三缸发动机平衡轴系统平衡减振齿轮平衡指标计算模型及其关键影响因素分析

刘思睿，李刚炎，王平俊，熊 峰

（武汉理工大学机电工程学院，湖北 武汉 430070）

1 引言

三缸发动机平衡轴系统驱动齿轮是发动机曲轴与平衡轴之间的传动构件，将平衡轴和曲轴联系在一起，同步驱动平衡轴系统，实现发动机运转的平衡。平衡减振齿轮是将配重组件、弹性组件及齿轮本体设计为一体的一种特殊的传动齿轮，具有减小装配误差、节约空间、轻量化等优点。质量、转动惯量、不平衡量等平衡指标作为静态特性是评价平衡减振齿轮平衡性能好坏的重要标准，通过对平衡减振齿轮平衡指标的理论计算分析，可以找到影响其平衡性能的关键因素并加以控制，根据实际结果和理论结果判断引起不平衡量变化的机理，指导生产加工，降低产品不合格率，具有一定的工程实用价值。

在国内外对平衡指标相关计算研究过程中，文献[1-2]研究了基于扭摆测量的转动惯量计算方法，并分析了非线性因素对转动惯量测试系统的影响，但该方法只适用于大尺寸非回转体非线性动力学系统的转动惯量测量。文献[3-4]利用递推最小二乘法计算了飞行器的质心偏差和转动惯量，分析过程是把非线性动力学方程分解为若干个非线性方程组联合进行求解。文献[5]利用转动惯量的定义，计算了均质圆柱壳的转动惯量，但对形体质量、质心位置和转动惯量的计算模型并没有涉及。文献[6]基于转子旋转轴线与部件惯性轴之间的偏差而产生转子不平衡量的原理，提出了通过同心度对转子不平衡量进行估算的方法，但该方法仅适用于部件的装配过程。文献[7]介绍了电机转子全自动平衡机V 型铣削矫正方式下V 型铣槽动不平衡量的计算建模并分析多种结构因素影响，但由于转子电气及机械工艺等方面的限制，对某类转子不便实现。通过分析，上述文献采用的理论计算方法并不能解决平衡减振齿轮的平衡特性指标的分析与计算，且鲜少有影响计算指标的关键影响因素的分析，尚未对加工过程多因素多指标分析进行详细的研究。

以三缸发动机平衡系统平衡减振齿轮为研究对象，针对质量、转动惯量、不平衡量等平衡指标，构建平衡指标计算模型，运用MATLAB 软件进行编程，结合零件加工工艺并采用正交试验设计方法进行仿真计算，最后确定关键影响因素，为后期基于平衡指标进行平衡减振齿轮结构优化奠定基础。

2 三缸发动机平衡轴系统平衡减振齿轮的结构型式及其特点

2.1 平衡减振齿轮的结构型式

某三缸发动机平衡轴系统平衡减振齿轮的示意图，如图1（a）所示。平衡减振齿轮由齿轮轮齿、齿轮腹板、齿轮腹板配重块、橡胶环及轮毂组成。其中平衡减振齿轮腹板上设计的配重块位于齿轮盘两侧，重心与飞轮侧配重块重心呈180°分布，整体结构类似扇形，可通过调整其厚度来调整配重部分的重量从而调整运转时的动平衡。弹性橡胶环通过硫化工艺固接于在齿轮腹板与轮毂之间，隔离曲轴扭转振动，提升平衡轴系统的耐久性，同时降低齿轮的啮合噪音。

由于受到加工误差的影响，平衡减振齿轮的实际加工质量会偏离设计值，在运动过程中产生的不平衡力矩过大或过小都会直接影响系统的平衡性能，从而无法满足减小发动机振动和噪声的要求。在设计过程中仅改变齿轮腹板配重块结构对平衡性能的影响无法保障平衡指标结果在允许阈值范围内。因此，应综合考虑设计增重组件、减重组件、弹性组件，综合考虑多种结构组成的平衡指标变化。分析其对平衡性能的影响。改进的结构型式示意图，如图1（b）所示。平衡减振齿轮结构型式的多样性会使结构参数对平衡指标的影响有差异，建立通用的平衡指标计算模型，方便对平衡减振齿轮加工质量进行分析和控制。

