三角代数上Lie积为平方零元的非线性双可导映射
2021-04-10费秀海张海芳
费秀海， 戴 磊， 张海芳*
(1.滇西科技师范学院数理学院， 云南 临沧 677099； 2.渭南师范学院数学与信息科学学院， 陕西 渭南 714099)
1 预备知识
设A是交换幺环R上的一个代数，Z(A)表示A的中心，δ:A→A是A上的一个可加映射，Ω={x∈A:x2=0}.若对任意的x，y∈A，有δ(xy)=δ(x)y+xδ(y)，则称δ是一个导子.若存在a∈A，使得对任意的x∈A， 有δ(x)=[a，x] ，则称δ是一个内导子.设φ:A×A→A是A上的一个双可加映射且φ在每一个变量上都是导子，则称φ是一个双导子.进一步，若φ没有双可加假设且对任意的x，y，z∈A，当[x，y]，[y，z]∈Ω时φ分别满足:
φ(xy，z)=φ(x，z)y+xφ(y，z)
(1)
和
φ(x，yz)=φ(x，y)z+yφ(x，z)，
(2)
则称φ是一个Lie积为平方零元的非线性双可导映射.设λ∈Z(A)，若对任意的x，y∈A，有φ(x，y)=λ[x，y]，则称φ是一个内双导子.设a∈A，使得对任意的x，y∈A，有[a，[x，y]]=0，则称φ(x，y)=[x，[a，y]]是一个超双导子.显然，内双导子和超双导子都是双导子.
设A和B是含有单位元的交换环R上的代数，M是含有单位元的忠实(A，B)-双边模，即M既是忠实左A模又是忠实右B模，则称R-代数
U=Tri(A，M，B)=
在矩阵通常的加法与乘法运算下是一个三角代数.
用Z(U)表示U的中心，由文献[1]有
在U上定义两个自然投影πA:U→A和πB:U→B如下:
则πA(Z(U))⊆Z(A)和πB(Z(U))⊆Z(B)，且存在唯一的代数同构σ:πA(Z(U))→πB(Z(U))使得对任意的m∈M，有am=mσ(a).
设1A和1B分别是代数A和B中的单位元，1是三角代数U中的单位元.用e1和e2分别表示：
则由于e1Ue1，e1Ue2和e2Ue2是U的子代数且分别同构于A，M和B，从而三角代数U在同构意义下可以被分解成:
U=e1Ue1+e1Ue2+e2Ue2=A+M+B，
进而对任意的x∈U，可以将x分解成x=a+m+b(其中a∈A，m∈M和b∈B).
近年来，关于三角代数上各种映射的研究引起了许多学者的关注.如:三角代数上的交换映射[1-3]，三角代数上的Jordan导子和导子[4-7]，三角代数上的Lie导子[8-13].特别地，在双可加或双线性假设下，文献[14]刻画了套代数上的广义双导子，文献[15]刻画了上三角矩阵代数上的双导子，文献[16]在一定条件限制下对三角代数上的双导子进行了刻画.本文主要考虑了三角代数上Lie积为平方零元的非线性双可导映射的双可加性，证明了三角代数上Lie积为平方零元的非线性双可导映射就是双导子，进而由文献 [16] 得到在一定条件限制下三角代数上Lie积为平方零元的非线性双可导映射都是内双导子.
2 结果与证明
定理1设U是一个三角代数，φ:U×U→U是U上的一个Lie积为平方零元的非线性双可导映射，则φ是U上的一个双导子.
为证定理 1，需要以下几个引理，在证明过程中，总假设U是一个三角代数， Ω={u∈U:u2=0}，φ:U×U→U是U上的一个Lie积为平方零元的非线性双可导映射.
引理1若φ:U×U→U是U上的一个Lie积为平方零元的非线性双可导映射，则
i) 对任意的u∈U，有φ(u，0)=φ(0，u)=0;
ii)φ(e1，e1)=-φ(e1，e2)=-φ(e2，e1)=φ(e2，e2)∈M.
