频四步相移法以及优化后的三频异步法进行相位展开，最终得出三频异步相移法的可行性与优越性。本文在没有降低精度的前提下减少了投影光栅图的数量，虽然没有提高光栅投影三维测量的精度，但加快了测量速度，未来提高测量、解算速度提出了新的研究方向。
