中点联想，模型魅力

罗丽云

1 原题呈现

如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4;过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于点G，F两点.若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是________________________。

2 题目分析

本题源自2017年宁波中考卷第11题，是一道融推理与计算于一体的几何综合题。它考查知识众多，内涵丰富。

2.1 基本知识

考查了三角形的中位线，正方形、矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形性质与判定，直角三角形斜边的中线，平行线分线段成比例，勾股定理及逆定理，证明线段的数量关系等核心知识;

2.2 基本能力

考查学生的推理能力和计算能力。

2.3 基本思想方法

考查数形结合思想和转化思想。

利用中点找到突破口，并归纳解决此类问题的条件、依据和模型，再进一步挖掘问题的本质，探究解题通法，落实解决此类问题的方法和策略，发展学生的逻辑推理、几何直观等数学核心素养。

3 学情分析

本题的难点是添加辅助线，关键信息是两个中点。要求MN的长度，多数同学会想到勾股定理之类，但与MN有直接相关的条件不足，必须添加适当的辅助线来解决本题，而学生可能会遇到的问题是不能从条件中提取关键有效的信息;不知道如何综合利用条件进行联想，进行添加辅助线，是学生的思维障碍所在。单个条件，添一条辅助线，学生容易，而多个条件，添多条辅助线，学生倍感困难。

4 解法赏析

同一个问题，从不同的角度探究与分析，有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识间的联系，培养学生的发散性和创造性。

【说明】：此法运用等腰三角形的“三线合一”构造直角三角形，利用矩形对角线性质，及勾股定理，解题思路明确简洁。

【说明】：证明线段相等，常常用全等、平行四边形的性质或圆的基本性质等。因为△DGF是等腰直角三角形，且M是DG的中点，结合正方形ABCD的性质，易想到构造方法2的“手拉手”型全等三角形。

5 拓展迁移

5.1 延伸拓展

如图6，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4;过点E作EF∥BC，分别交BD、CD于点G，F两点.M，N分别是DG，CE的中点。

（1）求MN的长;

（2）延长CM交AD于H点，连接EH

①求证：EH=BE+DH;

②点E在边AB上运动时，△AEH的周长是否发生变化，若不变，请求出它的周长;若发生变化，请说明理由.

【说明】：添加（2）题 ① 是正方形“半角模型”的应用;其次考查线段和差的证明，常用“截长补短”。②是将静态问题变成动态问题，如何解决动态问题，对学生既是一个考验，也一个能力提升过程。

5.2 类题迁移

（2020河南14题）如图，在边长为的正方形ABCD中點，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为___________________________________。

6 题后反思

数学解题的关键是抓住关键信息，产生联想。本题的关键信息是：两个中点。由中点想到一些常见的图形和结论：

多解归一，通性通法：这5种方法其实归结为两种：第一种直接求MN的长度，有视角四和视角五;第二种利用转化思想求，有视角一，视角二，视角三。

罗增儒教授说过，谁也没法教会我们所有的题目，重要的是通过有限道题目去领会那种可以解决无限道题的素养。这就要求老师有相应的数学素养去对题目进行专业的解题分析，需要教师先跳进“题海”，然后帮助学生跳出“题海”;作为老师，只有不断地思考和阅读，才能增进专业知识和增强专业技能，才能站在更高的视觉看待问题。通过一题多解，多解归一，从不同的角度，不同的视角去分析和解决问题，培养学生的发散思维，帮助学生构建自己的知识体系和提升解题能力。

7 教学启示

7.1 落实基础，积累模型

一道综合题，难在知识点多，图形复杂，需要学生具有扎实的基础，能在复杂问题中抽象出基本概念，定理及基本图形等，甚至要添加必要的辅助线，将问题转化为我们熟悉的问题，这就需要我们在课堂教学中不断挖掘、积累基本图形，不断帮助学生落实基础知识和常规的解题思维，提高学生认识几何模型、运用几何模型、探究几何模型的能力。学生只有基础落实了，才会融会贯通，才能捕捉到关键信息，才能在复杂图形中分离出基本模型，对问题的解决起到重要的作用。

7.2 变式教学，发散思维

通过变式教学，可以开阔学生思路，能使学生多角度地分析数学问题，能够培养学生的发散思维，提高学生的数学核心素养，对学生思维的训练和能力的提升具有很大的帮助，也是新课标对学生的基本要求。在探求多解之后，教师要引导学生提炼各种解法的共性，进行多解归一，这样可以加深学生对数学的理解，促进对通性通法的认识，逐步养成顾局全面的联想意识，提高解题技巧与能力。

7.3 引导反思，自悟提升

著名数学家波利亚所言“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”。

任何数学解题策略的产生首先离不开解题者已有的数学知识点（概念、公式、法则、定理，由基本图形形成的“知识块”及解题的基本思想方法等）。在课堂教学中，老师要加强引领学生构建自己的知识体系，反思自己的学习方式方法;让学生自己学会题型的归类，归纳构建基本理论和基本图形，加强变式练习，一题多解练习，充分储备自己的知识库。比如引导学生动手重新画图做做，引导学生在画图中，感受基本图形的“魅力”，找出题中直接决定解题成功关键的“基本图形”;在画图中联想每个已知的作用，联想每个条件间的联系……，通过画图，让学生体会：心中有图，处处有路。学生只有通过不断地反思积累，不断地逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识，才能提升数学素养。

浙江省临海市临海中学 （浙江省临海市 317000）