基于全相位快速傅里叶变换和人工神经网络的电网谐波检测组合优化算法

2021-04-01欧阳瑾王钢曾德辉

广东电力 2021年3期

欧阳瑾，王钢，曾德辉

(1.华南理工大学，广东广州 510641；2.广州嘉缘电力科技有限公司，广东广州510610)

在交直流输电系统中，大量变压器和换流站等非线性设备的存在，产生了大量的谐波电压和谐波电流[1]。这些谐波的存在会缩短电网中电气设备的使用寿命，影响继电保护装置的正常运行，降低电度计量仪器的测量精度[2-3]。根据GB/T 14549—1993《电能质量公用电网谐波》，仪用互感器和电容式分压器等谐波传感设备应具有良好的频率特性，其引入的幅值误差不应大于5%，相位误差不大于5%。为了改善电能质量，需要精确检测到电网中各种谐波成分，根据谐波的特征采取相应的抑制措施，从而消除这些有害谐波，维护电网的可靠性。

现阶段，基于快速傅里叶变换[4](fast Fourier transform，FFT)的谐波测量是已建成工程中应用最多、最广泛的谐波检测方法，但是使用该方法会产生频谱混叠效应和栅栏效应[5]，使得计算出的谐波参数(频率、幅值和相位)不准确，无法满足谐波检测的高精度性要求。此外还有小波变换[6]、基于瞬时无功功率理论[7]、谱估计[8]和人工神经网络[9](artificial neural network，ANN)算法等也可以应用于谐波检测。小波变换能很好地分解局部信号，但是只能得到信号不同频段的时频特性曲线，不能准确检测出信号的频率和幅值[10]，且算法复杂，运算速度慢。基于瞬时无功功率理论方法所测量到的是各次谐波之和，无法分别得到各次谐波幅值和相位信息。谱估计方法具有较高的频率分辨率，可以用于间谐波检测，但是是计算量大，实时性差。ANN具有很强的自适应性和学习能力，可以有效减小信号源中的噪声干扰等非有效成分，具有计算量小、测量精度高[11]、实时性好、抗干扰能力强等优点[12]，但是它对谐波相位的检测性能较差[13]；ANN在网络初始化时也存在难点[14]，选取的网络结构大小会直接影响神经网络训练效果，使得检测结果存在偶然性。文献[15]利用小波变换的优势对ANN进行改进，幅值和频率的检测性能得到改善，但是谐波的相位测量精度依旧不高。文献[16]提出一种先将数据进行全相位预处理再进行传统FFT的运算方法，即进行相位测量时不需要借助校正措施，具有全频域相位不变的优良特性，称为全相位快速傅里叶变换(all-phase FFT，APFFT)；由于具有初相不变性，APFFT在谐波相位方面的检测性能十分优越，但是其栅栏效应加剧，大大削弱了谐波幅值和频率检测能力，尤其当信号中存在噪声干扰时，频率和幅值检测误差较大。综上所述，ANN抗噪声干扰能力强，频率幅值检测精度高，但是谐波相位检测能力不足；APFFT具有相位不变性，谐波相位检测性能突出，但是谐波频率和幅值检测精度不够。

对此，本文提出一种基于APFFT和ANN的谐波和间谐波测量组合优化算法。该算法先通过APFFT实现谐波中各频率分量的相位检测，将得到的峰值谱线图作为ANN的初始化提供依据；再结合ANN高自适应性的特点，经过神经网络迭代训练，实现对谐波信号中各次谐波和间谐波频率和幅值的精确检测。

1 ANN和APFFT谐波检测原理

1.1 基于ANN的谐波检测原理

ANN是基于生物学中神经网络的基本原理，以网络拓扑知识为理论基础，模拟人脑的神经系统对复杂信息进行处理的数学模型。ANN实际上是由大量简单节点相互连接而成的复杂网络，可以将信息加工和存储结合在一起，具有强大的学习能力和对非线性函数的逼近能力，因此可以将其应用在含有复杂谐波分量的谐波检测领域。

神经网络模型一般含有3层处理单元：输入层、隐藏层和输出层。神经元之间都是由低层出发，终止于高层神经元的1条有向边进行连接，每条边都有自己的权值，包括输入层到隐藏层之间的权值和隐藏层到输出层之间的权值。网络中每个神经元都是1个计算单元，可以通过计算函数g(x)来表示，具体函数可根据需要自行定义。神经网络的初始化包括输入层、隐藏层和输出层的节点数设置，初始权值的设置以及学习率、动量因子和最大迭代次数的设定。其中各层节点数的数目决定了神经网络结构的复杂程度，网络结构越复杂，收敛程度越高；学习率和动量因子的设置决定神经网络学习的速度，影响网络收敛速度。

