具有符号式正解的降耦冲压机构动力学建模与分析

2021-04-13沈惠平黄凯伟邓嘉鸣尤晶晶杨廷力

农业机械学报 2021年3期

沈惠平黄凯伟邓嘉鸣尤晶晶杨廷力

(1.常州大学现代机构学研究中心, 常州 213016; 2.南京林业大学机械电子工程学院, 南京 210037)

0 引言

目前，国内外学者在并联机构的型综合、运动学及其性能等方面的研究较多[1-4]，而有关动力学的研究相对较少。常用的动力学分析方法有动力学普遍方程[5-6]、Newton-Euler法[7-8]、Lagrange方程[9-10]、Hamilton正则方程[11]、Kane方法[12-13]等。

陈修龙等[5]利用动力学普遍方程推导了4-UPS+1-UPU并联机构的动力学模型；KALANI等[6]基于虚功原理，提出一种能够减少计算时间、提高精度的改进型动力学普遍方程，并对6-UPS Gough-Stewart机构进行了正逆动力学分析；SHIAU等[7]采用Newton-Euler法对3-RPS混联机构进行动力学建模；李研彪等[8]在考虑关节摩擦效应的情况下，采用Newton-Euler法建立了5-PSS+1-UPU并联机构的动力学模型，并进行数值仿真验证；LEBRET等[9]利用Lagrange方程对Stewart机构进行动力学分析和控制；THANH等[10]通过Lagrange方法解决了冗余并联机构的动力学建模问题；尤晶晶等[11]利用Hamilton正则方程，对并联式六维加速度传感器进行了动力学研究；于影等[12]基于Kane方程，建立了6-RUS型并联机构的逆动力学模型，并以此实时调整对接喇叭口的位姿状态；鹿玲等[13]采用计算效率较高的Kane方法建立了5UPS/PRPU并联机床的动力学模型，以解决冗余驱动并联机构的驱动力协调问题。此外，工业上许多场合需要结构简单、少驱动源的并联机构。沈惠平等[14-15]提出少输入-多输出并联机构的概念及其系统的设计方法，并发明了大量少输入-多输出并联机构及操作手(含单自由度多输出的并联机构)[16-18]，还研制了系列基于单输入多输出(1T2R、2T2R、3T1R)的并联机构的并联振动筛样机[19-20]。

冲压机构是一种高效的自动化成型设备。目前，对冲压机构的结构参数优化设计、运动分析和特性研究较多[21-23]，而对新型冲压机构的动力学分析相对较少[24-25]。文献[26]提出一种单输入双滑块输出的平面冲压机构，并进行了尺度综合，该机构属于平面型单自由度两输出的并联机构[16]。

Newton-Euler法需对构件逐个进行受力分析，其分析过程较为繁琐，但可方便计算各构件的支反力，以便进行强度设计。文献[27]提出基于Newton-Euler原理的序单开链法(简称：N-E序单开链法)，该方法将机构拓扑分解及其耦合度κ贯穿于运动学、动力学的一体化建模与求解中，其思路清晰，求解过程简洁。

文献[28-29]运用该方法，分别对三自由度的平面并联气液动连杆机构、平面三自由度并联机构进行了动力学分析；由于这2种机构的耦合度κ均为1，故只能得到其位置数值解，速度、加速度分析也较复杂，从而使动力学计算较为繁琐，这两种平面机构均仅含1个子运动链(Sub-kinematic chain，SKC)；尚未对该方法与其他传统的动力学分析方法(Newton-Euler法、Lagrange法等)进行动力学建模精度的比较分析，因此，难以判断N-E序单开链法的求解精度。

本文对文献[26]提出的机构进行拓扑降耦优化，设计一种零耦合度、具有符号式正向运动学的、含3个SKC的单输入双输出冲压并联机构，对其进行拓扑分析后，进行运动分析(按拓扑结构分解的正序)。因耦合度κ=0，故无需设定虚拟变量，计算简便。采用N-E序单开链法(按拓扑结构分解的逆序)对该机构进行动力学建模，求解机构构件的动态支反力和驱动力矩，并对比分析该方法和Lagrange法在动力学建模精度上的误差。

1 机构设计和拓扑分析

1.1 研究背景

文献[26]提出的单输入双滑块输出的平面八杆冲压机构，如图1所示。

它由一个平面Ⅱ级杆组(2-3)和一个平面Ⅲ级杆组(4-5-6-7)组成，其中，滑块3(P1)为主冲压头，滑块6(P2)为辅助推料器，其余8个关节均为转动副(A～H)。

