待定系数法求解微分方程的特解的一点探究

朱庆 王喜 汪海玲

【摘要】二阶常系数微分方程在微分方程的研究中具有十分重要的意义。若非齐次项为g（t）=eαtPn（t）cos（βt）或eαtPn（t）sin（βt）时，待定系数法即先假设方程的某种形式的特解，其系数是待定的，它是求解这类微分方程特解的常用方法。这种方法的优势在于将特解带入方程后就可直接待定出常系数，其局限性是需准确写出特解的假设形式。本文将结合欧拉公式及线性微分方程解的一般理论，证明在当前非齐次项形式下，其特解的假设形式为什么不能设为如下sin 和 cos 函数具有比例对应关系的表达式：eαtQn（t）（Acos（βt）+Bsin（βt））。

【关键词】二阶微分方程  待定系数法  欧拉公式  特解

【基金项目】广西研究生教育创新项目“双一流建设背景下广西高等院校研究生创新能力和职业能力发展的培养研究”（JGY2019030）;广西师范大学第三批课程思政示范课程建设项目重点项目“常微分方程”（项目主持人——朱庆）;广西师范大学第四批课程思政示范课程建设项目“数学建模”（项目主持人——彭华勤）;广西师范大学大学生创新训练项目“基于我校学情的一体化数学分析习题集的建立”（202110602213）;广西师范大学2019年课程思政示范课程建设项目“数学分析”（项目主持人——马林涛）。

【中图分类号】O175.1          【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）30-0060-02

待定系数法用于常系数微分方程

ay″+by′+cy=g（t），a，b，c为任意常数        （1）

右端g（t）是某些基本函数的情况，常见的有多项式、指数函数、正弦（或余弦）函数以及它们的某种乘积组合。这种方法的特点就在于不需通过积分运算，而用代数方法即可求得非齐次线性微分方程的特解，即将求解微分方程的问题转化为某一个代数问题来处理，因而比较简便。同时，待定系数法是一种常见的求解常系数非齐次微分方程的方法，该方法推广到求解三阶，四阶甚至更高阶的微分方程。

值得注意， 在此类型的求解过程中正确写出特解形式是待定系数法的关键问题。在国内外许多教材中得出，若非齐次项g（t）为多项式与三角函数的乘积Pn（t）eαtsin（βt）或Pn（t）eαtcos（βt）的单个表达式，其中Pn（t）是最高次幂为n的实值多项式，α，β为实数，结合三角函数的性质，方程（1）的特解需设为：

[（c0tn+c1tn-1+…+cn）cos（βt）+（d0tn+d1tn-1+…+dn）sin（βt）]eαt （2）      若无说明，本文均不考虑α±iβ是代数方程ay2+by+c=的共轭特征根。将特解（2）带入方程（1）中，通过待定系数法求出实数cj，dj（j=0，1，…，n），继而获得微分方程的特解。

在此處，我们不可避免地提出疑问，对于g（t）=Pn（t）eαtcos（βt），其特解是否能写成如下：

（q0tn+q1tn-1+…+qn）·eαt （Acos（βt）+Bsin（βt））  （3）

三项相乘的形式，其中，q0，q1，…，qn，C，K均是实数。事实上，通过具体例题，我们可以判断形式（3）是不合理的，后文我们将从理论上推导，证明特解形式（2）的正确性。

在文献[1]和[2]中，对于g（t）是两项相加的情形时，即

g（t）=[Pn（t）cos（βt）+Qm（t）sin（βt）]eαt，

相应的特解假设为

Y（t）=[2Re（D（t））cos（βt）+2Im（D（t））sin（βt）]eαt，

其中，D（t）为t的l次多项式， l=max{n，m}。对于单个表达式，不妨假设非齐次项中Qm（t）≡0，则g（t）=Pn（t）cos（βt）eαt，由此可知特解中D（t）是实函数，即Im（D（t））≡0 ，从而特解变为Y（t）=2Re（D（t），cos（βt）eαt ，这显然不合理。