神经网络训练分2个阶段执行：前馈阶段和反馈阶段。前馈阶段执行工作包括计算输入神经元和权重之间的点积，以及通过激活函数传递输入层到隐藏层的点积和。反馈阶段执行工作包括计算误差函数的值来判断网络是否达到收敛，达到收敛则训练结束，未收敛则返回至前馈阶段，同时调整权值的大小。

本文构建的谐波检测ANN模型图如图1所示，图中：X1、X2、X3……X2n为输入层的神经元节点；H1、H2、H3……Hn为隐藏层的神经元节点；Y1、Y2、Y3……Y2n表示为输出层的神经元节点；Wlj为输入层第l个神经元节点与隐藏层第j个神经元节点之间的权值。

图1 ANN谐波检测模型Fig.1 Harmonic detection model of ANN algorithm

原始谐波信号设为

(1)

式中：ω=2πf0，f0为基波频率；i为谐波次数；t为采样时刻；r为谐波次数分辨率(整次谐波检测时取1，间谐波检测时可取0.1、0.01等)；Ai和φi分别为对应第i次谐波分量的幅值和相位；m为谐波次数最高次数。

对式(1)进行三角变换可得

Aicos(irωt)sinφi)].

(2)

定义神经网络的输入矩阵为

(3)

定义神经网络的权值矩阵为

(4)

将式(3)和式(4)的2个矩阵相乘，即

Y=XW，

(5)

(6)

得到1个m阶的方阵，取方阵中所有对角线元素之和即可得到输出向量y(t)。

通过判断误差函数的值，并经过不断训练迭代，调整权值后得到1个固定的权值向量Wf。

第i次谐波分量的频率

(7)

第i次谐波分量的幅值

(8)

由式(7)可以看到本文构建的谐波检测神经网络模型的频率分辨率高，可以测量得到谐波信号中各个频率分量(包括整次谐波和间谐波)的频率值；由式(8)可以精确检测得到各个频率分量的幅值信息。图1中，信息不是存储在1个地方，而是按内容分布在整个网络上的神经元和连接权值中。例如输入神经元节点中只包含了样本的频率和相位信息，样本的幅值信息则存储在输入层与隐藏层之间的权值中。由于神经网络具有联想记忆功能，它可以根据网络的输入信息匹配到已经存储的输出结果，若样本部分信息丢失或者产生误差，它仍能恢复出原来正确完整的信息网络继续运行，因此神经网络具有较强的容错性和鲁棒性。

1.2 基于APFFT的谐波检测原理

设原始谐波数据序列为{x(n)=ej(2πmn/N+θ),-N+1≤n≤N}，全相位预处理的步骤如下：

步骤1：列出所有包含序列中起始点x(0)的子数据，组成N个包含该点的N维列向量

(9)

步骤2：通过圆周移位，将式(9)中的每个列向量的点x(0)移到第1位，得到新的N维向量

(10)

步骤3：对准x(0)相加，得到长度为N的数据全相位输入向量

x(N-1)+(N-1)x(-1))T.

(11)

根据离散傅里叶的移位性质，式(10)中x′a的离散傅里叶变换X′a(k)与式(9)中xa的离散傅里叶变换Xa(k)之间的关系为

(12)

根据式(10)对i求和后取平均值，即为APFFT的输出：

(13)

由式(13)可知：APFFT谱的相位值θ即为中心样本点x(0)的理论相位值，与频率偏离值m-k无关，证明它具有相位不变性；因此APFFT算法可以作为高精度的相位分析仪，将输入的2N-1个数据进行APFFT运算，找到APFFT谱线图中的峰值谱线k，再计算出k的相位值，该方法得到的相位值即为x(0)的理论相位值，无论频率m的值偏离k多少，在峰值谱线处测量的相位始终正确。

APFFT谱的幅值即为式(13)的模：

(14)