显然，该机构包含3个回路的独立位移方程数ξLi=3。由整周自由度公式[30]可得

因此，该机构仅需要一个原动件(杆1)，当冲压头3沿v1方向向下冲压时，辅助推料器6沿v2方向完成自左向右的待冲压物料的自动推送，从而完成自动冲压，而不需要人工送料，保证了人身安全。

根据单开链的约束度计算公式[30]，各回路的约束度Δi(i=1，2，3)分别为：

(1)第1回路由A-B-C-P1构成

根据最小子运动链(SKC)的划分原则，由A-B-C-P1构成第1个SKC，其耦合度[30]为

(2)第2回路由D-E-F-P2构成

(3)第3回路由G-H构成

因此，由第2、3回路构成第2个SKC，其耦合度为

1.2 机构降耦设计及其拓扑分析

降低机构的耦合度可直接降低机构运动学、动力学分析求解的难度，为此，文献[31]提出并联机构结构降耦原理及其设计方法，本文运用其中的“基于运动副复合方法”，将机构第2回路中的运动副D、E合并，得到的改进优化机构如图2所示，即可将机构的耦合度从1降到0；降耦后，机构各回路的约束度计算具体为：

A-B-C-P1为第1回路，即SOC1，可得

D-G-H为第2回路，即SOC2，可得

G-F-P2为第3回路，即SOC3，可得

可知，拓扑降耦后机构包含3个SKC，分别为SKCi(i=1，2，3)，其耦合度均为零。因此，机构耦合度为零，从而使得新机构具有符号式正向运动学，方便了动力学分析求解。

2 运动学分析

2.1 位置正解

如图3所示，以点H为原点、水平机架方向作为x轴，建立直角坐标系。

设杆1为曲柄，其输入角为φ，驱动力矩为M；各个二副杆的长度为li(i=1,4,5,7)；三副构件2为等腰三角形，腰长(BD、DC)为l8，底边长(BC)为l2；mi为第i个构件质量，Ii为第i个构件绕其质心Si的转动惯量；设杆BC、DG、GH、GF与x轴正方向的夹角分别为φ1、φ2、φ3、φ4。

基于拓扑特征的机构运动学建模与求解方法[33-34]，具有求解原理简单、解题思路清晰、计算量少等优势；本文将该方法用于将该机构的位置正解求解，即将该机构转换为其3个SKC各自位置的正解求解。

(1)SKC1(A-B-C-P1)的求解

设A=(m，n)，则有

B=(m+l1cosφ,n+l1sinφ)
C=(m,n+l1sinφ-l2sinφ1)
D=(m+l8cos(θ+φ1),YC+l8sin(θ+φ1))
l1cosφ=l2cosφ1

(1)

(2)SKC2(D-G-H)的求解

分别求得φ2、φ3及点G的位置为

(2)

(3)

G=(l7cosφ3,l7sinφ3)

(3)SKC3(G-F-P2)的求解

求得点F坐标为

F=(l7cosφ3-l5cosφ4,0)

设计机构时，取杆长l5=l7，则有

φ4=π-φ3

(4)

设各杆件质心位于其几何中心，则易得其质心Si(i=1，2,…，7)的位置为

至此，SKCi(i=1，2，3)中各个运动副的位置均可表示为输入角φ的解析函数，便于后面速度、加速度的解析计算。

2.2 速度、加速度分析

因杆1、7仅绕定轴转动，滑块3、6仅做移动，其(角)速度、(角)加速度为

其他构件的运动可分解为质心沿x、y向的分运动，以及绕垂直于质心轴的转动，即

由于降耦机构具有符号式位置正解，因此，容易求得机构的符号式(加)速度；运用Matlab编程得到滑块3速度、加速度的理论计算值，与ADAMS仿真值进行对比，如图4所示，表明该机构的运动学模型及求解过程正确。

3 基于N-E的序单开链法动力学分析

3.1 基本原理

本文研究的降耦优化机构，因其耦合度κ=0，所以，无需设立虚拟变量，即可直接求解3个SKC内的支反力，求解容易、方便。

3.2 动力学分析

由2.2节，可依次计算出3个SKC中各构件的惯性力fi和惯性力矩Mfi为

式中asix、asiy——第i个构件质心Si的x、y向加速度

Ii——第i个构件绕其质心的转动惯量

αi——第i个构件角加速度

(1)SKC3(G-F-P2)的受力分析

杆GF、滑块6的受力分析如图5所示。

杆GF的力与力矩平衡方程为

(5)