我们考虑如下常系数非齐次微分方程

ay″+by′+cy=g1（t），                （4）

ay″+by′+cy=g2（t），                          （5）

它们对应的特解分别记为Y1，Y2。

若齐次项g1（t）=g2（t），则Y1，Y2是一组共轭的特解。事实上，由于

aY″1+bY′1+cY1=g1，

对上述方程两边取共轭，可知

aY″1+bY′1+cY1=g1，

值得注意的是，g1=g2且

aY″2+bY′2+cY2=g2，

根据解的性质[3]，从而

Y1=Y2

现探究微分方程（1）具有如下形式的非齐次项g（t）=eαtPn（t）cos（βt）或eαtPn（t）sin（βt）的特解的假设形式，其中Pn（t）为实值多项式，α，β为实数。不失一般性，本文仅考虑其中一种情形g（t）=eαtPn（t）sin（βt）。

根据Euler公式[4] sin（βt）=（eiβt-e-iβt）/（2i），可知

g（t）=eαtPn（t）sin（βt）=Pn（t）

=e（α+iβ）t-e（α-iβ）t，

不妨令g1（t）=e（α+iβ）t，g2（t）=-e（α-iβ）t，显然

g1（t）=g2（t）

依据非齐次项为多项式与指数函数情形下的特解的假设规律，可设g1（t）的特解为

Y1=（A0tn+A1tn-1+…+An）e（α+iβ）t，

相应的g2（t）的特解为

Y2=（B0tn+B1tn-1+…+Bn）e（α-iβ）t.

值得注意的是， A0，A1，…，An和B0，B1，…，Bn均为一组复数。不难得知，Aj=Bj（j=0，1，…，n）。文獻[5]在讨论方程（1）的特解过程中认为A0，A1，…，An和B0，B1，…，Bn均为实数，是不合理的。

现设

Aj=aj+i·bj，Bj=aj-i·bj （j=0，1，…，n），

其中，aj和bj是互不相关的实数，从而Aj+Bj=2aj，Aj-Bj=2ibj.

根据非齐次线性微分方程的叠加性原理可得方程（1）的特解Y=（A0tn+A1tn-1+…+An）e（α+iβ）t+（B0tn+B1tn-1+…+Bn）e（α-iβ）t.

由Euler公式，

Y=eαt（cos（βt）+isin（βt））（A0tn+A1tn-1+…+An）+eαt（cos（βt）-isin（βt））（B0tn+B1tn-1+…+Bn）=eαtcos（βt）[（A0+B0）tn+…+（An+Bn）]+i·eαtsin（βt）[（A0-B0）tn+…+（An-Bn）]=[Re（（An-k-Bn-k）tk）]eαtcos（βt）-[Im（（An-k-Bn-k）tk）]eαtsin（βt）.

简化符号，即

Y=eαt（c0tn+c1tn-1+…+cn）cos（βt）+eαt（d0tn+d1tn-1+…+dn）sin（βt）.

其中，cj=Re（Aj+Bj）=2aj，dj=-Im（Aj-Bj）=-2bj（j=0，1…，n）是一组对应之间互不相关的实数，不一定具有比例关系。

综上所述，方程（1）中若非齐次项g（t）为多项式与三角函数的乘积的单个表达式Pn（t）eαtsin（βt）或Pn（t）eαtcos（βt），其特解的假设形式是不能设为如下比例关系的表达式：eαtQn（t）（Acos（βt）+Bsin（βt）），准确的形式仍然是eαt（c0tn+c1tn-1+…+cn）cos（βt）+eαt（d0tn+d1tn-1+…+dn）sin（βt）.

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程第三版[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[2]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[3]吴赣昌.微积分上下册（经管类·第五版）[M]. 北京：中国人民大学出版社，2019.

[4]华东师范大学数学与统计学院.数学分析（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2019.

[5]ILLIAME.BOYCE，RICHARDC.DIPRIMA， OUGLAS

B.MEADE. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems[M]. Cenveo Publisher， 2017.

作者简介：

朱庆（1988年-），女，汉族，湖北天门人，理学博士，研究方向为常微分方程的理论及其应用。

王喜（2001年-），男，汉族，四川达州人，本科在读，研究方向为数学与应用数学。

汪海玲（1979年-），女，汉族，湖北黄冈人，副教授，理学博士，研究方向为微分方程的理论及其应用。