由式(14)可以看到当频率m的值偏离k时，APFFT谱线处测量的谐波幅值会产生偏差。

1.3 ANN和APFFT性能对比

本节从数学角度分别介绍了基于ANN和APFFT的谐波检测原理，2种算法在谐波频率、幅值和相位方面的检测性能各有长处和缺陷。ANN在谐波检测的应用中表现出了高度的自适应性和抗噪性能，却存在局部极小化、相位检测精度低、神经网络结构选择困难的局限[17]。比如在检测复杂程度较高的谐波分量时，权值容易陷入局部最小值，导致网络训练失败；其在网络结构选择方面也存在难点：网络结构过大，则训练效率不高，还可能出现过拟合现象，使得网络逼近能力低，容错性下降；网络结构过小，又会有网络不收敛的问题[18]。APFFT在相位检测时无需附加相位校正措施，且相位检测结果十分精确，但是它仅仅是在FFT之前做了全相位预处理，依然存在频谱泄漏效应，此外还有抗干扰能力弱和谐波频率和幅值检测精度不够[19-20]的缺陷。

2 基于APFFT和ANN的谐波检测组合优化算法

基于上述理论，本文提出基于APFFT和ANN的谐波检测组合优化算法，首先使用APFFT将原始谐波信号进行预处理，得到精确的谐波相位信息，利用相位不变性来弥补ANN谐波相位检测精度不高的缺陷；APFFT得到的谱线峰值图为ANN的初始化提供依据，可以避免因网络结构选取带来的偶然性，同时减少神经网络训练所需的迭代次数，加快收敛速度；最后ANN的训练过程可以弥补APFFT存在的频谱泄漏问题，精确给出谐波中所有频率分量的频率和幅值信息。

2.1 组合优化算法步骤

步骤1：APFFT预处理。首先将式(1)中的信号进行全相位预处理，再对结果进行FFT运算，得到谐波精确相位φi,test；根据APFFT的峰值谱线图可以分析得到谐波信号中频率分量的个数和频率大致分布范围。假设频段分布范围为[m1f，m2f]，其中m1、m2分别为APFFT频谱中的最小、最大谐波次数，f为频率。

步骤2：初始化人工神经网络。以步骤1的频段分布结果为依据，设置输入层节点数n1为

(15)

式中r为谐波次数分辨率，整次谐波检测时r=1，间谐波检测时可取r=0.1或0.01。

设置隐藏层节点数n和输出层节点数

(16)

输入层到隐藏层权值初始化值W0以APFFT得到的幅值相位为依据；设置神经网络最大迭代次数D、默认学习率η、动量因子λ和误差阈值ξ。

步骤3：调整权值。权值W调整公式为

(17)

式中：W(t+1)和W(t)分别为调整前和调整后的权值；xl为第l个输入神经元的样本值；Eh为第h个输出神经元的输出误差值。

步骤4：误差判断。本神经网络的误差函数选择均方根误差(MSE)，误差函数的表达式[21]为

(18)

式中：E为误差；y(t)为神经网络输出值；x(t)为实际值；P为输入样本的组数。设置神经网络的阈值为ξ，判断及执行过程为：如果E>ξ，结果未达到误差要求，返回到步骤4；如果E<ξ，则结果达到误差要求，训练结束；如果迭代次数d=D，迭代次数已达到最大，训练结束。

步骤5：参数计算。输出神经网络训练结束时的权值Wf，结合步骤1得出的φi,test计算出各次谐波的频率fi和幅值Ai。第i次谐波的幅值

(19)

第i次谐波的频率

(20)

式中：t0为某一采样时刻；Yii(t0)为输入样本矩阵X(t0)对应在输出样本矩阵Y中的第i行第i列个元素。

综上所述，基于APFFT和ANN的谐波检测组合优化算法可以准确检测到谐波信号中所有频率分量的频率、幅值和相位信息。

2.2 组合优化算法流程

基于APFFT和ANN的谐波检测组合优化算法的流程图如图2所示。

图2 组合优化算法流程Fig.2 Flow chart of the combined optimization algorithm

3 算例分析与对比测试

将本文所提出的基于APFFT和ANN的谐波检测组合优化算法与传统APFFT和ANN的谐波检测算法性能进行对比，从而验证本文算法的准确性；对比本文算法与ANN的误差收敛拟合曲线，验证本文算法的收敛速度；通过在原始谐波信号中加入不同的噪声干扰，验证算法的鲁棒性。

