借助几何直观 深化分数理解

谢志勇 曹铮铮

几何直观是深化分数理解的有效手段。笔者以人教版五年级《分数的初步认识》为例，谈谈如何依托数形结合、建模、抽象等数学思想，以直观的方式，帮助学生从本质上正确认识分数，深入理解分数的内涵。

一、数形结合，认知分数的多重内涵

教材从揭示分数产生的现实背景出发，帮助学生领会分数的基本含义：分数[14]可以表示一个物体4等分中的1份，也可以表示一些物体4等分中的1份。这是教材借助直观的实物和几何图形对分数“外显”意义的呈现，揭示出分数是部分与整体之间数量关系的一种抽象与表征。在此基础上，笔者设计以下教学，引导学生理解分数还可以表示部分与部分之间的比较关系。

师（课件出示下图）：看这幅图，你能想到哪些分数？怎么想的？

生1：这幅图中有[34]。

师：谁是谁的[34]？

生2：阴影部分是整个长方形的[34]。

师：还能找到不同的分数吗？

生3：我还能找到[14]，空白部分是整个长方形的[14]。

师：还有不同的分数吗？同桌之间商量一下。

生4：老师，我认为白色部分是阴影部分的[13]。

师：刚才这位同学能够想到[13]，你为什么没有想到呢？

生5：因为他是把整个长方形看成一个整体。

生6：我没有想到可以把大长方形中的一部分看作单位“1”。

生7：我没有想到分数除了可以表示部分与整体之间的关系之外，还可以表示部分与部分之间的关系。

师：是的，不管是部分与整体之间的关系，还是部分与部分之间的关系，都可以用分数来表示。白色部分是阴影部分的[13]，反过来可以怎么说呢？

生8：阴影部分是白色部分的3倍。

师：同学们之前已经学过用“倍”表示两部分之间的关系，现在又学会了用“分数”来表示，以后还会学到用“比”来表示。

以上设计，借助直观的几何图形，利用数形结合思想，使学生在充分体验中联通了分数与除法、倍、比的关系，主动完善了对分数的意义从“外显”到“内隐”的认知再建构。

二、借助单位“1”，凸显分数的“均分”本质

孔子说：“疑是思之始，学之端。”教师在学生思维的生长点上设置问题，能有效地引导学生进行深入探究，实现自主学习。“单位‘1”和“分数单位”是分数概念的重要组成部分。对于一些物体或图形的“均分”策略的选择，是探索分数本质特征的突破口。鉴于此，笔者对教材进行了重整。

师：上节课大家学习了把一个物体看作单位“1”进行平均分，现在老师给大家12个三角形，请把它们看作单位“1”进行平均分，你能得到哪些分数？

生1：平均分成两份，其中的一份是[12]。

师：另1份呢？这样的2份呢？

生2：另一份也是[12]，2个[12]是[22]。

生3：把12个三角形平均分成4份，其中的每一份都是[14]，4个[14]是[44]。

生4：把它平均分成6份，其中的每一份都是[16]，6个[16]是[66]。

师：大家的眼睛真亮，竟然发现了这么多不同的分数。综合比较一下，你有什么发现？

生5：虽然单位“1”相同，但平均分的份数不同，得到的分数也不同。

生6：[22]、[44]、[66]都是12个三角形，所以都等于单位“1”。

生7：分出来的每1份大小也不相同，分别是[12]、[14]、[16]。

师：分出来的每1份就叫作分数单位，2个[14]是[24]，3个[16]是[36]。纵向观察，你又有什么发现？

生8：这里的[12]、[24]、[36]表示同样的三角形个数，因为平均分的份数不同，可以用不同的分数来表示。它们的大小一样，意义不一样。

为了让学生重点理解分数单位与平均分之间的联系，笔者设计有结构性、对比性的学习材料，结合课件动态演示，引领学生深度解读了[12]、[14]、[16]的意义，揭示了分数单位的概念。在此基础上，笔者组织学生横向观察、比较，顺势得出[22]=[44]=[66]=1，渗透了真分数到假分数的演变过程及分数的大小比较。

三、探究單位“1”，理解分数的“度量”含义

分数起源于“分”，用来解决不满1个单位量的数值问题。解决的方法是将原单位量等分之后得到单位分量，再用单位分量重复测量不满一个单位量的量，最后以分割的份数和重复次数的并置，作为被测量的量的指针和标准。因此，“实际度量”作为分数的内隐意义是隐蔽的、抽象的，是实际教学中的重点和难点。如何借助几何图形的直观性、可比性来突破难点呢？

师（课件出示三种不同的圆）：假如我们把一个红圆看作单位“1”，同样的3个蓝圆和6个黑圆与它做比较，可以用什么数来表示？

生1：蓝圆可以用整数3来表示。

生2：黑圆可以用整数6来表示。

师：假如我们把3个蓝圆看作单位“1”，同样的6个黑圆，1个红圆和它做比较，可以用什么数来表示？

生3：黑圆可以用数字2来表示。

生4：紅圆可以用分数[13]来表示。

师：为什么能这样表示呢？

生5：因为红圆和蓝圆相比，1个红圆是蓝圆的3份当中的1份这么多，所以可以用[13]来表示。

师：假如我们把6个黑圆看作单位“1”，同样的1个红圆、3个蓝圆和它做比较，又可以用什么数来表示呢，为什么？

生6：蓝圆可以用分数[36]来表示。6个黑圆是单位“1”，蓝圆是它6份当中的3份这么多，所以用[36]来表示。

生7：老师，我觉得蓝圆也可以用[12]来表示。因为把6个黑圆看作单位“1”，3个蓝圆的数量是黑圆的一半，所以可以用[12]来表示。

生8：1个红圆可以用[16]来表示。因为把6个黑圆看作单位“1”，红圆和它相比是黑圆6份当中的1份这么多，所以它可以用[16]来表示。

师：同学们，同样是1个红圆，为什么刚才用[13]表示，现在却用[16]来表示？同样是3个蓝圆，为什么刚才用3来表示，现在可以用[36]来表示呢？

生9：这是因为选取的单位“1”不同。虽然是同一个物体，却可以用不同的数来表示。

生10：因为比较的标准不同，所以出现了表示的数也不同。

师：对比上述不同的单位“1”，你发现了什么？

生11：如果被比较的数量刚好是单位“1”的几倍，就可以用整数几来表示;如果被比较的数量不到单位“1”的1倍，就可以用分数“几分之一”或“几分之几”来表示。

对于五年级的学生来说，已经知道了教材上对单位“1”的定义。如果被比较的物体不足单位“1”的1倍，又该如何表征和计量它的数量呢？基于此，笔者设计了以上教学，利用三组不同颜色、不同数量的圆，引导学生直观地进行了三次不同标准的计量及其结果的表示，让学生在尝试表征中，不仅感受到分数的基本意义——把一个整体平均分成若干份，表示其中的1份或几份的数，还感受到比较标准和单位“1”的选择不同，实际度量的分数单位或者说计数单位也不同。这样设计，让学生真正领悟分数的“内隐”意义——依据被测量物体的实际情况来确定单位“1”，实现“度量”含义从自然数向分数的有效迁移。

（作者单位：谢志勇，武汉市新洲区教学研究室;曹铮铮，武汉市新洲区第一初级中学）

助理编辑  刘佳