图论及其应用课程混合式教学改革探索

邓凯 朱立军

[关键词]图论及其应用课程;混合式教学;教学改革

一、图论及其应用课程的特点

图论以集合元素间某种二元关系生成的拓扑图形为研究对象，集合中的元素叫作图的顶点，两个顶点之间连边当且仅当它们具有二元关系。任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图论的方法来分析，而且它具有形象直观的特点[1]。许多问题常常难以应用传统的数学方法解决，然而简单的图论模型却能直观地解释这些问题，并由此给出解决问题的方法或途径。一个著名的例子就是欧拉1736 年解决的哥尼斯堡七桥问题，该问题也被公认为是图论学科的起源。社会生产对一门学科的需求程度才是这门学科发展快慢的决定性因素[2]，由生产管理、交通运输、通信网络、计算机科学等方面的需要而提出的一系列问题促进了图论的发展。特别是20世纪50年代以来，计算机科学的迅速发展使得大规模计算成为可能，图论学科也随之蓬勃发展，其标志性事件就是四色猜想的计算机证明。经过200多年的发展，图论已经发展成为一个理论与应用兼有的数学领域[3]，在自然科学和社会科学研究中有着广泛的应用，因此许多大学为数学和计算机等相关专业本科生开设了图论及其应用课程。

图论是离散数学的一个分支，它有自己特有的理论和研究方法，是其他数学分支所不能代替的[1]。图论及其应用课程中需要学习的概念和结论较多，几乎每节课都有新的概念引入，教学内容常常被分成独立的专题形式，例如树、平面图、染色、匹配、欧拉图与Hamilton图、网络流等，这也是图论“离散”的表现。图论也是基础数学当中很抽象的部分[2]，然而图论问题都有直观形象的图形表示，但是必须用严谨的数学语言进行表述和推导，其中蕴含了深刻的数学理论和结果，许多问题都是公开的数学难题，例如同构图的判定、四色定理的数学证明、色数的确定、Hamilton图的刻画等。图论与实际问题的紧密联系使得它的另一个特点是交叉融合应用性强，大量算法的出现是这个特点的集中表现，例如最短路算法、深度优先算法、广度优先算法、平面性判别算法、最优树算法、最佳匹配算法、网络流算法等。这些算法是图论及其应用课程教学中不可忽视的重要内容，对培养学生的应用能力和创新能力大有好处。

由此可見，图论及其应用课程具有三个显著的特点：内容多且离散、表象简单内里复杂、交叉融合应用性强。

二、图论及其应用课程的教学现状

图论及其应用课程的教学目的是使学生理解和掌握图论的基本概念和思想，会运用图论方法分析和解决实际或理论问题，基于课程学习培养一定的实践和创新能力。笔者在教学实践中有这样一些体会，内容多且离散的特点使得图论课上需要介绍的定义或概念较多，解决问题的办法和定理的证明方法适用范围小，不能统一概括，上课时需要不断引入新概念和解释新问题，留给学生思考和消化的时间较少，师生互动少。课后不少学生反馈课堂的信息量太大不易接受。传统的改进方式是要求学生在课下完成一些简单基础概念和知识点的学习，课上以启发式教学和探究式教学为主引导学生完成课程学习，但是由于学生学习基础差异大、自主学习能力有限以及缺乏有效监督和师生互动少等原因，教学效果不佳。

许多图论问题源于数学游戏和实际问题，建立图论模型后变得直观易懂，不需要大量的预备知识也能理解，这也是图论最吸引人的地方。这种表象简单的特点，有利于引入概念或问题，激发学生的学习兴趣。但是解决一般性的问题往往需要深刻的数学理论支持，因此要用严谨的数学语言概括或抽象表述成定义、定理或结论，进行严格的推理和证明，用数学的思维方式教数学比较适合这部分的教学[4]。然而，相应的课程难度也会增加，例如讲解染色时，四色问题作为重要且有趣的引入实例能很好地激发学生的学习兴趣，很多学生跃跃欲试，但是后继学习中染色问题的困难程度及其独特的思考方式和证明方法，使得学习难度加大，课堂又变成“老师讲，学生听”的模式。课程内容表象简单内里复杂的特点容易形成反差，打击学生的学习积极性，影响教学效果，怎样解决此类问题是值得思考的。

