数学导学案引导问题的类型及其设计*

程新展

摘   要   数学导学案关注学生学习方式的转变，具有较强生命力，实践中也突显出一些困境。导学案的内容主要应是引导学生思维的问题和提示语，从基于教学内容处理的着力点、学生学习心理状态和教学进程具体情况三种类型中选择和設计引导问题，促进学生数学思维的发展，是学案导学保持旺盛生命力的正确方向。

关键词  学案导学 引导问题 数学导学案

随着课改的不断深入，不少学校推行了以学案导学为载体的教学改革，这场由下至上的探索，关注了学生学习方式的转变，具有较强的生命力，在国内很快推开。导学案，即引导学生学习的方案。对此，章建跃先生明确指出：“编制导学案要把握的核心是提好问题，这里的‘导主要体现在思维的引导上，应采用问题（提示语）引导思维的方式，以‘学习任务单的形式呈现。”因此，导学案的内容主要包括两个方面：一是能促进数学原理发现、概念建构、问题解决，有效启发和促进学生思考的数学思维问题;二是对容易疏漏方面或重难点的提示语[1]。好问题不仅要揭示数学学习内容的本质，激活思维、激发求知欲，使学生保持积极、适度的求知倾向，还要给学生以提问的示范，培养问题意识，孕育创新精神。因此，编制导学案时，教师要通晓核心教学内容的构成要素及其之间的逻辑关系，从明晰教学内容处理的着力点、分析学生在学习过程中的心理状态和预设教学进程中学生可能出现的具体情况三种类型中，合理地选择和设计引导问题，促进学生数学思维的发展，是学案导学保持旺盛生命力的正确方向。

一、基于教学内容处理着力点的引导问题

数学教学中，教师应用心捕促并着力于知识内容在发生、发展过程中起核心作用的“发生点”，并努力将其做深做透。基于教学内容处理着力点的引导问题，能引发学生的深度思考，增强学生的探究意识，使学生经历观察、猜想和推理等理性思维的基本过程，获得对知识的正确理解，切实改进学生的学习方式。

1.设在教材关键点的问题

教材的关键点突出反映了学生在新知学习过程中认知上的矛盾，体现了教材新旧内容的衔接与联系，展示了学生由感知向理解的认知过程，设在教材关键点的引导问题，能很好促进学生把握重点，突破难点。

如反比例函数图像性质的教学，以往的研究经验都是先作图，然后再利用图像得出性质。因为反比例函数图像的趋势、对称性等的不明确性，致使作图较难。因此，本课的教学既要体现学生已有的知识经验，又要注意利用函数的特性，“以数想形”“由形助数”，通过适当的问题激发学生的创新思维。

（1）画函数图像的一般步骤是什么？

（2）一次函数的图像是如何画的？反比例函数的图像也可以这样画吗？为什么？

（3）结合y=■自变量x和函数y的特征，你认为列表时自变量x如何取值才合理美观？

（4）自变量x≠0说明函数图像有什么特征？

（5）函数值y能否为0？若y≠0说明函数图像有何特征？

（6）自变量x与函数值y的积是正值，表明x、y的符号有何特征？对应的函数图像呢？

通过以上引导问题，让学生画图之前对图像有一个大致的轮廓形象，学生经历了亲身实践、自主思考、合作交流的过程，深刻体会了函数解析式与图像之间的密切关系，初步形成了如何研究一个新函数的方法。这种逻辑严谨的思维训练、追根溯源的思维习惯也提升了学生的数学素养。

2.设在教材疑难点的问题

当新知与学生已有的认知水平之间差距较大时，学生便会感到疑难。在深入分析差距形成原因的基础上，通过从不同层面、不同角度设立的引导问题，搭建了认知台阶，可缩小或消除这种差距。