证明i)对任意的u∈U， 由于[u，0]=0∈Ω，从而可在(2)式中令y=z=0，故可得φ(u，0)=φ(u，0)0+0φ(u，0)=0，所以φ(u，0)=0.类似地，可证明φ(0，u)=0.
ii)由于[e1，e1]=[e2，e2]=0∈Ω，从而一方面，在(1)式中分别令x=y=z=e1和x=y=z=e2，得
φ(e1，e1)=φ(e1e1，e1)=φ(e1，e1)e1+e1φ(e1，e1)
和
φ(e2，e2)=φ(e2e2，e2)=φ(e2，e2)e2+e2φ(e2，e2)，
从而有
φ(e1，e1)=e1φ(e1，e1)e2
和
φ(e2，e2)=e1φ(e2，e2)e2.
(3)
另一方面，在(1)式中分别令x=y=e1，z=e2和x=y=e2，z=e1，可得
φ(e1，e2)=φ(e1，e2)e1+e1φ(e1，e2)
和
φ(e2，e1)=φ(e2，e1)e2+e2φ(e2，e1)，
从而有
φ(e1，e2)=e1φ(e1，e2)e2
和
φ(e2，e1)=e1φ(e2，e1)e2.
(4)
从而由引理1 i)，(3)式和(4)式，可得
0=φ(e1，0)=φ(e1，e1e2)=
φ(e1，e1)e2+e1φ(e1，e2)=
φ(e1，e1)+φ(e1，e2)
(5)
和
0=φ(0，e1)=φ(e1e2，e1)=
φ(e1，e1)e2+e1φ(e2，e1)=
φ(e1，e1)+φ(e2，e1)，
(6)
及
0=φ(0，e2)=φ(e1e2，e2)=
φ(e1，e2)e2+e1φ(e2，e2)=
φ(e1，e2)+φ(e2，e2).
(7)
从而由式(5) ～(7)，有
φ(e1，e1)=-φ(e1，e2)=
-φ(e2，e1)=φ(e2，e2)∈M.
引理2若φ:U×U→U是U上的一个Lie积为平方零元的非线性双可导映射，则
i) 对任意的u∈U，φ(e1，u)=-φ(e2，u)∈M和φ(u，e1)=-φ(u，e2)∈M;
ii)φ(A，U)，φ(U，A)⊆A+M;
iii)φ(U，B)，φ(B，U)⊆M+B;
iv)φ(U，A+M)，φ(A+M，U)⊆A+M;
v)φ(U，M+B)，φ(M+B，U)⊆M+B;
vi)φ(U，M)⊆M，φ(M，U)⊆M.
证明i)对任意的u∈U，由于[e1，e1]=[e2，e2]=0∈Ω，从而可在(1)式中分别令x=y=e1，z=u和x=y=e2，z=u，可得
φ(e1，u)=φ(e1，u)e1+e1φ(e1，u)
和
φ(e2，u)=φ(e2，u)e2+e2φ(e2，u)，
从而有
e1φ(e1，u)e1=e2φ(e1，u)e2=0
和
e1φ(e2，u)e1=e2φ(e2，u)e2=0，
所以有
φ(e1，u)=e1φ(e1，u)e2
和
φ(e2，u)=e1φ(e2，u)e2.
(8)
下证φ(e1，u)=-φ(e2，u).事实上，由于[e1，e2]=0∈Ω，从而可在(1)式中令x=e1，y=e2，z=u，从而有0=φ(0，u)=φ(e1e2，u)=φ(e1，u)e2+e1φ(e2，u)，进而由(8)式得φ(e1，u)=-φ(e2，u).类似地，可证明φ(u，e1)=-φ(u，e2)∈M.
ii)对任意的a∈A和u∈U，由于[a，e1]∈Ω，从而可在 (1) 式中令x=a，y=e1，z=u，从而有
φ(a，u)=φ(ae1，u)=φ(a，u)e1+aφ(e1，u).