交叉融合应用性强是图论学科的重要特点，教学中应该有所体现。仅简单地介绍交叉应用的大方向，而不深入讲解具体内容，给人的感觉是“意犹未尽”，没有完成教学任务，但是面面俱到地讲解应用的各个方面也不可行。现行的做法是挑选几个应用专题深入学习，但是讲解大都是以实际问题建立图论模型为基础的数学理论学习，而关于其他学科的需求和发展及其对图论发展的影响和推动介绍得较少。例如在匹配问题的教学中，必要的基础理论学习通常包括Berge 定理、Hall 定理、K?nig定理和Tutte定理，应用方面主要介绍求最大匹配的匈牙利算法、求最佳匹配的KM算法和一般图上求最大匹配的开花算法等。有关匹配在其他学科中的交叉应用，以及这些学科如何促进图论的发展等问题在课堂上没有体现或仅仅只是泛泛地提及，学生听完课只知道匹配的应用背景很强，但是不清楚其具体情况，因此感觉很“空洞”。有关图论算法的讲解也多限于理论分析，相关教学常常注重算法正确性的证明和算法复杂性的分析，缺乏应用实践方面的学习。

综上所述，“教师+课堂”的传统教学方式不能有效解决教学实践中所反映出来的一些问题。下面讨论将混合式学习引入图论及其应用的课程教学中，探索有效的教学方式，以期提升教学质量。

三、基于混合式学习的图论及其应用课程教学

随着信息技术的不断发展，以“互联网+”为基本特征的学习模式使得知识获取的方式发生了根本性的变化，教与学不再受时间、地点、人员等条件的限制，教育教学模式正在经历深刻的变革[5]。大学课程教学改革的中心已经从教学方法的改进转向教学模式的改变[6]，混合式教学是技术提升教育的必然发展方向，是有效解决教学难题的最佳选择[7]。教育过程信息化改革是教育信息化的核心构成，混合式教学成为稳步推进教学信息化进程中一个具有现实性和必要性的选择与过程[8]。何克抗指出，混合式教学就是把传统学习方式的优势和网络化学习的优势结合起来，也就是既要发挥教师引导、启发、监控教学过程的主导作用，又要充分体现学生作为学习过程的主体的主动性、积极性和创造性[9]。李逢庆认为，混合式教学是在适当的时间，通过应用适当的媒体技术，提供与适当的学习环境相契合的资源和活动，让适当的学生形成适当的能力，从而取得最优化教学效果的教学方式[10]。

因此，笔者尝试将混合式学习引入图论及其应用课程教学，探索网络教学与课堂教学有效结合的方式，综合运用多种教学方法引导学生自主学习，通过多种途径提高教学质量。

（一）网络学习

1. 精心准备教学资料，优化教学内容

网络学习的主体是学生，其实施过程是教师依据教学目标设定学习内容，引导学生开展自主学习。认知科学家的研究表明，主动学习是促进知识由短期记忆转化为长期记忆的最佳方式[11]。但是，数学类课程内容并不是全部都适合自主学习[12]，因此要钻研教学内容，结合学生实际，选择适合学生自主学习的基础知识，将教学内容分解成相对独立的知识点，根据教学需要制作精简易懂的短视频或学习材料。例如学习图的基本概念时，可以考虑将教学内容分解成三个主要的知识点即图的定义、度和定理、图的同构，引导学生围绕这三个方面展开自主学习。学习资料既要利用图论形象直观的特点激发学生的学习兴趣，又要遵循数学学习的一般规律注重严谨的描述和推理。利用视频资料可视化的优点，演示一个画图的动态过程，引起学生的兴趣，再展示一些有趣的图，然后引出图的严格数学定义。这样的安排既可以避免用特殊图示代替严格图定义的学习误区，又可以加深学生对由顶点集、边集和关联函数构成的三元组确定的严格的图定义的理解，从而使学生意识到图论中的图仅关注顶点之间的连接关系，对顶点的位置、边的长短曲直不做要求，为后面学习图的同构概念做好铺垫，学生也能感受到知识点之间潜在的联系，有利于使学生产生更多的联想和思考。