图1 平衡减振齿轮结构示意图Fig.1 Schematic Diagram of the Structure of Balanced Vibration Reduction Gear

在零件材料和工艺方面，齿轮轮齿、齿轮腹板、齿轮腹板配重块及轮毂据美国粉末冶金零件材料标准MPIF-35-2009，多采用牌号为FC-0205-80 的粉末冶金材料，其密度为6.9g/cm3。橡胶材料为氢化丁腈胶（HNBR，Hydrogenate Nitrile），密度为 1.3g/cm3。通过硫化工艺成为实现齿轮功能的关键部分：橡胶的硫化工艺不仅使橡胶成为具有固定形状、能够满足特定功能需求的橡胶环结构，更重要的是通过该工艺，齿轮轮齿、齿轮腹板、齿轮腹板配重块、橡胶环及轮毂粘接为一个整体，成为功能完善的平衡减振齿轮。

2.2 平衡减振齿轮的特点

（1）平衡减振齿轮由内圈、外圈和缓冲橡胶组成，较普通金属齿轮有更好的传动品质，减小振动和噪声；将配重组件和齿轮设计为一体，满足发动机缸体空间要求。

（2）平衡减振齿轮的内圈和外圈是粉末冶金材料，具备汗腺润滑的特性，润滑性能佳，此外粉末冶金件具有更好的工艺性能。

（3）相较于带配重块齿轮，在平衡指标值一致的情况下，平衡减振齿轮内圈和外圈材料密度变小，因此相对于原带配重块齿轮质量和转动惯量减小。

2.3 平衡减振齿轮的平衡指标

为保证三缸发动机平衡系统的平衡效果，必须保证平衡减振齿轮平衡指标符合设计要求，平衡指标包括质量、转动惯量和不平衡量。

2.3.1 质量

质量是平衡减振齿轮的固有性质，在加工过程中材料密度和几何外形的变化都会对平衡减振齿轮的质量造成影响，质量的波动会直接影响平衡减振齿轮随平衡轴同步旋转运动而产生的转矩大小，进而影响系统的平衡效果。

2.3.2 转动惯量

转惯量是表示物体在转动过程中的惯性大小的物理量，它与物体的质量分布情况以及转轴位置有关。合适的转动惯量是为了保证平衡轴系统产生合适的不平衡量。

2.3.3 不平衡量

平衡减振齿轮作为发动机的关键传动构件，是发动机运行平稳、安全可靠的重要保障，其转速高，转速变化频繁，受载荷复杂的工况条件决定了其不平衡质量产生离心力的复杂多变性，不平衡量是平衡轴系统的关键指标，用以与发动机曲轴系统的不平衡协同，使发动机平衡。

3 平衡减振齿轮平衡指标的计算模型

国内对平衡减振齿轮相关设计方法主要基于研究人员经验，设计出的零件普遍存在质量不佳、效率不高等缺点，针对平衡减振齿轮的复杂性，基于平衡减振齿轮的设计理论、平衡指标计算理论，需要建立增重组件、减重组件、弹性组件平衡指标计算模型。

3.1 增重组件平衡指标计算模型

增重配重块平面特征，如图2 所示。在XOY平面内该特征为两对称直线截两同心圆所得不规则圆环形状，外圆半径为R，内圆半径为r，内圆与截线交点到X轴的距离为L，截线与X轴之间的夹角为θ，由R、r、L和这四个参数可确定该典型平面特征的形状。截线在X轴上半部分时典型形状，如图2（a）所示。截线在X轴下半部分时典型形状，如图2（b）所示。

图2 增重配重块平面特征Fig.2 Plane Features of Weight-Increasing Balance Weight

设增重配重块厚度为H，Y轴右半部分的截线表达式为：

截线与内外两同心圆交点分别为a（xr，yr）和b（xR，yR），利用积分方法计算增重配重块部分各平衡指标，首先需计算两交点的横坐标，交点a和b的横坐标表达式为：

在XOY平面上选取微元，微元长度表达式为：

则右半部微元的质量为：

增重配重块的转动惯量为：

增重配重块的质心坐标为：

在实际加工过程中，需要控制Y方向的平衡减振齿轮不平衡量达到阈值范围，则增重配重块的不平衡量为：

式中：cm—尺寸单位；rad—角度单位；ρ—密度单位；mp—增重组件配重块结构的质量；Jp—增重组件配重块的转动惯量，单位为g·cm2；Up—增重组件配重块的不平衡量，单位为g·cm。

