例谈双点电荷电场问题的分类及处理策略

江西 许冬保 肖 凯

在静电场中，双点电荷电场问题，属于非常典型的一类问题，是高考命题的高频考点。这类试题侧重考查考生科学思维中模型建构、科学推理以及物理观念中运动观念、能量观念。试题涉及多个知识点的综合应用，如电场强度、电势、电势能、电场力做功、动能等物理量的分析。试题一般以选择题呈现，且多以定性分析为主，旨在考查考生的理解能力、模型建构能力以及推理论证能力等。本文试对双点电荷电场问题进行分类分析，以寻求相应的求解方略。

1.等量异种双点电荷电场

如图1所示，为等量异种双点电荷电场线与等势面分布图。双点电荷连线自左至右，场强先减小后增大，中点最小；电势逐渐降低。在双点电荷连线中垂线上，沿中垂线自上而下，场强先增大后减小，中点最大；中垂线(面)为等势线(面)，且与无穷远处电势相同，若选定无穷远处电势为零，则中垂线上各点的电势均为零。

图1 等量异种双点电荷电场线与等势面

【例1】空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势线分布如图2所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为零，则

( )

A.e点的电势大于零

B.a点和b点的电场强度相同

C.b点的电势低于d点的电势

D.负电荷从a点移动到c点时电势能增加

【解析】根据电场线与等势面之间的关系，参考图1，可判断出P点处为负电荷，试题所描述的是两个等量异种电荷电场的情形。已知无穷远处电势为零，且e点在PQ连线的中垂线上，则φe=0；参考图1，a、b两点电场强度方向不同；从Q到P电势逐渐降低，则φb>φd；由φa>φc，可知负电荷从a点到c点电场力做负功，电势能增加。故D选项正确。

图2

【例2】(2020年全国卷Ⅱ第20题)如图3所示，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则

( )

图3

A.a、b两点的场强相等 B.a、b两点的电势相等

C.c、d两点的场强相等 D.c、d两点的电势相等

【解析】若以a、b点所在直线连线为分界线，该题所述的带电圆环，可等效为无数对上下对称分布的等量异种点电荷电场的叠加。将图1沿顺时针方向旋转90o，由场强左右及上下空间分布的对称性，不难得到，AC选项正确。又由于a、b两点处在等势面上，因此，a、b两点电势相等。而c、d两点处在同一电场线上，自c至d电势一直在降低，即φc>φd。故ABC选项正确。

【点评】等量异种双点电荷电场是最基本、最典型的电场。例1切入点为从等势线找电场线分布；例2考查点为等量异种双点电荷电场的集合。掌握图1所示的电场线与电势分布图，掌握电场线与等势线沿空间分布的对称性特点，是求解这类问题的关键所在。

2.等量同种双点电荷电场

如图4所示，为等量同种双点电荷(正电荷)电场线与等势面分布图。双点电荷连线自左至右，场强先减小后增大，中点场强为零；电势先减小后增大，中点电势最低。

图4 等量双点电荷(正电荷)电场线与等势面

在双点电荷连线中垂线上，自连线中点沿中垂线至无穷远处，场强先增大后减小；电势逐渐降低，中点电势最高。

【例3】静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图5所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷

( )

图5

A.在x2和x4处电势能相等

B.由x1运动到x3的过程中电势能增加

C.由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小

D.由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大

【解析】由图5可知，带正电的点电荷在x>x1的条件下，所受电场力方向沿x轴负方向，从x2移动到x4的过程电场力做负功，电势能增加，A选项错误；同理，带正电的点电荷从x1移动到x3的过程中，电场力做负功，电势能增加，B选项正确；从x1到x4的过程场强先增大后减小，所以电场力先增大后减小，C选项正确，D选项错误。

【例4】空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图6所示，x轴上两点B、C的场强在x方向上的分量分别是EBx、ECx，下列说法中正确的有

( )

A.EBx的大小大于ECx的大小

B.EBx的方向沿x轴正方向

C.电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量最大

D.负电荷沿x轴从B点移到C点的过程中，电场力先做正功，后做负功

图6

图7 双等量正点电荷电场线分布图

注意图7中增加了中间两条特殊的电场线(大学电磁学教材上画出，而中学教材未画出)，有利于问题的分析。

3.不等量异种双点电荷电场

如图8所示，为不等量异种双点电荷(图8中左侧为正电荷，右侧为负电荷，且右侧电荷量较大)电场线与等势面分布图。双点电荷连线自左至右，场强先减小后增大；电势逐渐降低。沿双点电荷连线靠近电荷量小的外侧(图中正的点电荷的左侧)某点场强为零。