例如，学生在学习（a±b）2=a2±2ab+b2时，对公式中“和”“差”符号的区分及字母a、b的理解会有障碍，为了避免学生混淆公式、死记公式，可设计问题：

（1）你能结合图形解释公式吗？

（2）你能用语言表述它们的结构特征吗？

（3）这两个公式有何异同？它们与平方差公式有何区别？

（4）公式中字母a、b表示什么？

（5）这两个公式可以用来解决什么问题？

通过上述问题，引导学生不断修正、反思、完善概念的理解，洞析公式的本质，发展了学生的辨别力、判断力和洞察力，培养了学生思维的批判性与深刻性。

3.设在教材模糊点的问题

教材上常有一些貌似模糊不清的内容，表面上看似“细枝末节”，实际上却彰显着数学不可或缺的“严谨性”与“科学性”，适当的引导问题，对提升课堂教学的质量具有重要作用。

例如，学生在初学垂直概念时，常将“90°”“直角”“垂直”不加区分，混为一谈。实际上，“90°”表示角的大小，是一种数量;“直角”表示两条相交直线所成的角，是一种图形;而“垂直”则反映线与线的一种位置关系。几何推理时，对这三者的认识程度直接关系到图形语言、符号语言和文字语言之间的相互转化，而这三种语言也正是数学思维的有力工具，具有相当的重要性。可作如下提示：

（1）“90°”“直角”表明了什么关系？

（2）“垂直”表示两条直线间的什么关系？

上述提示既让学生辨析了三者之间的关系，又为后续学习其他几何概念时提供了经验，发展了学生的辩证思维能力。

二、基于学生学习心理状态的引导问题

学案导学的实质是一种没有痕迹的教，把教师想要教给学生的知识转化为问题，蕴含于问题之中，变教师的“明讲”为“暗导”。因此，导学案在某种程度上应成为一个书面的“老师”，当学生遇有困难时，给予适切的帮助;通过对学生学习心理状态的分析，在导学案中嵌入一些引导性的问题（提示语），可以代替教师实现“面对面”的帮助。

1.设在学生思维受阻、难以顺利突破时的问题

学生解题时，常常会遇到无从下手或进行了一半又无法继续下去的现象，这并非题目太难所致， 而是其思维形式或结果与具体问题的解决存有差异，致使思维受到阻碍，适时、适度的引导问题，可以帮助学生很好地实现突破。

例如，已知：直线 CD∥AB，求证：∠E=∠B+∠D（見图1）。

对此，学生容易想到利用两直线平行的性质，但找不到相关的角，思维受到阻碍。此时教师可提供如下帮助：

（1）由两直线平行可以得出什么结论？怎样运用这个条件呢？

（2）能否将要求证的∠E分成两个角，使之分别等于∠B、∠D？你学过的哪个定理涉及到了一个角等于另外两个角的和？尝试运用这个定理看看。

为了帮助学生挖掘数学活动经验的主动性和自觉性，完善思维方式，教师可进一步引导学生作如下反思：

（1）说说你解决本题的困难是什么，你是如何突破的？

（2）本题还有哪些方法？

通过以上问题反思，引导学生外化解题经验，从不同角度分析问题，激发学生的多向思维。作为导学案，需要更清晰地外显这样的过程，促使学生感受学习方法，形成习惯和能力[2]。

2.设在学生知识断档、难以实现迁移时的问题

迁移是知识点之间的灵活转换与应用，当学生的知识出现断档、结构尚未形成时，通过引导问题营造知识点之间贯通理解、灵活转换的条件，实现知识的有效迁移，是教学成功的一个重要环节。

例如，在学习多边形的内角和时，学生对转化思想的理解和应用存有断档，难以实现迁移。此时教师可引导学生先从特殊情况入手，通过归纳、总结，进一步探求n边形的内角和公式。

（1）四边形的内角和是多少？你是如何得出的？

（2）如何把四边形分割成三角形？你有哪些方法？

（3）你能用类比的方法求出五边形、六边形的内角和吗？

（4）你能求出n边形的内角和吗？

学生利用导学案在先行思考的基础上，灵活应用已有知识经验，从多个角度分析并大胆尝试，课上再通过小组合作、探讨交流，最后小组汇报展示探究方法，不仅有利于学生发散性思维能力的培养，还能促进学生创新思维习惯的养成。