(9)
从而e2φ(a，u)e2=0，可得φ(A，U)⊆A+M.同理可证φ(U，A)⊆A+M.
iii)类似ii)，可证明 iii).
iv)对任意的u∈U，a∈A和m∈M，由于[e1，a+m]=m∈Ω，从而可在(2)式中令x=u，y=e1，z=a+m，从而由引理2 i)有
φ(u，a+m)=φ(u，e1(a+m))=
e1φ(u，a+m)，
从而e2φ(u，a+m)e2=0，故可得φ(U，A+M)⊆A+M，同理可得φ(A+M，U)⊆A+M.
v)类似iv)，可证明v)成立.
vi)对任意的u∈U和m∈M，由于[e1，m]=[m，e2]=m∈Ω， 从而可在(1)式中分别令x=u，y=e1，z=m和x=u，y=m，z=e2，进而由引理2 i)有φ(u，m)=φ(u，e1m)=e1φ(u，m)和φ(u，m)=φ(u，me2)=φ(u，m)e2.由此可得e1φ(u，m)e1=e2φ(u，m)e2=0，所以φ(U，M)⊆M.类似地，可证明φ(M，U)⊆M.
引理 3若φ:U×U→U是U上的一个Lie积为平方零元的非线性双可导映射，则
i)对任意的a∈A，m∈M和u∈U，有
φ(a+m，u)=φ(a，u)+φ(m，u)
和
φ(u，a+m)=φ(u，a)+φ(u，m);
ii)对任意的m∈M，b∈B和u∈U，有
φ(m+b，u)=φ(m，u)+φ(b，u)
和
φ(u，m+b)=φ(u，m)+φ(u，b);
iii)对任意的m1，m2∈M和u∈U，有
φ(m1+m2，u)=φ(m1，u)+φ(m2，u)
和
φ(u，m1+m2)=φ(u，m1)+φ(u，m2);
iv)对任意的a1，a2∈A和u∈U，有
φ(a1+a2，u)=φ(a1，u)+φ(a2，u)
和
φ(u，a1+a2)=φ(u，a1)+φ(u，a2);
v)对任意的b1，b2∈B和u∈U，有
φ(b1+b2，u)=φ(b1，u)+φ(b2，u)
和
φ(u，b1+b2)=φ(u，b1)+φ(u，b2);
vi)对任意的a∈A，m∈M，b∈B和u∈U，有
φ(a+m+b，u)=φ(a，u)+φ(m，u)+φ(b，u)
和
φ(u，a+m+b)=φ(u，a)+φ(u，m)+φ(u，b).
证明i)对任意的a∈A，m∈M和u∈U，由于[a+m，e1]=[a+m，e2]=m∈Ω，从而可在 (1) 式中分别令x=a+m，y=e1，z=u和x=a+m，y=e2，z=u，从而由引理2 i)分别可得
φ(a，u)=φ(a+m，u)e1+aφ(e1，u)
和
φ(m，u)=φ(a+m，u)e2-aφ(e1，u).
把上述两式相加，可得φ(a+m，u)=φ(a，u)+φ(m，u).
ii)类似地，可证明φ(u，a+m)=φ(u，a)+φ(u，m)和ii)成立.
iii)对任意的m1，m2∈M和u∈U，由于[e1+m1，m2+e2]=m1+m2∈Ω，从而在(1)式中令x=e1+m1，y=m2+e2，z=u，故由引理2和引理3 的i)、ii)，有
φ(m1+m2，u)=φ((e1+m1)(m2+e2)，u)=
φ(e1+m1，u)(m2+e2)+(e1+m1)φ(m2+e2，u)=
(φ(e1，u)+φ(m1，u))(m2+e2)+
(e1+m1)(φ(m2，u)+φ(e2，u))=
φ(e1，u)+φ(m1，u)+φ(m2，u)+φ(e2，u)=
φ(e1，u)+φ(e2，u)+φ(m1，u)+φ(m2，u)=
φ(m1，u)+φ(m2，u).
类似地，可证明
φ(u，m1+m2)=φ(u，m1)+φ(u，m2).
iv)对任意的a1，a2∈A和u∈U，由引理2 i)、ii)和(9)式，可得e1φ(a1，u)e2=a1φ(e1，u)和e1φ(a2，u)e2=a2φ(e1，u) ， 从而
φ(a1+a2，u)=φ((a1+a2)e1，u)=
φ(a1+a2，u)e1+(a1+a2)φ(e1，u)=
e1φ(a1+a2，u)e1+a1φ(e1，u)+
a2φ(e1，u)=e1φ(a1+a2，u)e1+
e1φ(a1，u)e2+e1φ(a2，u)e2.