3.1 APFFT预处理和ANN初始化

为了验证本文算法在0～50次基频(0～2 500 Hz)范围内的适用性，以及该算法在含有间谐波分量时的检测性能，设谐波信号中包含的整次谐波和间谐波参数见表1。设置采样频率fs=5 000 Hz，采样周波数为10，基频f0=50 Hz。

表1 原始信号谐波分量分布表Tab.1 Original signal harmonic component distribution

采用APFFT对原始信号进行预处理，从而获得：信号中所含谐波分量个数；基波和谐波精确的相位信息以及粗略的幅值、频率信息；神经网络输入层、隐藏层和输出层神经元个数和可调参数的初始值。

APFFT频谱分析的结果见表2。信号中包含基波在内共10个频率分量，频率分布大致范围为0～2 500 Hz。根据式(15)和式(16)，将输入层节点设置为1 000个，隐藏层和输出层的节点设置为500个，权值初始值以APFFT频谱分析的结果为依据，相位以APFFT检测到的初始相位为依据。设置学习率为η=0.9，动量因子λ=0.01，最大迭代次数D=100。

表2 APFFT预处理结果Tab.2 APFFT pretreatment results

3.2 无噪环境下谐波检测仿真及3种算法性能对比

分别使用APFFT和ANN这2种算法，对表1中的谐波信号在不加入噪声条件下进行MATLAB仿真实验，检测到各次谐波频率、幅值和相位的相对误差，与本文算法结果进行比较，如图3所示。

由图3可知：单独使用APFFT进行仿真得到的结果在频率方面会产生偏差，而使用ANN和本文算法检测到的谐波频率十分精准；APFFT对谐波幅值的检测性能不佳，而ANN和本文算法的幅值检测相对误差非常小；单独使用ANN对谐波相位进行检测时，得到的仿真结果与初相位相差甚远，而使用APFFT和本文算法得到的相位误差比ANN小了2个数量级。综上所述，本文算法不仅完美综合了2种算法的优势，还很好地弥补了彼此的缺陷，能实现谐波和间谐波频率、幅值和相位的精确测量，证明了算法的高精度性能；表1中信号谐波分量频率分布为0～50次基波频率，包含了谐波和间谐波，证明了算法适用范围广的特点。

图3 本文算法与APFFT、ANN算法谐波检测参数误差对比Fig.3 Comparisons of harmonic detection parameter errors of the algorithm in this paper with the APFFT and ANN algorithms

3.3 网络收敛速度仿真对比

为了验证本文算法中神经网络的收敛速度，使用ANN与本文算法分别针对表1中的谐波信号进行仿真，得到的网络误差拟合曲线如图4所示。

图4 误差拟合曲线Fig.4 Error fitting curves

从图4可以看出：经过98次迭代后，未使用APFFT预处理的ANN的输出误差收敛于1.34×10-27；而本文算法的神经网络在经过74次迭代后网络误差就稳定在1.35×10-27左右，迭代次数明显缩短。由仿真结果可知，由于经过改进后的本文算法有更快的计算速度和更好的全局搜索能力，可以有效避免陷入局部极值，迭代次数更少，收敛速度更快。

3.4 不同噪声环境下谐波检测性能仿真

为了测试算法的抗噪能力，对表1中的信号进行加噪处理，设置高斯白噪声的信噪比(signal to noise ratio，SNR)分别为10 dB、20 dB、40 dB。在含有各次谐波分量基础上设置不同的噪声条件，考察不同噪声对谐波测量方法的影响，仿真结果见图5。

图5 不同噪声条件下谐波检测参数相对误差Fig.5 Relative errors of harmonic detection parameters under different noise conditions

由图5可知：随着噪声比例增大，谐波测量的误差也随之增大；在不同噪声条件的影响下，各奇次谐波的幅值和相位检测结果精度都很高，即使在SNR为10 dB的条件下，谐波幅值检测的相对误差保持在2%以下，相位检测的相对误差也低于国家标准规定的5%[22]，证明本文算法具有较强的抗干扰能力。

3.5 本文算法的硬件实现

该算法可利用专门用于信号处理的通用数字信号处理(digital signal processing，DSP)来实现。DSP芯片既具有高速的计算性能，又专门适用于数字信号处理的指令，在信号处理速度和处理能力均能达到本文算法的硬件实现需求。本文推荐使用TI公司的TMS320C3X/C4X/C67X系列浮点DSP芯片，较其他定点芯片处理速度快、运算精度高，便于编程开发，满足谐波检测算法高精度和实时性的要求。