只有在学习者承担了合适的任务，并知道应该怎么做的时候，有效的学习才会发生[13]。因此教师要针对学习内容设计难度适当的练习。练习不仅可以帮助学生自查学习效果，促进知识的理解和吸收，也可以反映学生的学习情况，为教师后续的课堂设计提供参考，弥补不足。练习的设计应充分利用图论的趣味性，吸引学生积极参与练习。例如学习度和定理之后可设计这样一个问题：在某次宴会上，与奇数个人握手的人数必定是偶数。对初学者来讲，理解这样的问题是有一定难度的，此时可以设计简单的提示环节，引导学生将参加宴会的人抽象成顶点，连边由握手关系而定，建立图论模型，再应用度和公式解决问题。由此提出“握手定理”，这种形象的名称有利于进一步加深学生对度和定理的理解。

针对图论及其应用课程内容多且离散的特点，通过合理安排网络学习，利用过程性评价等监督方式，引导学生完成基本的定义和概念的学习，认识常用的数学符号，熟悉基本定理和结论，为后续的课堂教学打好基础。

2.利用网络平台开展有效的师生互动

利用网络平台不受固定时间和地点限制的优势，采取有效的方式鼓励学生提问或发表个人见解，通过网络互动的方式发挥课堂“面对面”教学模式的优势。通过有效的互动，全面了解学生的学习情况，尊重个体差异，因材施教。利用网络平台进行个性化的指导，激发学生的学习兴趣，使学生意识到图论及其应用课程表象简单内里复杂的特点，逐步从记定义—证定理—做练习的被动学习模式转变成发现问题—分析问题—解决问题的主动学习模式。

3. 拓展教学内容范围，实现深层次学习

传统的课堂教学难以反映图论学科动态发展的特点，教学内容陈旧跟不上学科的前沿进展，教学大纲设定的专题学习内容较少且多以理论介绍为主，算法应用实践少，学习层次较浅。网络学习为拓展教学内容范围提供了条件，为实现深层次学习提供了资源。拓展教学内容不是简单把大量学习资料上传，其目的是丰富学生的知识体系，帮助学生更好地了解图论的研究背景和发展状况，提升学生的学习兴趣。在丰富网络学习资料的基础上，教师作为教学的主导者，应该引导学生学习与知识点密切相关的学习资料，以便于学生把教学内容与阅读材料有机地结合起来，提高学生自主学习的积极性，激发学生阅读更多文献资料的兴趣。

网络学习不能仅限于拓展学习内容范围，不能只是简单地阅读资料而停留在浅层次的学习水平。教师可以根据学生的学习情况进行个性化指导，选择合适的专业学习资料推荐给学生，引导学生深入自己感兴趣的某个方向继续学习，并随着学习的深入和学习能力的提高，具备自己查阅文献资料研究科学问题的能力，进而结合毕业论文、大学生创新项目、参与教师科研项目、算法设计等学习活动，提升学生的创新能力和应用实践能力，达到培养高素质人才的目的。

（二）课堂教学

1. 将课堂教学与网络学习有机结合起来，提升教学质量

根据学生网络学习情况，教师要设计符合实际的课堂教学环节，提前公布课堂教学活动安排和讨论主题，让学生做好充分准备，带着问题进入课堂。通过网络学习，学生对课堂教学中涉及的基础知识已经有所了解，因此课堂教学中可以不展开讲这些知识点，但是教学实践表明学生对一些基础知识的理解仍然较浅。教师应该根据自己的教学经验，进一步强调这些内容，这个过程不是简单重复网络学习的内容，而是引导学生加深理解，提升思维的层次，使学生确实意识到自己的不足，激发学生课堂听课的兴趣和积极性。例如课堂教学要强调图的数学定义，因为图示直观形象的特点，容易使学生对图的学习只是限于表面的观察，而忽略了对图的数学定义的思考，导致对图的拓扑性质缺乏理解。图论学习中有不少类似的情况，教师要结合自身的教学经验，将课堂教学和网络学习有机地结合起来，使学生更好地理解和掌握所学知识。