(10)
下证
e1φ(a1+a2，u)e1=e1φ(a1，u)e1+e1φ(a2，u)e1.
对任意的m∈M，由[a1+a2，m]=a1m+a2m∈Ω，从而可在(1)式中令x=a1+a2，y=m，z=u，一方面，由引理2 vi)，有
φ(a1m+a2m，u)=φ(a1+a2，u)m+
(a1+a2)φ(m，u).
(11)
另一方面，由引理2 iii)有
φ(a1m+a2m，u)=φ(a1m，u)+φ(a2m，u)，
又因为[a1，m]，[a2，m]∈Ω，从而由(1)式得
φ(a1m+a2m，u)=φ(a1，u)m+a1φ(m，u)+
φ(a2，u)m+a2φ(m，u).
(12)
比较(11)式和(12)式得
(φ(a1+a2，u)-φ(a1，u)-φ(a2，u))m=0，
进而由M的忠实性，有
e1φ(a1+a2，u)e1=
e1φ(a1，u)e1+e1φ(a2，u)e1.
(13)
因此，由(10)式和(13)式及引理2 ii)，得φ(a1+a2，u)=φ(a1，u)+φ(a2，u).
v)类似地，可证明φ(u，a1+a2)=φ(u，a1)+φ(u，a2)和v)成立.
vi)对任意的a∈A，m∈M，b∈B和u∈U，由于[a+m+b，e1]=m∈Ω和[a+m+b，e2]=m∈Ω，从而在(1)式中分别令x=a+m+b，y=e1，z=u和x=a+m+b，y=e2，z=u，则由引理2 i)、ii)和(9)式，有
φ(a，u)=φ((a+m+b)e1，u)=
φ(a+m+b，u)e1+aφ(e1，u)=
φ(a+m+b，u)e1+e1φ(a，u)e2
和
φ(m+b，u)=φ((a+m+b)e2，u)=
φ(a+m+b，u)e2+aφ(e2，u)=
φ(a+m+b，u)e2-e1φ(a，u)e2.
把上述两式相加，并由引理3 ii)，有
φ(a+m+b，u)=φ(a，u)+φ(m，u)+φ(b，u).
类似地，可以证明
φ(u，a+m+b)=φ(u，a)+φ(u，m)+φ(u，b).
定理1的证明对任意的x，y，z∈U，设
x=a1+m1+b1，y=a2+m2+b2，
由引理3有
φ(x+y，z)=
φ((a1+m1+b1)+(a2+m2+b2)，z)=
φ((a1+a2)+(m1+m2)+(b1+b2)，z)=
φ(a1+a2，z)+φ(m1+m2，z)+φ(b1+b2，z)=
φ(a1，z)+φ(a2，z)+φ(m1，z)+
φ(m2，z)+φ(b1，z)+φ(b2，z)=
φ(a1+m1+b1，z)+φ(a2+m2+b2，z)=
φ(x，z)+φ(y，z).
类似地，可以证明φ(x，y+z)=φ(x，y)+φ(x，z)，从而φ是U上的一个双可加映射，所以φ是三角代数U上的一个双导子.
由定理1及文献 [16] 中定理 4.11，可以得到以下结论.
定理2设U是一个三角代数，φ:U×U→U是U上的一个Lie积为平方零元的非线性双可导映射.若满足:
i)πA(Z(U))=Z(A)和πB(Z(U))=Z(B);
ii) 代数A和B至少有一个非交换;
iii) 设a≠0∈A和b∈Z(A)，若ba=0，则b=0;
iv) 代数A上的导子都是内导子;
v)φ(e1，e1)=0.
则存在λ∈Z(U)， 使得任意的x，y∈U，有
φ(x，y)=λ[x，y].
由于上三角分块矩阵代数和套代数是两类特殊的三角代数，因此定理1和定理2的结论在这两类代数上仍然成立.