对滑块6进行分析，有

RFX=-m6a6

(6)

由式(5)、(6)，可解出运动副G、F上的支反力RGX、RGY及RFX、RFY。

(2)SKC2(D-G-H)的受力分析

杆GH、GD的受力分析如图6所示。因运动副G是复合铰链，设R1GX、R1GY及R2GX、R2GY分别为杆GH、GD上运动副G处的支反力。

杆GH、GD的力与力矩平衡方程为

(7)

运动副G的静力平衡方程为

(8)

由式(7)、(8)，求解一个八元一次方程组，可得SKC2内两杆上的未知支反力RDX、RDY。

(3)SKC1(A-B-C-P1)的受力分析

构件2、滑块P1及曲柄AB的受力分析，如图7所示。

构件2的力与力矩平衡方程为

(9)

滑块3的力平衡方程为

RCY+m3g=m3a3

(10)

曲柄AB的力与力矩平衡方程为

(11)

由式(11)，即可求出曲柄AB的驱动力矩M。

3.3 计算实例

降耦拓扑优化后，冲压机构的尺寸参数如表1所示。已知驱动副角速度ω1为1 rad/s。

表1 八杆平面冲压机构的尺寸参数Tab.1 Dimensional parameters of eight-bar plane punching mechanism

由式(5)～(11)，通过Matlab编程计算，可得各运动副的支反力变化曲线，如图8～10所示；驱动力矩M曲线，如图11中的红线所示。

将虚拟样机导入到ADAMS中，并施加每个构件的重力；同时，选取仿真步长0.01 s，仿真时间为10 s，求得虚拟样机的驱动力矩M仿真曲线，如图11中的绿线所示。

由图11可知，理论计算值与仿真值的曲线相吻合，表明基于N-E序单开链法的动力学建模正确，N-E序单开链法有效。

在驱动副随机输入频率信号的情况下，驱动力矩M理论值与仿真值误差很小。因此，基于N-E的序单开链法具有较好的有效性。

4 基于N-E序单开链法的动力学建模精度

4.1 基于Lagrange方程的动力学分析

4.1.1构件动能和势能分析

二副杆1、7动能分别为

(12)

滑块3、6动能分别为

(13)

作平面运动的构件2、4、5动能分别为

(14)

(15)

(16)

由式(12)～(16)可得，系统总动能为

(17)

进一步，约定x轴所在平面为零势能面，易得各构件的势能为

Ui=migYsi(i=1, 2, …, 7)

(18)

因此，系统总势能为

(19)

4.1.2Lagrange动力学模型及其计算

该机构的Lagrange函数为

L=T-U

在不考虑摩擦等其他外力作用的情况下，根据虚功原理，驱动力矩M所做的虚功之和δw=Mδφ=Qjδφ，主动力对应的广义力即为驱动力矩M。因此，该机构的拉格朗日方程可表示为

(20)

将式(17)、(19)及表1中参数代入式(20)，同样，运用Matlab与ADAMS，分别得到驱动力矩M的理论计算值与仿真值如图12所示。

4.2 与Lagrange建模方法分析误差的比较

由图11、12得到基于N-E的序单开链法、Lagrange法两种不同建模方法的驱动力矩M曲线理论值，将其理论值分别与ADAMS的仿真值进行比较，将两种不同建模方法得到的驱动力矩M曲线的误差，分别拟合成曲线Ⅰ(基于N-E单开链法理论值与ADAMS仿真值误差)和Ⅱ(Lagrange法理论值与ADAMS仿真值误差)，如图13所示。

由图13可知，曲线Ⅰ的最大正误差、最大负误差绝对值均明显小于曲线Ⅱ的相应误差，例：曲线Ⅰ、Ⅱ的最大正误差分别为0.460 8、0.692 8 N·mm，前者比后者小33.4%；曲线Ⅰ、Ⅱ的最大负误差分别为-0.450 2、-0.666 6 N·mm，前者比后者小32.4%；即曲线Ⅰ的绝对误差范围比曲线Ⅱ的绝对误差范围小32.9%，表明在将ADAMS的仿真值作为标准值的情况下，曲线Ⅰ的误差小于曲线Ⅱ的误差，即基于N-E的序单开链法具有更高的计算精度。

结果表明：对本文的优化冲压机构而言，采用基于N-E的序单开链动力学建模方法，具有较高的精度。