图8 不等量异种双点电荷电场线与电势分布图

【例5】两异种点电荷电场中的部分等势面如图9所示，已知A点电势高于B点电势。若位于a、b处点电荷的电荷量大小分别为qa和qb，则

( )

图9

A.a处为正电荷，qaqb

C.a处为负电荷，qaqb

【例6】两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，空间静电场的电势在x轴的分布如图10所示。其中A、N两点处的电势均为零，ND段中C点电势最高，下列说法正确的是

( )

A.q1的电荷量小于q2的电荷量

B.A点的电场强度大小为零

C.将一带负电的试探电荷从N移到D点，电场力先做正功后做负功

D.将一带负电的试探电荷在NC间某点释放，仅在电场力作用下一定能到达N点

图10

【解析】由图10可知，q1为正电荷，q2为负电荷，A点的电势为零。因此，q1的电荷量大于q2的电荷量，且q1和q2为异种电荷，A点的场强最小，但不为零。AB选项错误。进一步分析图10，在x轴的C点电势最高，场强为零，其两侧电场线必反向，显然，将一带负电的试探电荷从N移到D点，电场力先做正功后做负功。若将一带负电的试探电荷在NC间某点释放，仅在电场力作用下一定能到达NC间某点，但不能到达N点。C选项正确。

【点评】不等量异种双点电荷电场较等量异种双点电荷电场要复杂一些，左右电场分布没有对称性。例5、例6所描述的电场是相同的，但情境不同，例5是已知等势面的分布确定电场分布；例6是已知φ-x图像，根据图像信息确定电场分布。图10中，在x轴的C点，对应电势最高，因图像斜率为零，则该点场强为零。

注意例5、例6情境与图8所示的情境不完全相同，不同点在于例5、例6中左侧电荷量大于右侧电荷量。根据图10信息，绘出与图10相对应的电场线分布示意图(图11)，有利于深度分析电场中的有关问题。在图11中右侧的4个箭头表明，该处电场线走向的多样性，并且电场线的“拐点”处场强为零。

图11 不等量异种双点电荷电场线分布图

4.不等量同种双点电荷电场

如图12所示，为不等量同种双点电荷(正电荷)电场线与等势面分布图(图中左侧电荷量较大)。双点电荷连线自左至右，场强先减小后增大，在双点电荷连线之间，靠近电荷量小的一侧(图中两点电荷之间连线右侧)某点场强为零。

图12 不等量双点电荷(正电荷)电场线与等势面

【例7】真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等。一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态。过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图13所示。以下说法正确的是

( )

图13

A.a点电势低于O点

B.b点电势低于c点

C.该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能

D.该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能

【解析】已知负的试探电荷仅在电场力的作用下，在O点恰好保持静止，则O点的合场强必为零。如图14所示，根据两个不等量正电荷间电场线的分布特点可知：aO之间电场线由a到O，则a点的电势高于O点的电势，因此，A选项错误；两个不等量正电荷间电场线的分布可能是图15所示的情形，图中b点并不在所画的电场线上，参考图12可近似认为b点附近的小段圆弧为等势线。因此，b点电势低于c点；如图14，负的试探电荷由a点移送到b点，电场力做负功，电势能增加，C选项错误；同理，负的试探电荷由c点移送到d点电场力做负功，电势能增加。BD选项正确。

图14 电场线分布的一种可能情形

图15 电场线分布的另一种可能情形

【例8】a、b是x轴上两个点电荷，电荷量分别为q1和q2，沿x轴a、b之间各点对应的电势高低如图16所示，a、P间距离大于P、b间距离，由图示可以判断以下说法正确的是

( )

图16

A.a和b均为负电荷，且q1一定大于q2

B.电势最低的P点的场强为零

C.将一负的试探电荷从b处移到P处，电荷电势能增加

D.a、b间的场强先减小后增大

【点评】例7、例8描述的是不等量双点电荷(正电荷)电场的有关信息。例7要求根据已知条件画出两电荷之间的电场线，参考图12，若电荷在电场中某点所受电场力为零，则场强为零，于是可以推理得到该处的电场线出现“拐点”；例8则要求根据φ-x图像，画出双电荷之间的电场线。正确绘制出不等量双点电荷(正电荷)电场线是分析问题的关键所在。