美国《线性代数及其应用》教材中的技术运用研究

朱树金 李童瑶

[关键词]《线性代数及其应用》;技术运用;线性代数;教材

线性代数是高等院校理工科学生重要的数学公共基础课之一，其广泛地应用于工程、技术、计算机科学、经济等领域，学生对这门课程的掌握情况将直接影响其后续课程的学习，且这门课程对培养人的逻辑思维能力、抽象思维能力、计算能力、推理能力都起着十分重要的作用。随着线性代数在以上各领域的应用越来越广，有关线性代数的研究也越来越受到重视。近30年来，国内外学者在线性代数教学中的课程内容、教学设计、学生学习等方面产生了大量的理论和研究成果[1]，但是对线性代数教材的研究相对较少。

国内的线性代数教材版本较多，各大学根据自己的实际情况指定线性代数教材，但教材内容偏向于数学理论，教育理念偏向于通识教育理念[2]，致使许多学生感受不到线性代数的实际用途，觉得课程内容枯燥、概念抽象、计算烦琐[3]，不能系统理解和掌握课程知识[4]。

1990年1月，美国正式成立线性代数课程研究小组（Linear Algebra Curriculum Study Group），对线性代数的课程大纲和教学提出了一系列指导性建议，其中就包括要在线性代数的学习中使用信息技术[5]。在这一建议下，美国出版了线性代数课程研究小组核心成员、线性代数课程现代化领导者戴维·C.雷（David C.Lay）主编的《线性代数及其应用》[6]（Linear Algebra and Its Applica?tions），该书被认为很好地体现了线性代數改革的世界潮流与方向，风靡全球并得到了很好的反响。

本文选取美国教材《线性代数及其应用》作为研究对象并进行定性和定量分析，拟解决如下问题：教材中技术运用主要分布在哪些内容？教材中技术运用的呈现方式是怎样的？教材中主要包含哪些类型的技术运用？以期对我国线性代数的教材编写与教学实施提供帮助。

一、美国《线性代数及其应用》教材技术运用的内容分布

该教材的技术运用主要体现在下面的五个内容中。

（一）介绍性实例

介绍性实例作为章前阅读材料给出，说明线性代数在其他领域中的实际应用，然后指出所给材料中的知识与当前章节的联系，每个实例中都会涉及线性方程组的大数据集，因此人们需要使用计算机来对其进行求解。

如教材第1章的介绍性实例“经济学与工程中的线性模型”中，为分析美国劳动统计局两年工作所得的25万多条包含美国经济的信息，哈佛大学教授列昂惕夫1949年使用计算机将含有500个未知数、500个方程的方程组简化为含有42个未知数、42个方程的方程组并编写程序进行求解，计算机求解56个小时得到最终答案。列昂惕夫因此获得诺贝尔经济学奖，这标志着计算机分析大规模数学模型的开始。还有教材第8章给出了经济学与工程、飞机设计、空间飞行、动力系统等领域中所具有的线性模型。

一方面，介绍性实例作为章前阅读部分可以介绍与本章内容相关的线性代数在实际应用中的知识，进而引出本章知识的学习;另一方面，介绍性实例虽然没有让学生实际使用计算机进行求解，但是其介绍了计算机求解线性代数方程组大数据集相对笔算求解的巨大优势，让学生感受到使用计算机解决线性代数问题的方便快捷。另外，作为数学文化的一部分，介绍性实例中的数学史、数学应用故事可以提高学生的学习兴趣，引起学生的探究欲望。

（二）算法总结

美国《线性代数及其应用》教材中体现了丰富的算法思想。在线性代数中存在着丰富的类似的问题，美国《线性代数及其应用》这本教材会总结解决这类问题的步骤并将其呈现出来，帮助学生进行学习。

教材中总结了行化简、用行化简解线性方程组、求相容方程组参数向量形式的解集等许多类问题的算法步骤。如在教材第1章第2节“行化简与阶梯型矩阵”中，总结了“行化简”问题的算法步骤：第一步，由最左的非零列开始，这是一个主元列，主元位置在该列顶端;第二步，从主元列中选取一个非零元素作为主元，若有必要的话兑换两行使这个元素移到主元位置上;第三步用倍加行变换将主元下面的元素变为0;第四步暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止;第五步由最右边的主元开始，把每个主元上方的元素变成0，若某个主元不是1，倍乘变换把它变成1。

一切烦琐的计算都有简明的算法步骤，一方面，写出解决一类问题的算法来表示问题解决的步骤可以让学生更好地理解数学的思想方法，帮助学生提高线性代数解题的准确性与速度;另一方面，算法总结部分可以培养学生使用算法思想解决问题的能力，体会算法思想与传统数学思想的联系与差异，帮助学生成为人工智能时代的“合格公民”。

（三）数值计算的注解

数值计算的注解在一些线性代数问题的计算之后给出，说明计算机在进行线性代数问题的计算时需要注意的一些问题，如：计算机计算采用算法的计算次数问题、计算机解决问题所采用不同算法的介绍等。