3.2 减重组件平衡指标计算模型

在实际零件设计过程中，考虑在齿轮腹板上设置减重孔和减重槽，形成质量偏心，调节该发动机平衡轴的离心力，可精确的调整不平衡量。所设置的减重孔和减重槽分布在平衡减振齿轮转轴本体的两侧，分别建立减重孔与减重槽的平衡指标计算模型。

3.2.1 齿轮腹板减重孔平衡指标的计算模型

若考虑减重孔加工，在计算过程中假设减重孔为实体，由平行轴定理可得减重孔绕转轴的总转动惯量。小孔的直径dk变化和轴线位置不可能完全相同，这些结构变化将共同影响平衡减振齿轮的不平衡量。减重孔的质心仍在其自身的轴线上，其轴线与平衡减振齿轮轴线之间的距离可以计算。

在腹板式齿轮结构设计中，设计孔孔心与设计槽中心弧线半径长度根据腹板内外直径决定，设腹板外直径为D0，减重孔中心距轴线半径为R1，腹板内直径为D3，则R1≈（D0+D3）/4，减重孔的直径D2≈（0.25～0.35）（D0-D3）。

减重孔平面特征，如图3 所示。假设孔为实体，孔深为hk，设打孔个数为n，由平行轴定理可得孔绕Z轴的质量及总转动惯量。为方便计算，设第一个配重孔圆心与X轴夹角为，减重孔之间的夹角为β2。

图3 减重孔平面特征Fig.3 Plane Features of Weight-Lossing Hole

则连续分布的减重孔的质量及转动惯量为：

利用极坐标计算每个孔的质心位置为：

确定第一个孔的质心坐标：

确定其他孔的质心坐标：

确定所有减重孔的总质心坐标：

则减重孔的Y方向的不平衡量为：

式中：mk—减重组件减重环结构的质量；Jk—减重组件减重环结构的转动惯量，单位为g·cm2；Uk—减重组件减重环结构变化引起的不平衡量偏差，单位为g·cm。

3.2.2 齿轮腹板减重槽平衡指标计算模型

减重槽平面特征由扇形盘及两半圆盘组成，如图4 所示。考虑齿轮腹板减重槽的外圈半径为Rc，配重槽厚度为hc，减重槽深度为bc，减重槽宽度为dc，减重槽扇形部分对应展开角度为2γ。以Y轴为对称线，向Y轴两侧延伸相同角度γ，当单边角度由γ增加△γ 时，且△γ 量趋于0，此时去除质量的增加量dmc1为：

图4 减重槽平面特征Fig.4 Plane Features of Weight-Lossing Trough

则减重槽扇形部分去除的质量为：

当角度由0 增加至γ0时，此时去除的减重槽扇形部分的转动惯量总量Jc1应为：

将去除质量△mc1对零件的不平衡量影响量△U投影在Y方向上，△U′=△mRccosγ，此时乘以 cosγ 为实际去除不平衡量。

当角度由0 增加至γ0时，此时去除不平衡单边总量应为Uc1。

考虑右半部半圆盘，设半圆盘的圆半径为bc/2，圆心角为α′，由对称性容易得出（均质）半圆盘的质心在其圆心角的平分线上，取该轴为x′轴，顶点为原点，则半圆盘的上半部周界的方程为：

