单无源传感器平台非线性滤波技术

李彬彬 杨扬 刘爽

1.解放军66061 部队北京100144

信息化条件下战场态势信息的实时获取是联合作战中快速决策、有序指挥、稳步行动的关键,是作战规划实现“快变” 的重要基础和前提[1−2].无源传感器平台通过被动接收来自目标的辐射信息,实现对目标的定位和跟踪,能够作为无源传感器平台的有效补充,是战场态势信息获取的重要手段之一.纯方位单无源传感器目标定位与跟踪是无源传感器应用中的一类典型问题,由于只能获得目标的角度信息而无法获得距离信息,单无源传感器具有可观测性弱、量测方程高度非线性且滤波不稳定等特点.因此,研究稳定高效的纯方位单无源传感器平台非线性滤波技术具有十分重要的意义.

1 无源传感器目标跟踪技术概述

采用无源方式工作的传感器探测系统本身不向外辐射电磁波,而是通过天线接收来自目标辐射的直射波,或外部辐射源照射目标后形成的反射波,或散射波所携带的信息,经过数据处理完成对目标的定位和跟踪[3].基于无源探测的定位跟踪系统能够利用未知位置辐射源的辐射信息,确定出该辐射源的类型及其空间或地理位置;或利用已知地理位置的辐射源确定航行中物体的空间或地理位置,进而进行跟踪.

与有源传感器探测系统相比,无源传感器探测系统具有作用距离远、接收隐蔽、不易被对方察觉的优点,因而无源传感器探测系统具有极强的生存能力和反隐身能力,是现代一体化防空系统、机载对地、对海攻击,以及对付隐身目标的远程预警系统的重要组成部分,对于提高系统在电子战环境下的生存能力和作战能力具有重要作用,同时在航海、航空、宇航、侦察、测控、救援等研究中也扮演着重要的角色[4−5].

1.1 无源传感器目标跟踪技术主要特点

无源传感器的量测类型主要包括角度、角度变化率、时间差、多普勒频率差和变化率等,基于不同形式的量测产生了多种不同的定位跟踪方法.而其中采用角度量测的纯方位无源传感器定位跟踪是一类典型问题,国内外大量学者对此展开了深入的研究.对于只能获得角度量测的纯方位无源传感器系统,具有以下两个主要特点.

1.1.1 量测模型高度非线性

在直角坐标系中,纯方位无源传感器系统的量测模型为非线性映射,即目标状态变量与量测之间的关系为反正切变换,利用纯方位无源传感器对目标进行跟踪时无法应用经典的卡尔曼滤波,因此,获得稳定且高效的非线性滤波方法是解决无源传感器目标跟踪问题的关键.

1.1.2 不完全可测性

根据可观测性的定义[6],对于目标跟踪系统,若k时刻目标状态可由[k,k+t0]时间间隔内的量测唯一地确定,则称该系统是可观测的;如果对于任意时刻系统都是可观测的,那么该系统是完全可观测的.由可观测性的定义可知,纯方位单无源传感器在某一时刻只能获得目标的角度信息,无法获得位置信息,因此,往往无法得到状态估计的唯一解.

1.2 无源传感器目标跟踪技术研究现状

对于纯方位无源传感器,由于其所获得的量测形式为目标的方位角或俯仰角,呈现了高度的非线性,因此,无法应用经典的卡尔曼滤波(Kalman Filter,KF)算法得到最小均方误差估计(Minimum Mean Square Error Estimation,MMSE).在导航系统、雷达跟踪、声纳搜索以及卫星和飞行器轨道估计等实际系统中,非线性问题普遍存在,因此,非线性估计得到越来越广泛的关注[7−8].

严格的非线性系统估计是十分困难的,最优非线性估计需要条件概率密度的完整表述.随着时间的推移,完整地描述条件概率密度所需的维数急剧膨胀,迅速增长的运算量和存储量导致无法获得其精确的解析解.因此,人们提出大量的次优近似算法解决这一问题.