美国《线性代数及其应用》教材中数值计算的注解数量很多，如在第1章第2节介绍行化简算法时给出向前步骤和向后步骤所需要的计算次数公式：一般行化简算法中向前步骤比向后步骤需要更多的运算，解方程的算法通常需要通过浮算来衡量（一个浮算就是两个浮点实数进行一次加减乘除的算术运算），对于一个n ×（n + 1）矩阵，化简为阶梯型大约需要n33 + n22 - 7n6 次浮算，而进一步化为简化阶梯型大约最多需要n2 次浮算，让学生学会计算计算机解决问题的运算次数。

又如在第3章1节“行列式介绍”中介绍了使用余因子展开式求解行列式所需要的运算次数，对于计算n × n行列式余因子展开式需要计算超过n！个乘法运算，计算一个25 × 25行列式近似需要25！ = 1.5 × 1025 次乘法运算，用这种方法计算将需要50万年的时间。在第3章第2节“行列式的性质”中介绍了使用行变换计算行列式所需要的运算次数，使用行变换计算n × n 行列式大约需要n33 次算术运算，计算一个25 × 25 行列式仅需大约10000次运算，任何现代微型计算机都可以在不到1秒钟时间内完成计算。通过计算机不同算法所需要的运算次数对比，让学生学会从计算机的角度选择合适的算法。

通过数值计算的注解可以帮助学生了解计算机在进行数值计算时所应该注意的一些问题，了解计算机科学家和数学家如何从计算机的角度出发设计出更快、更可靠的线性代数的数值算法。

（四）正文中介绍性文字

教材在正文部分有少量的关于技术运用的补充说明，以帮助学生更好地理解知识的概念与用途。

如在第1章第2节“行化简与阶梯型矩阵”中比较了求解增广矩阵已经是阶梯型但不是简化阶梯型的方程组的两种算法，第一种矩阵算法即行化简算法的向后步骤，求出它的简化阶梯型然后求解，第二种回代法为先解最后一个方程，再将得到的表达式代入倒数第二个方程，以此类推最终得到所有解的表达式，并说明两种算法所需要的算术次数相同，但是矩阵算法通常减少了手算时出错的可能性，因此建议手算时使用简化阶梯型来解方程组，计算机通常会使用回代法求解。又如在第3章第3节“克拉默法则、体积和线性变换”中在克拉默法则定理的旁边说明：它（克拉默法则）被用来研究Ax=b的解受b中元素的变化而受到什么影响，但是这个公式对手动计算没有太大效果，除非是2×2或3×3矩阵。这说明了克拉默法则的用途，让学生对克拉默法则有了更深的理解。

正文中与技术运用相联系的介绍性文字会从信息技术的角度对知识点进行扩展，说明知识点在信息技术中的应用，这能让学生更好地理解知识的概念与用途。

（五）习题

在习题中会有大量标有[M]的习题，表示需要使用矩陣软件来进行解题。但是没有指定确定的矩阵软件，学生可以根据自身实际条件和题目特点选择合适的软件进行解题，具体的矩阵软件类型及如何使用在下文技术工具里面会有介绍。

这些习题中既有笔算和矩阵软件都可以解决的问题，如确定下列矩阵是否可逆矩阵：

也有问题复杂适合通过矩阵软件解决的问题如：设An 为n × n 矩阵，主对角线各元素为0而其他元素为1，对n=4，5，6计算A-1 n ，对值更大的n提出关于一般的A-1 n 的猜想。

一方面，使用数学软件可以让学生不再在低级的四则运算上耗时间，而在更高的层次上思考解题的路线，体会到数学软件的方便快捷的同时更好地解决问题;另一方面，使用数学软件可以解决一些数值较大、较复杂的问题和一些探究性的问题。

二、美国《线性代数及其应用》教材技术运用的内容分布

教材中包含8 个章节，共计492 页（除去附录和答案），栏目设置有介绍性实例、引入、数值计算的注解、注释例题、练习题、课后习题、章节补充题等。借鉴王建磐等人教材中数学文化的栏目分布[7]，将上述栏目分为非正文、正文、例题、习题，结果如表1所示。

由表1可得，该教材技术运用的总量相当丰富，多达272处，习题部分技术运用的比例最高多达74.63%，这体现出教材注重培养学生使用计算机软件解题的能力，且设有供学生自主学习的网络平台帮助学生学习计算机软件的使用;教材例题部分使用计算机软件的题目很少，大部分都是手动计算，更加注重呈现手动计算的过程;非正文部分和正文部分技术运用的数量同样很多，这体现出教材注重信息技术融入的特点，非正文部分主要包括技术运用的内容分布中介绍性的实例和数值计算的注解，正文主要包括算法总结和介绍性的文字。总体来说，美国《线性代数及其应用》教材中技术运用的栏目分布较为均衡，但是否应该在例题中融入信息技术值得人们进行深入研究。

三、美国《线性代数及其应用》教材使用的技术工具

该教材中并未指明信息技术的类型，标有符号[M]的习题说明该题需要借助矩阵软件进行求解，但是软件的选择需要学生根据条件和题目特点自行选择，包括计算机软件如MATLAB、Maple、Mathematica、MathCad、De?rive等，或者具有矩阵功能的可编程计算器。