2. 选讲学习的重难点，注重学生专业思维培养

通过网络学习，学生已经熟悉了课程学习的基本内容、数学符号、主要结论和证明。因此在课堂教学中主要强调学习重点，解决学习中的难点，引导学生理解知识以及发现知识点之间的内在联系，勤思考，多总结，以期达到融会贯通的效果。

一些定理的证明是学习的难点也是重点，是培养学生逻辑思维能力和创新能力的有效途径。教学实践表明，数学证明的自主学习效果往往不佳，因此必须结合学生的学习情况，在课堂教学中选讲一些重要的和难学的证明。学生常常直接阅读定理的证明，忽略发现问题和分析问题的环节，直接跳到解决问题的环节。学生虽然知道了定理证明的具体内容，感觉似乎明白了，但是由于没有经历探索和思考的过程，一旦独自处理问题就会不知所措。教师在课堂教学中要讲明白一个定理的来龙去脉，即讲清楚该定理是怎么发现的，有什么实际背景，如何把实际观察到的规律抽象表述成定理，深入分析可以应用哪些公理、定义或已知结果进行逻辑推理严格证明，最后说明该定理的意义及应用。教师通过这样的方式，引导学生体会发现问题—分析问题—解决问题的完整的探索过程，从而提升逻辑思维能力和创新能力。需要注意的是，图论的一些结论的证明有很强的技巧性，难度大，不易理解，教师要认真梳理证明思路，将问题转化成有逻辑联系的若干小结论，按照一定的证明主线，应用恰当的教学方法逐步进行讲解，并板书证明的过程。

3. 高效组织课堂，重视师生交流

课堂组织是教学的一个重要方面，混合教学模式下教师作为教学的主导者，除了要合理安排课堂学习内容，更重要的是要组织引导学生积极主动地参与学习，增强学生自主学习的意识。分组学习是一种简单有效的课堂组织形式，不仅便于教师组织教学，而且有利于学生之间进行协作与交流，开展现场教学。例如学到“握手定理”时，可以设计现场实践活动，请每个学习小组内的学生之间随意握手，并将握手结果转化成相应的图示。因为学生已经知道握手定理的结论，所以自然会观察到奇度顶点的个数总是偶数。教师可以参与到每一组中与若干学生握手，有意识地与奇数个或偶数个学生握手，让学生得到新的图示，教师再进一步引导学生将实际观察到的规律凝练成数学结论，利用度和定理给出严格的数学证明。这样的实践过程既可以锻炼学生的逻辑思维能力和实践创新能力，可以增进学生与学生之间、学生与老师之间的情感交流，拉近师生距离，营造良好的学习氛围，有利于很好地激发学生的学习兴趣，同时提升教学效果。

网络学习不能完全替代教师的课堂教学[10]，面对面课堂教学中学生与学生、教师与学生之间的情感交流是网络学习所不具有的优势。课堂教学活动中教师所表现出来的个人魅力、学术能力、情感表达等方面都对学生的学习有着很大影响，正所谓言传身教。教师与学生之间的讨论、对话以及学习经验和方法上的交流，包括教学管理与监督等各个方面都有情感交流。随着教学的深入，师生之间会产生一些思想上的共鸣，有利于提升学生的学习兴趣和积极性，激发教师的教学热情，形成教学相长的良好氛围。

四、结束语

笔者结合自身的教学体会，总结了图论及其应用课程的突出特点及教学现状，指出了教学实践中遇到的一些问题。在遵循图论学科规律的前提下，将混合式学习引入图论及其应用课程教学中，结合实际提出了解决一些教学问题的有效方法。混合学习模式的选择要兼顾教师施教和学生学习的具体需要，找到混合学习介入的合理依据，体现传统课堂讲授与在线学习的优势互补[14]。作为一线教师，我们既是教育改革的实践者，也是教学模式创新的探索者，探索采取有效的教學方式来提升教育质量和人才培养质量是永远不变的追求。