为直观想象插上“翅膀”

夏菁

【摘要】在信息技术与学科融合的背景下，利用GeoGebra可解决一次函数教学中的几大难点.教师可以设置一系列探究活动和问题交流引导学生进行实践、观察、分析、谈论、猜测和验证，让学生经历一次函数动态探究过程，感受函数图像探究的一般路径.

整个过程中，始终贯穿“由数想形”和“以形助数”的数形结合思想，学生可以利用GeoGebra将本来较为复杂的 k，b 与函数图像的关系问题直观化，加深学生对数学应用性的理解.数学需要直观，但是直观不是说出来的，而是需要切实看到的，利用信息技术帮助学生“看到”数学是值得教师思考与研究的.

【关键词】GeoGebra;直观想象;一次函数的图像;信息技术

随着科技的进步，信息技术在数学教学中的应用屡见不鲜.《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生愿意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去.函数是研究现实世界变化规律的重要数学模型，也是初中的一大重点与难点内容.“一次函数的图像”是学生初中学习函数内容的起点，也是学生第一次接触函数图像，更是数形结合的解析几何的启蒙章节，学好这一章对于学生接下来对函数图像的认识和学习至关重要.如何有效、直观地呈现初中第一个函数——一次函数，就显得尤为重要.直观想象作为数学核心素养之一，其有效形成可以适当借助信息技术手段来实现.GeoGebra是近几年世界范围内较为主流的软件，尤其是在函数的探索上更能凸显其优势.本文就以“一次函数的图像”的探索片段为例，谈谈GeoGebra在数学教学中对于学生知识理解的推进作用.

一、 数据分析，巧说误差

燃香“识”变化，将等距的六炷香摆放在同一直线上，每隔相同的时间，熄灭一炷香，测量香的高度，并将实验数据记录表格中.分析实验中的数据，引导学生寻找香燃烧的时间与燃烧的高度之间的数学联系.

传统教学中，教师常常在这一步描出几个点，就得出“一次函数图像是一条直线”的结论，而对于实验中学生收集数据中的误差往往不在意，因此失去了教学时机.

在實际教学中，教师可以引导学生将数据以表格的形式整理出来，经历函数作图的第一步：列表.

打开GeoGebra，让学生以时间与对应高度的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出来，经历函数作图的第二步：描点.

观察这些点的特征，借用读数的误差，让学生切身感受函数图像的生成过程，明确误差的形成原因以及如何处理误差，进一步提示一次函数的图像特征.

设计意图：分析实验数据，将数据抽象成点的坐标，感受图像是刻画实际问题的数学模型.这既有利于培养学生直观想象、数学抽象的素养，又通过“由数想形”和“以形助数”的转换让学生感知“数形结合”的数学思想.

二、眼见为实，突破无限

设计三个探究活动：一是自由探究，由学生自主作图;二是实验探究，通过GeoGebra认知一次函数的图像;三是深度探究，从特殊到一般，抽象出一般规律.其中实验探究是本节课的重点，教师可借助GeoGebra让学生精准感受一次函数图像的生成.

猜想：教师通过描点的过程，引导学生猜想一次函数的图像特征.

活动一：自由探究，小组合作

以小组为单位，从情境问题出发，回答问题：这五个点在一条直线上，通过这五个点就能断定图像一定是直线吗？

负数的选取是否应该考虑？在取值时应该注意什么？

一次函数的图像大致形状是什么？

活动二：实验探究，认知图像

引导学生思考一次函数图像，并通过增加选取点的个数无限接近一次函数的真实图像，

将点的横坐标设置成一个变量 a，使横坐标变化后，纵坐标也随之变化.通过GeoGebra绘制点 P（a，2a+1）追踪点的轨迹，生成一串点列，通过观察点 P 的路径，引导学生验证猜想.

三、寻找关联，深入探究

1.实例验证

使用GeoGebra，由学生举例绘制任意一次函数的图像，如y=3x+2的图像，小组合作探究，通过多次不同的举例，进一步验证一次函数的图像是一条直线.