应用较为广泛的次优近似滤波算法为扩展卡尔曼滤波(Extened Kalman Filter,EKF).该方法利用泰勒级数将非线性状态模型在当前状态估计,或将量测模型在状态一步预测处展开并取一阶近似进行线性化,然后套用线性滤波理论求解原非线性滤波问题.EKF 的突出优点是计算量小,实时性高,因此,广泛地应用于众多非线性滤波问题中.与此同时,EKF也存在着不可避免的缺陷.由于在线性化时需要计算雅克比矩阵,所以当存在不可微的情况时,无法进行有效的滤波;此外,在模型非线性程度较强时,EKF的滤波精度严重降低;而当状态及协方差的初始值无法准确确定时,也容易导致滤波的发散.

由于近似状态变量的概率密度分布比近似非线性函数更为容易[9],使用加权采样近似状态概率密度分布的非线性滤波方法得到了普遍关注.

这种方法的特点是选取一组加权样本,通过其演化与传播递推近似状态的概率密度函数,因此,不需要计算雅克比矩阵.根据采样方式的不同,可分为随机采样非线性滤波和确定性采样非线性滤波.

粒子滤波(Particle Filter,PF)是基于随机采样的非线性滤波算法[10−11].它采用一系列满足状态概率密度函数的独立同分布粒子近似该密度函数,利用随机仿真处理非线性递推估计,是一种统计滤波方法.PF 不受线性化误差或高斯噪声假定的限制,适用于任何非高斯非线性动态系统.PF 同样存在一些有待解决的问题:由于PF 采用随机采样,其产生的误差累计可能导致滤波发散;为了保证滤波的精度和收敛,并且避免粒子退化,在滤波过程中需要使用大量粒子,因此,其计算量较大,计算负担较重[12−13].

确定性采样通过某种确定性变换,选取确定的而非随机的采样点近似状态的概率密度函数.采样点通过非线性映射传递状态变量的统计特性,然后对其加权获得变换后状态变量的均值和协方差估计.确定性采样的使用避免了PF 计算量大、粒子退化等问题.典型的基于确定性采样的非线性滤波方法包括无迹变换卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter,UKF)和高斯-厄密特滤波(Gauss-Hermite Filter,GHF)等.

UKF[14−15]运用无迹变换(Unscented Transformation,UT)估计经过非线性变换后状态变量的均值和协方差.与EKF 中基于泰勒级数展开的线性化方法相比,UT 具有更高的精度,并且对系统的非线性强度不敏感.GHF[16]是另一种基于确定性采样的非线性滤波方法,其对状态变量的概率密度函数进行了高斯近似,通过一组Hermite 多项式构造对称矩阵,利用该对称矩阵获得确定的积分点及相应的权值,并根据Gauss-Hermite 积分规则获得递推非线性滤波公式.GHF 能够通过选取不同数量的积分点和相应权值提高均值和协方差估计的精度.当假设系统变量服从高斯分布时,UT 可以看作是Gauss-Hermite 积分的简化形式或特例[16−17].本文基于GHF 对纯方位单无源传感器目标跟踪问题进行了研究[18−19].

2 基于GHF 的目标跟踪方法

GHF 通过对状态概率密度函数的近似,避免了雅可比矩阵的求解问题,并且可以通过选取积分点和相应的权值,提高目标状态估计的精度.

GHF 是基于确定性采样的递推贝叶斯滤波方法,通过时间预测和量测更新获得基于当前时刻量测值的状态后验概率密度函数.首先讨论在时间预测和量测更新过程中概率密度函数的近似方法.

2.1 概率密度函数的高斯近似

使用状态方程和量测方程表示具有加性噪声的非线性系统状态空间模型:

其中,X(k)∈Rn为n维状态向量,Z(k)∈Rm为m维量测向量,f:Rn→Rn是系统状态演化映射,h:Rn→Rm是量测映射,W(k)是n维过程噪声,V(k)是m维量测噪声,假设过程噪声和量测噪声为相互独立的零均值高斯白噪声,其方差分别为Q(k)和R(k).

最优非线性滤波就是在给定量测{Z(j)}j=1:k的条件下获得状态向量X(k)的条件期望,为描述简便,将其概率密度函数记为pk|k(X).假设pk|k(X)服从高斯分布,根据贝叶斯公式,pk|k(X)可由式(3)和式(4)获得.

其中,c为标准化常量,pk|k−1(X)为在给定量测{Z(j)}j=1:k−1的条件下状态向量一步预测的概率密度函数.递推式(3)和式(4)分别表示了时间预测和量测更新过程,为实现递推滤波对其构造高斯近似.

