多孔介质中的Brinkman-Forchheimer模型的收敛性

石金诚,李远飞

(广州华商学院数据科学学院,广东 广州511300)

1.引言

偏微分方程的稳定性研究是近年来偏微分方程中的一个重要研究方向,其中连续依赖性(或收敛性)的研究依赖于模型本身的变化,而不是初始数据的变化.Ames和Straughan在专著[1]中多次提到了相关的工作,强调了模型本身的变化对模型解的影响.偏微分方程中本构方程的参数的变化可以在物理上反映出来,通过数学上的分析,有助于了解模型在物理中的适用性.连续依赖性(或收敛性)的结果很重要,因为在数值计算和数据测量过程中,不可避免地会出现误差,我们需要知道一个微小的误差能否引起解的急剧变化.

多孔介质中流体方程组的研究是当前数学与力学领域的热点问题,其研究主要集中在Brinkman,Darcy和Forchheimer方程组上.Nield和Beijan[2]以及Straughan[3]讨论了多孔介质中的这些模型.参考文献中有一些论文讨论了Brinkman,Darcy,Forchheimer和其他多孔介质方程的Saint-Venant原则,但主要是研究多孔介质中流体方程组的空间衰减估计结果[4].关于多孔介质中流体方程组的结构稳定性,Franchi和Straughan[5]、Payne和Straughan[6]、LIN和Payne[7]等人已有一些研究进展.近年来,文[8–21]取得了一些新的结果,但这些文献大多只研究了方程的连续依赖性,而忽略了方程的收敛性.当流速过大时,Darcy定律将不成立,此时Brinkman模型被认为是准确的,如果采用Forchheimer逼近,我们就能得到如下Brinkman-Forchheimer方程组[3]:

其中ui,p,T,C分别表示为速度,压强,温度和盐浓度,gi(x)和hi(x)为重力函数,∆为拉普拉斯算子.σ是Soret系数,此外v和b分别是Brinkman系数和Forchheimer系数.在方程组(1.1)中v,b,σ,k1,k2都是大于零的常数.一般来说,热扩散系数k1和盐扩散系数k2相差很大,因此,不妨假设k1k2.方程组(1.1)是一种基于动量守恒,质量守恒,能量守恒以及盐浓度守恒的方程组,并在动量方程中采用了Forchheimer逼近.LIN等人在文[7]中首先研究了这类多孔介质中含有盐浓度的流体方程组的结构稳定性,他们在温度与盐浓度满足齐次Neumman边界条件下得到解的结构稳定性结果.接着文[8,21]在此基础上将σ∆T换成一个连续函数f(T),也得到一些类似的结果.本文我们将继续文[7]的研究,假设温度与盐浓度满足与文[7]中不同的边界条件,通过一些新的方法,得到解的收敛性结果.

方程组(1.1)在Ω×[0,τ]区域内成立,其中Ω是R3中的一个有界单连通的星形区域,τ是给定的常数且0≤τ <∞.

边界条件为

此外，初始条件为

本文研究了方程组(1.1)的解对Brinkman系数v的收敛性.当v趋于0时,速度梯度的估计将会有困难,同时,由于盐浓度C的方程中含有σ∆T项,从而导致盐浓度C的估计难度加大,本文能够较好解决这些难题.目前我们尚未发现有研究此类问题的文献.

本文采取以下符号约定,用逗号表示求偏导,用,i表示对xi求偏导,如:u,i表示为,重复指标表示求和,表示Lp范数.

2.温度T和盐浓度C的先验界

为了得到本文的主要结果,我们给出以下引理:

引理2.1温度T和盐浓度C满足以下最大值估计:

证在文[22]中,Payne,Rodrigues和Straughan得出了下面的结果

定义一个新函数

方程(1.1)4变形为

则方程组(1.1)可重新写为

函数N满足的边界条件为

此外，初始条件为

由于N满足与T相同的方程，所以

引理2.2设(u∗i,p∗,T∗,C∗)是方程组(3.4)的解,则温度T∗的梯度和盐浓度C∗的梯度范数满足以下估计:

其中m2(t)=2K1(t)+2¯k2m1(t),m3(t)是可计算的大于零的函数.

证为了得到的界，引入满足下列条件的函数φ(x,t)

显然,有

显然,有

联合(2.13)式和(2.15)式,可得

在方程(2.17)1两边同时乘以φ −ψ,并且在Ω上积分,可得

因为在边界∂Ω上T0−ψ(x,0)=0,所以

其中λ是大于零的常数.

对于(2.20)式,由分部积分,可得

显然,有

其中n和s分别是边界∂Ω上的法向量和切向量,∇sψ是切向导数,我们可以得出

将(2.24)式和(2.25)代入到(2.22)式,可得

由(2.27)式,可知

因此,我们得到Ω[T0−ψ(x,0)]2dx的界.由(2.18)式,(2.19)式和(2.28)式,可得

因此,有

由(2.28)式,同样可得

联立上两式,可得

因此,有

我们得到以下方程

由φ的最大值原理,可得

方程(3.4)1两边同时乘以u∗,并在Ω×[0,t]上积分,可得

由(2.36)式和(2.37)式,可得

联合(2.33)式和(2.38)式,可得

其中m3(t)是可计算的大于零的函数.

3.Brinkman系数υ的收敛性结果

在这一节中,我们建立了对Brinkman系数υ的收敛关系.设(ui,p,T,C)为下列边界初值问题的解

边界条件为

初始条件为

设(u∗i,p∗,T∗,C∗)为下列边界初值问题的解

边界条件为

初始条件为

假设ωi=ui −u∗i,θ=T −T∗,S=C −C∗,π=p −p∗,则(ωi,θ,S,π)满足下列方程组

边界条件为

此外,初始条件为

引理3.1对于速度u∗i,有以下估计:

其中m4(t)是大于零的函数.

证为了得到的界,构造一个新的函数

结合方程(3.4)1,可得

联合(2.39)式,(2.40)式和(3.13)式,可得

我们将得到以下主要结果:

定理3.1设(ui,T,C,p)为初边值问题(3.1)-(3.3)式的经典解,(u∗i,T∗,C∗,p∗)为初边值问题(3.4)式-(3.6)式的经典解,(ωi,θ,S,π)是这两个解的差.当Brinkman系数v趋于0时,解(ui,T,C,p)收敛于解(u∗i,T∗,C∗,p∗).解的差(ωi,θ,S,π)满足

证将方程(3.7)1乘以ωi,并在Ω上积分,可得

将方程(3.7)3乘以θ,并在Ω上积分,可得

其中ε1是大于零的任意常数.

将方程(3.7)4乘以S,并在Ω上积分,可得

其中ε2,ε3是大于零的任意常数.

设

对(3.20)式两边同时在[0,t]上积分,可得

不等式(3.21)表明了在指定测度下当Brinkman系数v趋于0时,ui收敛到u∗i,T收敛到T∗,C收敛到C∗.