2.从特殊到一般

在GeoGebra中，设定变量k，绘制函数y=kx+1的图像.观察函数y=kx+1的图像的变化;设定变量b，观察函数y=2x+b的图像的变化.

3.总结归纳

绘制函数y=kx+b的图像，设置参数k，b，通过滑动条的控制，变化k与b的值，观察函数y=kx+b图像的变化，引导学生进行归纳总结.

结论：一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图像是一条直线.

设计意图：帮助学生充分理解一次函数的图像特征，解释一次函数为什么是一条直线.利用GeoGebra的辅助功能，巧妙地设置了三个操作流程，在一连串的数学实验中，一次函

数的图像是一条直线的认知顺利生成.

四、动态呈现，突破抽象

通过初步探究和引导，学生会发现一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图像位置会随着k，b的变化而变化，那么一次函数图像的位置与系数又有怎样的关系呢？传统教学通常采用特殊值法，即给k，b赋不同的值，通过画图进行对比.整个探究过程是一种静态的对比，缺少k，b由正到负、由大到小的变化过程，对于初学函数的学生来说缺乏直观感，很难引发其思考.采用GeoGebra可以呈现动态变化过程，化抽象为形象，将一次函数图像随k，b的变化而变化的过程具象化，加深学生的理解.

如图所示，可以在GeoGebra中设定变量k，b.在研究k的变化时，保持滑動条b不动，只拖动滑动条k，观察图像的位置变化，引导学生对比k值大小、正负、零值对函数图像的影响，并总结结论;同样，研究b的变化时，保持滑动条k不动，只拖动滑动条b，观察图像的位置变化，总结b值大小、正负、零值对函数图像的影响.

设计意图：通过动态演示，采用变量控制法，逐步探究k，b对图像位置的影响.演示过程中可清晰观察到函数图像随着k，b值的变化而变化的规律，将复杂问题简单化、直观化.在动态演示中学生很容易总结出规律，这对于进一步的探究有积极作用，也有利于学生深度思维的培养.

五、巧用技术，防止极端

通过设置一系列探究活动和问题交流引导学生进行实践、观察、分析、谈论、猜测和验证，让学生经历一次函数动态探究过程，感受函数图像探究的一般方法.整个过程，始终贯穿“由数想形”和“以形助数”的数形结合思想，利用GeoGebra将原本较为复杂的k，b与函数图像的关系问题直观化，加深了学生对数学应用性的理解.

直观不是“教”出来的，而是自己“悟”出来的.只有积累足够的数学活动经验，才能有助于接下来的深入学习.善于并恰当地利用信息技术帮助学生建构数学学习的通道是现代教师需要思考的重要问题.信息技术与数学教学的“深度融合”，除了将信息技术视为教学的核心要素并经常使用外，还要关注师生信息技术使用的层次，即针对不同课程内容、学生个体特点，创新信息技术使用方法和策略.

信息技术在教学中的应用是需要反复研究的内容，适当地利用信息技术可以提高课堂效率，不恰当地利用或者滥用则会适得其反.

1.生搬硬套

利用粉笔黑板进行教学已经延续几十年，必有其适用性与实用性，一些代数内容利用传统教学形式反而可以更细致地进行教学内容的讲授.所以在运用信息技术辅助教学时，一定要注意其适用性，不能生搬硬套，为了呈现技术而忽视教学内容，为了“炫技”而教学是不可取的.

2.直观滥用

几何教学和部分函数教学中，通过几何画板和GeoGebra可以更直观地呈现出图形的平移、翻折、旋转等变换过程，以及函数的形成、平移等过程，学生可以一目了然地了解其变化过程.值得注意的是，在教师“点击”之下，动态过程直接生成，学生的思维一下子得到了满足，求知的欲望也一瞬间消弭于无，缺少了独立思考的过程，而给予学生足够的时间和空间进行思考，正是直观想象形成的过程，也是培养数学思维的良好契机，由此可见，数学的“脚手架”应该适当搭设，搭得多了，学生反而会失去前进的动力.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.