首先在时间预测过程中,用与pk|k−1(X)有着相同均值和协方差的高斯分布近似pk|k−1(X).根据富比尼理论,pk|k−1(X)的均值和协方差分别定义为

和

由此,假设pk−1|k−1(X)是一个均值为(k−1|k−1),协方差为P(k−1|k−1)的高斯分布,那么对均值为(k|k−1)、协方差为P(k|k−1)的概率密度函数pk|k−1(X)进行高斯近似时可将其定义为

在量测更新过程中,用式(7)和式(8)定义的高斯近似表示pk|k−1(X),定义更新过程

依然在{Z(j)}j=1:k−1的量测条件下,对(X(k),h(X(k)))的条件分布进行高斯近似,即用高斯分布Y对Ek|k−1[h(X)]进行近似,而Y的概率密度函数由均值为,协方差为PXY的高斯分布给出定义

至此,能够对概率密度函数pk|k(X)进行高斯近似,将其均值(k|k)和协方差P(k|k)分别定义为

式中,L(k)为滤波增益,PXY为状态向量与量测向量间的互协方差,将其分别定义为

由此可以通过式(12)～式(15)在量测{Z(j)}j=1:k条件下,对状态向量X(k)进行非线性估计.

2.2 高斯-厄密特积分规则

对于上述递推过程中的积分形式,由于很难获得其精确的解析解,因此,考虑对其进行近似获得次优解.通过高斯-厄密特积分规则对上述积分进行近似,从而得到高斯-厄密特递推滤波方程.

2.2.1 一维高斯-厄密特积分规则

对于一维标量随机变量x,假设其服从高斯分布,并且其概率密度函数为N(x;0,1),则有

采用文献[14,16]中的方法,通过构造对称矩阵获得积分点ξl和相应的权重ωl.假设J是一个对称矩阵,其对角线元素为零,并且

用εl表示矩阵J的第l个特征值,则积分点其相应的权重为其中,(υl)1为矩阵J的第l个标准化特征向量的第一个元素.

以m=3 为例,采用上述方法可以求得积分点分别为其相应的权重分别为ω1=1/6,ω2=2/3,ω3=1/6.

2.2.2n维高斯-厄密特积分规则

当X为向量随机变量时,假设X的概率密度函数为N(X;0,In).其中,In是n×n单位阵.若X的各元素之间不相关,则一维高斯-厄密特积分规则可以扩展为多维高斯-厄密特积分规则[15]:

式中,ξl=

若X的概率密度函数为时,为获得对积分的近似,首先将Σ 进行矩阵分解,矩阵分解可以采用多种形式,如乔里斯基分解(Cholesky Decomposition,CD)、奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)和特征值分解(Eigenvector Decomposition,ED)等.将分解后的协方差矩阵平方根写为即

则对于式

可以看出,式(20)的形式与式(18)相同,利用n维高斯-厄密特积分规则,对式(20)进行近似可得

2.3 高斯-厄密特滤波步骤

通过上述高斯-厄密特积分规则得到高斯-厄密特滤波的递推公式.

2.3.1 预测过程

设k−1 时刻,系统的状态及协方差估计分别为(k−1|k−1),P(k−1|k−1).将P(k−1|k−1)进行矩阵分解,为了避免非正定的影响,选用奇异值分解.

则状态预测值为

预测误差协方差为

2.3.2 更新过程

分解协方差矩阵P(k|k−1),仍然利用采样点计算

状态和量测的互协方差为

量测预测协方差PZZ为

滤波增益L(k)为

最后可获得k时刻系统的状态估计(k|k)及误差协方差P(k|k):

由上述递推过程可以看出,高斯-厄密特滤波通过非线性系统状态向量的概率密度函数的近似避免了计算雅克比矩阵,克服了EKF 中存在不可微时的缺陷.

3 结论

本文全面介绍了单无源传感器目标跟踪中的非线性滤波.由于量测模型的高度非线性和不完全可观测性给非线性估计带来较大困难,在对比分析现有非线性滤波技术的特点和弊端的基础上,详细讨论了如何通过高斯-厄密特滤波,实现单无源传感器平台目标跟踪方法.基于定性分析表明,高斯-厄密特滤波能够实现有效可行的单无源传感器平台目标跟踪.