基于传递矩阵法的齿轮系统轴承跨距优化研究

郑雅琳，黄鹏鹏，程 洋

（江西理工大学 机电工程学院，赣州 34100）

0 引言

汽车传动系统中主减速器产生的振动和噪声对传动系统稳定性和整车NVH性能具有决定性影响[1]。连接齿轮轴与主减速器壳体的轴承座刚度会影响锥齿轮副的啮合质量，从而影响主减速器的振动响应[2,3]。当轴承预紧力一定时，轴承跨距对支撑刚度有直接影响[4]。

传输矩阵可以描述线性化MIMO系统（多输入多输出系统）的输入和输出之间的关系，输入和输出是各单元的末端状态矢量，包括位移，角位移，弯矩和剪切应力。以自由端为约束条件得到特征方程，并通过相关参数的计算得到系统在不同支承跨度下的固有频率[5,6]。通过主动齿轮轴的模态分析和主减速器的振动试验可以确定应避免的共振频率范围，从而得到最佳的轴承跨距。

裴大明用有限元方法从静刚度的角度出发建立数控镗铣床主轴部件模型，并计算了该主轴轴承的最优跨距[7]。郭向东等通过对理论公式的计算以及试验分析得出了轴承预紧力、系统固有频率及跨距的关系[8,9]。本文基于传递矩阵，以轴承跨距为研究对象，以改善主减速器的振动响应和整车NVH性能为目的，通过主动齿轮轴的模态分析和主减速器振动试验，得到了在一定轴承预载荷下的最佳轴承跨度，并通过ADAMS中的动态仿真验证了结果的有效性。

1 建立主减速器齿轮系统模型

主减速器齿轮系统的剖面如图1(a)所示。它包含5个部分：主动齿轮，轴I，轴II，轴III和轴IV，轴承安装在轴II上。如图1(b)所示，主减速器齿轮系统继续被分散成多个特征单元，以便建立传输矩阵模型。轴IV和轴III被设置为一般轴，一般轴段由无质量弹性轴和两个集中式质量站组成。两个轴承设置为无质量弹性支撑站，作用点位于两个支撑轴承的中心。轴II和轴承被简化为一个整体的质量单元，然后被分为两部分：轴II-2和轴II-1。轴-II-1的长度是l/2，l是轴承跨距。由于轴II-1的直径大于其长度，因此设置轴II-2和轴II-1作为轮盘站。轴I与主动齿轮一体设为带有弹性支撑的轴段，其可以等同于无质量弹性轴和具有弹性支撑的刚性质量单元。

图1 主动齿轮离散化模型

特征单元的简化力学模型如图2所示，每个子单元的传递矩阵可以通过动力学方程得到。

图2 特征单元的简化力学模型

2 矩阵计算

结合传递矩阵法的基本思想，将主减速器齿轮系统离散化为几个特征单元，分别建立各单元的传递矩阵，然后结合子传递矩阵得到系统的总传递矩阵[10]。

2.1 齿轮系统总传递矩阵计算

如图2(a)所示，一般轴段由无质量弹性轴和两个集中质量站组成，从Xi,i-1到Xi,i+1的轴段被称为i-1截面和i截面，两端的状态向量包括：位移（Y），角位移（θ），弯矩（M）和切应力（Q）。I是截面惯性矩，E是弹性模量，通过力学模型得到无质量弹性轴段的动力学方程如下：

将方程(1)转化为矩阵形式，则无质量弹性轴段的传递矩阵表示为Tsh。

集中质量站的动力学方程可以通过图2(b)所示的力学模型来获得：

将方程(3)转化为矩阵形式，则集中质量站的传输矩阵记为Tm，T是一般轴段的传递矩阵。

通过将它们的物理参数代入等式(5)中可以得到轴IV和轴III的传递矩阵。T4是轴IV的传递矩阵，T3是轴III的传递矩阵。

如图2(c)所示，两个轴承被简化为弹性支撑站，它等同于具有径向刚度和角向刚度的弹簧，Kr是两个支撑轴承的等效径向刚度，Kθ是等效的刚度，l是轴承跨距，轴承刚度为常数。在两个轴承的中心，会有一个反作用力Fr和一个反作用力矩Mr。

滚动轴承的阻尼基本不会影响结果，因此可以忽略，无质量弹性支撑站的动力学方程可以通过图2(c)所示的力学模型获得：

将式(7)转化为矩阵形式，则无质量弹性支撑站的传递矩阵记为Tb。

如图2(d)所示，m和J分别是轮盘的质量和转动惯量，轮盘站的动力学方程可以通过其力学模型来获得：

将方程(9)转化为矩阵形式，则其状态向量的系数矩阵即为轮盘站的传递矩阵，轴II-2和轴II-1的传递矩阵分别为T2-2，T2-1。

轴I的直径与主动齿轮的直径之间的差值很小，所以可以将轴I和主动齿轮整体视为带弹性支承的轴段。它可以等同于无质量弹性轴和具有弹性支撑的刚性质量单元，如图2(f)所示。图2(e)中Kh是主动齿轮的啮合刚度，m1是轴I和主动齿轮的总质量，J1是轴I的总的转动惯量。当轴I和主动齿轮以角速度旋转时，产生惯性力和惯性矩为m1θ。具有弹性支撑的刚体质量单元的动力学方程可以通过力学械模型获得：

