联系“倍”的经验 理解分数意义

李凯

分数在数学学习中具有重要地位，对学生而言，认识分数是对数概念的一次扩展。由于分数的意义较为抽象且内涵十分丰富，所以，课程标准将分数内容的学习安排到两个学段中，第一学段主要是通过操作初步认识分数，第二学段需要结合具体情境理解分数的意义。第二学段中，学生对分数意义的理解逐步从生活过渡到数学现实，理解起来更为抽象。具体来说，就是需要从运算和倍比关系的角度理解分数的意义。

在学习了“分数与除法的关系”后，教师一般会安排“求一个数是另一个数的几分之几”的学习内容。这既是对“分数与除法关系”的运用，也是在引导学生从两个量之间倍比关系的角度理解分数的意义。因此，这个内容既是解决问题的教学，也是对分数意义的深化，教师要抓住关键，突破难点，帮助学生更加深入地理解分数的意义。

一、巧搭梯子，激活对“倍”的数学活动经验

学生在第一学段已经建立了“倍”的概念，在学习小数乘法的时候还接触到了小数形式的倍数。为了让学生更容易理解用分数表示两个量之间的倍比关系，教师通过数据的变化，巧搭梯子，让学生感受到描述两个量之间的倍比关系并不局限于倍数大于1的情况。

新课学习之前，教师先以复习的方式呈现一组求倍数关系的问题，激活学生对倍的学习经验（见下表）。第（1）题是基本的倍数关系，第（2）题算得的结果是小数，第（3）题是1倍。接着，教师带领学生复习“倍”的概念：表示与标准量相同的部分就是1倍。

[（1）      养鹅30只       养鸭10只       鹅的只数是鸭的3倍      30÷10=3          （2）       养鹅26只       鹅的只数是鸭的2.6倍    26÷10=2.6 （3）       养鹅10只       鹅的只数是鸭的1倍     10÷10=1   （4）       养鹅7只          鹅的只数是鸭的？         ]

这时候，教师呈现第（4）题：鹅的只数是7只，鸭的只数是10只，把鸭的只数看成标准量，还能用以前的学习经验描述鹅的只数与鸭的只数之间“倍”的关系吗？有的学生认为现在鹅的只数比1倍量小，因此不能用“倍”来表示;有的学生认为可以用小数来表示，是0.7倍，因为2.6倍就是小数形式的倍数;还有的学生摇摆不定，认为双方都有一些道理。学生顺着教师提供的“梯子”进行思考，发现与原有认知经验产生了冲突，这就是学生学习的“生长点”。

二、观察对比，沟通“倍”与分率的内在联系

既然用“倍”来表示鹅的只数与标准量之间的关系与生活常识不一致，那么教师可以转换一下思路，引导学生用分数来表示。如下图，教师通过出示四幅点子图的方式，用黄色代表鹅的只数，红色代表鸭的只数，让学生尝试用分数分别来表示它们之间的倍数关系。学生解决这个问题的策略有两个：一是通过画图，从具体操作的角度把鸭的只数看成1倍量（单位“1”），把单位“1”平均分成10份，鹅的只数相当于这样的7份，因此用分数同样可以表示比较量与1倍量之间的关系。二是根据以往求倍数的学习经验，用同一个数学模型代入到现在的数据，根据分数与除法的关系得到分数的结果，体会用分数表示两个量之间的倍比关系。

两种解决问题的策略指向了同一个结论，因此，需要引导学生对比观察上面四组示意图、算式和结论，找到其中的共同点。有的学生说：“都是用鹅的只数除以鸭的只数。”有的学生说：“都是把鸭的只数当成1倍量。”还有的学生说：“得数比1大的时候都加了‘倍字。”分数的意义也可以表示出比较量与标准量之间的关系，借用求倍数的数学模型和分数与除法的关系，在计算比较量与标准量之间关系的时候可以用分数表示结果。只不过当比较量大于标准量的时候，人们习惯于用“倍”来描述，如果比较量小于标准量則习惯用“分数”来描述。由此可见，倍与分率在数学本质上是共通的，这样分数的意义从生活现实（对一个量的操作）扩展到了数学现实（两个量之间的倍比关系）。

三、类比迁移，由离散量模型到连续量模型

根据例题中的数据，学生还可以提出“求一个数是另一个数的几分之几（几倍）”的问题并解决。通过这样的练习，学生能够借助离散量模型巩固已学知识。教学中还可以引入连续量模型帮助学生从不同角度加深对分数意义的理解。

如上图，求蓝色纸条的长度是红色纸条的几分之几？学生动手比一比、试一试。用蓝色纸条去量红色纸条，正好量了4次，说明蓝色纸条的长度是红色纸条的[14]。接下来，继续思考黄色纸条的长是红色纸条的几分之几。如下图把红色纸条按长度平均分成4份，每一份都是它的[14]，有这样的3份就是它的[34]。

给出长度数据后，可以用除法计算“1÷4、3÷4”，根据分数与除法的关系也可以得到相同的结论，学生通过两种不同的数据模型再次体会到分数的意义不仅能表示一个量的几分之几，还可以表示两个量之间的倍比关系。

四、适当拓展，深化对分数意义的理解

此时，学生对分数意义的理解虽然已经拓展到两个量之间的倍比关系，但是还局限于真分数。在学生掌握情况良好的前提下可以适当进行拓展练习，一方面引导学生突破思维定式，另一方面也为后面学习真分数和假分数做好铺垫。

如上图，这道题比较开放。第（1）问，学生既可以填[39]，又可以填[13]，只要能讲出道理就行;第（2）问，根据本节课所学的知识学生可能会填[93]或[31]，也有学生会根据三年级的学习经验认为这里应该填3倍。到底该怎样填呢？学生课后继续思考。这也为后面学习真分数和假分数以及约分埋下了伏笔。

本节课，学生已经体会到可以用分数意义表示两个量之间的倍比关系，相比之前通过对一个量进行平均分的“操作”所建立的分数意义更为抽象。但学生对分数意义的理解不能止步于此，还需要在后续的教学中用分数意义进一步整合“倍”的概念，并通过解决问题帮助学生形成对分数意义的本质理解。学生学习了真分数、假分数以及分数与小数的互化以后，就可以从分数意义的角度整合“倍”的概念，因为倍数都可以转化成为分数形式，本质上都是两个量之间的比。学习了“比”之后，学生对此会有更直接的体会。在解决分数乘法的有关问题时，学生也会发现当两个量之间的倍数关系不是整数时，用分数来表示更容易理解，因此分数意义的学习直接影响到分数乘法及其解决问题的学习。

（作者单位：武汉小学）

责任编辑  张敏