于是整个半圆盘对设定的原点的力矩为：

以S表示半圆盘面积，依照质心的定义，一个质量为S的质点放在原来的半圆盘的质心处，对设定的原点的力矩也等于M′，质心的坐标（即质心与圆心的距离）为：

则在坐标系XOY右半部半圆盘的质心的坐标为：

由经验公式可得两边半圆盘的总质量为：

由平行轴定理可得半圆盘绕中心轴线的转动惯量为通过质心的轴线转动的转动惯量等于该部分质量与两轴间距离平方的乘积之和。其中半圆盘绕质心为轴线转动的转动惯量为：

半圆盘的Y方向的不平衡量偏差为：

则配重槽的总质量为mc=mc1+mc2，总转动惯量为Jc=Jc1+Jc2，总不平衡量为Uc=Uc1+Uc2。

式中：mc—减重组件减重环结构的质量；Jc—减重组件减重槽结构的转动惯量偏差，单位为g·cm2；Uc—减重组件减重槽结构的不平衡量偏差，单位为g·cm。

3.3 橡胶组件平衡指标计算模型

橡胶组件设置于所述齿圈和所述轮毂之间，不仅起到减振降噪的作用，同时橡胶环的结构变化也同时影响平衡齿轮的平衡性能。

橡胶环平面特征，如图5 所示。

图5 橡胶环平面特征Fig.5 Plane Features of Rubber Ring

则橡胶环的质量为：

橡胶环的转动惯量为：

由圆环结构相对于平衡减振齿轮旋转轴线的对称性可知圆环结构的质心在X、Y方向的坐标分别为：

因此可知，各圆环的质心均在齿轮轴线上，不引起不平衡量的变化。

式中：mx—橡胶环结构的质量；Jx—橡胶环结构变的转动惯量，单位为g·cm2；Ux—橡胶环结构变的不平衡量，单位为g·cm。

3.4 平衡减振齿轮平衡指标计算模型验证

因平衡减振齿轮中齿轮轮齿、齿轮腹板、齿轮轮毂部分为标准结构，故不考虑其结构参数变化对平衡指标计算产生的影响，设齿轮轮齿部分质量为mT，转动惯量为JT，不平衡量为UT。设齿轮腹板的质量为mW，转动惯量为JW，不平衡量为UW。设齿轮轮毂部分质量为mH，转动惯量为JH，不平衡量为UH。这三部分结构的平衡指标为定值。

综上所述，平衡减振齿轮平衡指标的计算模型为：

为了便于平衡减振齿轮平衡指标的求解计算，以上述平衡减振齿轮为例，根据建立的质量、转动惯量、不平衡量的计算模型，在MATLAB 中编写计算程序，输入该带平衡减振齿轮三维模型的尺寸参数和零件材料的密度，计算各部分组件的质量、质心位置、转动惯量，最后根据零件整体的质量以及质心位置计算出零件的不平衡量。在MATLAB 中计算结果与SolidWorks 软件质量属性分析结果对比，如表1 所示。

表1 平衡减振齿轮加工性能指标计算结果Tab.1 Calculation Result of Balance Index of Balance Vibration Reduction Gear

表1 分析结果表明，三个平衡指标的计算结果相对误差都非常小，其中，平衡减振齿轮的转动惯量相对误差最大，主要的原因是由于在计算模型建立时，未考虑零件的圆角和倒角部分的计算。但从总体来看，计算误差在容许范围内，使用要求可以基本满足。

4 平衡减振齿轮平衡指标关键影响因素分析

在之前的平衡减振齿轮平衡指标计算模型建立过程中可以看出，影响其平衡性能的结构参数多达十几个，有些参数还存在相互制约的作用，为了筛选出影响平衡减振齿轮平衡性能的关键结构参数，有效实现平衡减振齿轮的后期结构优化设计，提高其平衡性能，采用正交试验设计先对平衡减振齿轮的结构参数进行关键影响因素分析，筛选敏感性强的结构参数作为后文优化设计变量减少计算量。

4.1 平衡减振齿轮平衡指标关键影响因素分析的正交试验设计

由平衡减振齿轮配重组件几何结构平衡指标计算可知：增重配重块影响平衡指标的结构参数有：外圆半径R，内圆半径为r，内圆与配重部分边界截线交点到X轴的距离L，截线与X轴之间的夹角θ，厚度H。