将方程(13)转化为矩阵形式，则其状态向量的系数矩阵是具有弹性刚性质量单元的传递矩阵，记为Tk。

推导出无质量弹性轴的传递矩阵，记为Tsh。x1是轴I和主动齿轮的总长度，I1是轴I和主动齿轮的截面惯性矩，Tg是带弹性支撑轴的传递矩阵：

根据离散关系，所有特征子单元串联连接。通过将每个传递矩阵集中起来，可以得到主减速器齿轮系统的总传递矩阵，TN是系统的传输矩阵。

2.2 齿轮系统固有频率计算

在主减速器齿轮系统的离散模型中，初始截面是自由端约束，即M1=0，Q1=0，末端截面也是自由端约束，即MN=0和QN=0。可以得到主减速器齿轮系统的两种截面状态向量之间的关系如下：

当主减速器齿轮系统振动时，Y1和θ1不能同时为0。因此，等式(18)有解的条件为：

本文的主减速器齿轮系中，等效径向刚度Kr=1023.65N/um，啮合刚度Kh=2.0436N/um，齿轮轴的材料为20CrMnTi，其他相关参数如表1所示。

通过求解方程(19)后，可以得到临界速度和轴承跨距之间的关系。由于可以得到不同轴承跨距下的固有频率曲线如图3所示。

图3 固有频率和轴承跨距的关系图

计算结果表明，主减速器齿轮系统的一阶固有频率主要在2650Hz～3450Hz范围内，并且当轴承跨距在53mm～58mm范围内时，一阶固有频率在2800Hz左右浮动，处于较低水平。

3 实验测试

将主减速器齿轮系统三维模型导入ANSYS后，对轴承端面进行约束，运用Block Lanczos方法进行模态分析。由于低阶振动模态相对高阶振动模态在结构运动方面的影响更大，因此定义主动齿轮轴为高阶振动模态，表2为其前6阶固有频率。分析结果表明，主动齿轮轴的一阶固有频率为3250.0Hz，二阶固有频率为3260.0Hz。

表1 主动齿轮轴各离散段的基本参数

表2 主动齿轮轴前6阶频率

主减速器的固有频率可以通过分析其频域振动信号来获得[11]。采用某振动测试装置，对传动系统的固有频率进行了测试。三个测试样品的测试结果如图4所示：

图4 主减速器齿轮传动系统振动测试频域谱

试验结果表明，当频率在2900Hz～3400Hz范围内时，主减速器的振动更为明显，因为这是主减速器的共振频率范围。因此，设计主减速器零件时避免其固有频率在2900Hz～3400Hz范围内，当固有频率在3150Hz左右时可以有效减少主减速器的振动。由图3可以看出，最优轴承跨距范围为53mm～58mm，当轴承跨度为55mm时，一阶固有频率与2900Hz相差最大。综上所述，当轴承跨距为55mm时，可以尽可能地避免主减速器的共振。

4 ADAMS动态仿真

图5是根据实际工作情况，建立的主减速器齿轮传动系统的动力学简化模型。

图5 主减速器齿轮传动仿真模型

为了对比分析，准备了6组不同的轴承跨距模型，包括54mm，55mm，56mm，57mm，58mm和59mm，同时也设置了6组不同的驱动速度，分别为800r/min，1500r/min，2000r/min，3000r/min，4000r/min和5000r/min。通过仿真获得了从动齿轮在Y方向（垂直方向）上的角加速度和接触力。从动齿轮在Y方向的接触力会直接影响螺旋锥齿轮啮合时的垂直振动，进而影响汽车的乘坐舒适性。系统在0.2秒内处于加速阶段，应该排除加速阶段的模拟数据。图6和图7中示出了在不同行驶速度下，垂直方向上角加速度和接触力的平均值和差值。

图6 从动齿轮角加速度—轴承跨距关系图

图6(a)中显示主不同转速下减速器的轴承跨距为55mm时，从动齿轮角加速度的平均值最小。如图6(b)所示，不同从动齿轮角加速度的差值在不同的驱动速度下呈现波动趋势，并且在轴承跨距为55mm处差值最小。由以上分析可知，当轴承跨距为55mm时，系统的振动相对稳定。主减速器齿轮系统的振动波动较小时，传动过程中的振动和噪声得到有效降低。

图7 从动齿轮接触力在Y方向分力—轴承跨距关系图

图7(a)显示了在垂直方向上接触力的平均值相对集中，并且当轴承跨距为55mm时的，其值处于最小值。图7(b)表明，当轴承跨距为55mm时，驱动速度不高于4000r/min，则Y方向的接触力的差值相对较小。表明此时传输过程的影响小，振动相对稳定。

综合分析表明，当轴承跨距为55mm时，主减速器齿轮系传动相对稳定，振动波动小，振动表现较好。

5 结语

通过理论分析和计算，并结合主动齿轮轴的模态分析和主减速器的振动试验，得出当轴承跨距为55mm时，能最大程度避免主减速器的共振。动态仿真结果表明，当轴承跨距为55mm时，从动齿轮的在垂直方向的角加速度和接触力较小，验证了理论分析结果的准确性。该研究结论可以有效地减小主减速器的振动，改善车辆的NVH性能。