3.设在学生疑惑不解、难以正确理解时的问题

学生疑惑不解、难以正确理解的知识点，常常是学生认知矛盾的焦点，通过引导问题，减缓问题坡度，化解矛盾，解除疑惑，增强学生学习数学的自信心，是教学过程顺畅有效的重要保证。

例如，高三数学复习中，经常遇到这样一道经典题：若函数f（x）=log3（x2-3x+m）的值域为R，求实数m的取值范围。教学中发现，很多学生的答案与“定义域是R”的答案相同，而教师通常是用换元的方法理解该问题：要使函数的值域为R，则k=x2-3x+m要取遍所有的正数，故其图像与x轴必须有交点，即△≥0。调查发现，大部分学生对此都心存疑惑：“若有交点，k就能取到负数和0，但对数的真数只能为正呀！”很显然，这种常规生硬的讲解，只能带来学生的费解。实践证明，通过设计引导问题作为铺垫，引发学生思考，可很好促进学生对本题的理解。分别求出函数（1）f（x）=log3（x2-3x+4）、（2）f（x）=log3（x2-3x+2）的值域和定义域。学生完成这两小题后，再经教师的严密解题分析，对本题的理解应该容易多了。

三、基于教学进程具体情况预设的引导问题

导学案问题的设计应重视“预设”，只有合理的“预设”，才能带来可贵的“生成”。通过预设教学进程中基于学生认知水平的答案、错误、疑惑、需求、感悟……让他们在“先学”的过程中充分体验并获得足够的感性和理性认识，真正参与“后教”过程中的思辨与推理，更好地进行归纳、总结，把“先学”过程中的猜想与结论内化为知识和能力[3]。

如等差数列复习中，教师给出了：若An、Bn分别是等差数列{an}、{bn}前n项的和，已知■=■，求■=？这是一道训练学生灵活运用等差数列知识解决问题能力的题目，颇具典型性，经常被教师作为例题选用。本题更适合通过导学案的引导与提示，课上采用合作学习方式完成，可设计问题：

（1）看到本题条件An、Bn，你首先想到了什么？代入条件后你能将其转变为要求的■吗？

（2）看到这种以比例形式给出的条件，你还能想到什么方法？

对于问题1，经过小组激烈的交流讨论，在师生、生生的思维碰撞中，通过对学生原有想法的完善和补充，小组内顺利产生了两种解法。在反思这两种解法的基础上，进而引导学生给出上述常用的方法，以简驭繁，便是水到渠成，自然而然的事了。

对于问题2，小组内常常会得出两个截然不同的结果，但教师并没有轻易地表态，而是组织学生进行了一次大讨论，学生的思维被激起，课堂顿时活跃起来，经过激烈讨论，学生很快对这种解法进行了完善。

由此可见，运用学案导学，在学生自主先学的基础上，师生在课堂上能有充分的时间讨论交流问题，有效进行思维的诊断、纠偏，对提高课堂教学的质量、提升学生的思维能力非常有益。这是动态思考教学、发挥教学智慧作用的最好体现，也是学案导学的一大明显优势。

总之，学案导学的根本目的是培养学生独立思考和自主学习的能力，使之成为具有创造性和批判性的学习者。根据课程理论家斯腾豪斯的理论，能有效达成这一教育目的主要方式是“引导”而非“训练”。那么，这种引导式教学应是一种什么样态呢？对此，艾斯纳有过这样一段描述：它是向师生发出的一份“请帖”，邀请其共同探索、追随、集中争论特别重要或感兴趣的问题，它应是一种唤醒而非规定。由此可见，要真正发挥好 “学案”的“导学”功能，关键是要在引导问题的类型选择和设计上下工夫，而不是打“海量练习”的主意。

参考文献

[1] 章建跃.章建跃数学教育随想录下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017：641-642.

[2] 章飞，陈蓓.学案导学 导在何处[J].数学教学学报，2013（06）：95.

[3] 于浩，魏晓东，于海波.“学案导学”教学模式的反思与重构[J].教学与管理，2018（03）：100.