减重孔影响平衡减振齿轮平衡指标的结构参数有：直径dk、两孔之间的夹角为β2、减重孔圆心据坐标轴O点距离为Lk、孔深为hk。

减重槽影响平衡指标的结构参数有：减重槽的外圈半径为Rc、减重槽深度为hc、减重槽宽度为bc、减重槽角度为γ。

橡胶环影响平衡指标的结构参数有：橡胶环外径Rx，橡胶环厚度hx。

根据设计理论、设计经验和加工工艺要求，确定以上参数的范围，其中增重配重块外径R与齿轮腹板外径保持相同，减重孔圆心据坐标轴O点距离Lk由腹板内外直径决定，孔深hk随减重槽深度为hc变化而变化，减重槽的外圈半径Rc由减重槽宽度bc确定，因此不考虑以上参数为正交设计的分析变量。综上所述，参考正交表，选取其中十一列安排十一个因素的设计方案，根据因素水平划分原则、机床加工能力、经济性，以实例验证中的平衡减振齿轮结构参数为依据，每个因素选择三个水平，相同因素不同水平的差值相同，选择的水平数，如表2 所示。

表2 因素水平表Tab.2 Factors and Levels Graph

根据上表，参考L27（313）正交表，按照因素顺序进行排列，最终确定27 组正交设计方案，设置两空列为误差列。分别对每一组方案的平衡减振齿轮的平衡指标利用综合评分法进行计算。具体方案结果，如表3 所示。

表3 平衡指标正交仿真试验结果Tab.3 Orthogonal Simulation Test Results of Balance Index

4.2 平衡减振齿轮平衡指标关键影响因素分析正交试验结果分析

对于正交试验结果的分析，通常有两种方法；一种是直观分析法，也叫极差分析法通过计算极差来判断因素对指标的影响大小[9-10]；另一种是方差分析法，又称为统计分析法，分析精度高，可弥补直观分析法的不足之处。通过试验结果分析可得到因素主次顺序、因素显著性等关键信息。由于本次试验设计只是为了得到因素主次关系和较优水平范围，故采用简单直观的极差法对试验结果进行分析便可满足要求。

极差分析简称R法，包括计算和判断两部分，如图6 所示。

图6 极差分析示意图Fig.6 Schematic Diagram of Range Analysis

Rj为第j列因素的极差，即第j列因素下的最大平均值与最小平均值的差值。

Rj反应了第j列因素水平波动时，结果指标的变动幅值。Rj越大。说明该因素水平变化对结果影响越明显，因此，可以根据Rj的大小，判断各因素对结果影响的主次顺序。

根据极差分析原理和上表结果，计算得到平衡减振齿轮综合评价值的极差分析，如表4 所示。

表4 平衡减振齿轮平衡指标极差分析表Tab.4 Table of Range Analysis of Balance index of Balance Vibration Reduction Gear

上表分别是关键因素对综合平衡指标的极差分析结果，有上表可以看出，平衡减振齿轮增重配重块部分的内圆半径r的极差值最大，为6.4876，由于极差值越大，对应的因素对指标的影响就越显著，故平衡减振齿轮增重配重块部分的内圆半径r对平衡减振齿轮的影响最为显著。其次是配重块部分边界截线与X轴之间的夹角θ。减重槽深度hc、减重槽角度γ、橡胶环外径Rx、橡胶环厚度hx对综合平衡指标的影响相对较小，通过各个因素的极差值大小，可以得到关键的结构参数对综合平衡指标影响程度的大小排序为：r＞θ＞H＞bc＞β2＞dk＞L＞hx＞γ＞Rx＞hc

5 结论

针对三缸发动机平衡轴系统平衡减振齿轮的不同结构型式，综合考虑增重组件、减重组件、橡胶组件对平衡指标的影响，建立平衡减振齿轮的平衡指标通用计算模型，通过仿真计算得到零件质量、转动惯量、不平衡量三个平衡指标在零件结构参数和材料密度等设计参数影响因素下的指标数值，验证了该计算模型的准确性。利用综合评分方法处理多指标正交试验结果并进行极差和关系趋势分析，得到各参数对平衡减振齿轮平衡指标影响的显著程度比较。

结果表明，在零件密度不变的情况下，该扇形盘状增重组件的轴向尺寸H及径向尺寸r，减重组件中减重孔直径dk及减重槽径向槽宽bc对平衡指标影响特别显著。而结构角度的变化对平衡指标的影响同样比重较大。在零件生产过程中需对这些关键的结构参数重点监测，确保平衡减振齿轮的平衡指标在阈值范围内，以提高零件检测效率并降低成本，为后期进行平衡减振齿轮结构优化奠定基础。