另外，教材配备有可供学生自主学习的网络平台。网络平台中详细介绍了如何使用MATLAB、Maple和TI图形计算器等软件，解释如何使用这些软件，并且教材中的900多道数值计算题、案例研究和应用项目网站上都提供了数百个相应的数据文件，这些文件以多种格式储存分别用于MATLAB、Maple、TI图形计算器等，学生只需要进行少量的键盘操作就可以得到矩阵和向量，从而减少了输入数据的错误并可以节省时间。

四、结论与启示

目前我国高等教育的发展已由规模扩张转向质量提高，强调本科毕业生的创新能力、使用工具解决实际问题的能力，大学线性代数的教学实践与教材编写面临前所未有的机遇与挑战。本文对美国《线性代数及其应用》教材中的技术运用进行分析，得到的启示如下。

（一）合理使用信息技术

中美两国在数学教学理念上有很大差异，中国侧重大脑独立于计算机的前提下尽可能多地储备知识，美国强调大脑在充分利用计算器的前提下，只发展那些属于计算机无法工作的领域所需要的能力[8]。以培育创新型人才著称的美国教育，非常注重学生对技术工具的运用，这在其线性代数的教材中可见一斑。

随着教育与技术的不断发展，技术的运用与普及在我国也逐渐实行起来，但是经济因素也制约着信息技术的运用，一台图形计算器的价格在1000元左右，实现人手一台并不现实，学生的主体性大多只能在课堂上经过教师的二次加工得以实现，这并不利于学生创新能力和实践精神的培养。

徐斌艳提出，计算机的视频、音频、动态性等功能，丰富了数学概念的多元表征，也丰富了学生表征自己建构数学概念过程的工具系统[9]。现代科技的应用可以使学生从繁杂的计算中脱离出来，把注意力集中在决策过程、反思、推理和问题解决上[10]。

Sierpinska 等人发现，计算机环境下的任务操作可以帮助学生发展对线性变换的动态理解，但却阻碍了学生理解线性变换是将一般的向量映射到它的象，将思想固着于线性变换的具体例子。信息技术是一把“双刃剑”，教师必须慎重决定是否、何时、怎样使用信息技术，教材的编写也要合理设置信息技术的比重与质量，如何合理使用信息技术是今后需要努力的方向[11]。

（二）渗透算法思想，培养智能计算思维

图灵奖得主Edsger曾说：“我们所使用的工具影响着我们的思维方式和思维习惯，从而也将深刻影响着我们的思维能力。”[12]随着人工智能时代的到来，智能计算思维（Computational Thinking，简称CT）被明确地视为21世纪的关键技能，是信息化社会中数字公民所应该具备的基本素养。据美国计算机科学教师协会（Associationof Computer Science Teachers， CSTA）的报告，2020年会产生920万与STEM有关的工作，其中一半都与智能计算思维紧密相关[13]。

2011年美国国际教育技术委员会（International So?ciety for Technology in Education）联合计算机科学教师协会（Computer Science Teachers Association）给出了智能计算思维的一个操作性的定义：“智能计算思维是一种解决问题的过程，该过程包括明确问题、分析数据、抽象、设计算法、评估最优方案、迁移解决方法六个要素。”美国的《线性代数及其应用》教材是当前数学教材中为数不多的渗透智能计算思维的教材，数值计算的注解部分从计算机的角度分析数值计算过程，算法总结体现了丰富的算法思想，正文中也会涉及算法的比较与优化的问题，这些都和智能计算思维密切相关。

蔡金法和徐斌艳（2016）首次提出将智能计算思维作为数学核心素养纳入数学课堂教学之中[14]。数学课程的教学实践和教材编写都应该有意识地训练学生的智能计算思维，让学生既可以用数学的思维解决问题，又能以计算机的思维解决问题，并能够充分认识到人的思维过程与计算机自动化过程之间存在的共性与差异，借助计算机来解决问题[15]。

（三）开发建设可供学生自主学习的网络平台

美国重视学生的合作学习、自主学习，提倡E-lear?ing的学习方式，2010年11月，美国时任总统奥巴马颁布了其任期内最新一轮《国家教育技术计划》（NETP），提出“用技术支持的学习模型”，要保证所有的学生和教师都有足够的宽带访问因特网，并提出大力开发开放性教育资源。而我国的网络平台建设相对缺乏，网络资源更多是面向教师，可供学生自主学习的网络资源较少，这对学生的发展相当不利。

从20世纪50年代开始，自主学习成为教育心理学研究的一个重要课题，维果斯基学派、操作主义现象学派、社会认知学派等都从不同角度对自主学习進行了一些探讨并给出积极评价。采用网络环境下的自主学习平台可以很大程度上提高学生的学习兴趣，激发学生的学习热情。由于网络不受地点时间的限制，学生可以方便地在任何时间地点进行交流，但是这样的网络学习环境对学生的监控尚有不足，这也是人们在开发网络教育平台时应该注意的问题。