不同插值算法在数学模型地形概化中的应用研究——以滹沱河高标准行洪区行洪通道规模研究项目为例

□张 昊 杨艳玲 赵子岳 赵 伟 韩姝娴

插值可以根据有限的样本数据点预测栅格中的像元值，可以预测任何地理点数据（如高程、降雨、化学物质浓度等）的未知值。常用的插值算法有克里金法、反距离权重法、含障碍的样条函数、样条函数法、自然邻域法、趋势面法等，各种插值算法均能根据有限测量样本数据点实现插值功能，但基于各算法内在属性，插值成果各有优劣。

利用一二维耦合数学模型进行洪水演进的分析，对模型模拟范围内地形插值是必不可少的关键步骤，而插值后地形场文件的精度对水位、水深、流速等计算成果影响较大，因此根据测量数据的精度及研究区域的具体情况合理选择插值算法具有一定的推广应用价值。插值示意图见图1。

此文以滹沱河（南水北调—机场路）高标准行洪区为研究对象，利用MikeFlood、Arcgis、Surfer 等 插 值 软 件，通过采用不同插值算法对该区域地形场文件进行插值研究发现，平原区域河道高标准行洪区（分洪区）制作地形场文件时，根据测量数据特点进行合理分区，对插值算法进行组合应用可得到较为合理、准确度较高的插值结果。

1.插值算法简介

图1 插值示意图

高程数据插值作为空间数据内插的一个重要方面，在二维数学模拟、地形图dem 制作中均有着广泛的应用。而高程插值方法也已经成为一个重要研究方向。目前可采用的插值算法种类较多，可选用的工具软件也较多，此文主要借助Mike、Arcgis、Surfer 三款软件，选取反距离权重法、自然邻近插值算法、克里金法进行研究。

利用Arcgis 工具箱进行插值时，还可利用障碍选项，指定将中断表面连续性的线状要素的位置。例如行洪区域内的堤坝、道路等线状阻水构筑物，以期剔除其对插值产生的不良影响，障碍要素作为折线要素输入即可。

1.1 反距离权重法

使用一组采样点的线性权重组合来确定像元值。权重是一种反距离函数。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小，主要依赖于反距离的幂值，幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细，随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。缺点在于由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。若采样对于正在尝试模拟的本地变量来说足够密集，则基于反距离权重法会获得最佳结果。

图2 网格剖分示意图

图3 模型区域实测地形数据分布示意图

1.2 自然邻域法

该方法可找到距插值点最近的输入样本子集，并基于区域大小按比例对这些样本应用权重来进行插值。该方法的基本属性是具有局部性，仅使用插值点周围的样本子集，且保证插值高度在所使用的样本范围内。该方法不会推断趋势且不会生成输入样本尚未表示的山峰、凹地、山脊或山谷，但插值生成表面将通过输入样本且在除输入样本位置外其他位置均是平滑的。所有点的自然邻域都与邻近Voronoi（泰森）多边形相关。相比之下，基于距离的插值器工具（如反距离加权）会根据距插值点相同的距离为最北部点和东北部点分配相同权重。而自然邻域法插值会根据重叠百分比为其分别指定权重。

1.3 克里金法

通过一组具有z 值的离散点生成插值表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。假定采样点之间的距离或方向可以反映可用于说明表面变化的空间相关性。可将数学函数与指定数量的点或指定半径内的所有点进行拟合以确定每个位置的输出值。在反距离权重法中，权重λi 仅取决于预测位置的距离。而使用克里金方法时，权重不仅取决于测量点之间的距离、预测位置，还取决于基于测量点的整体空间排列。

2.实验分析

2.1 研究区域概况

研究范围西起南水北调、东至机场路，南北分别以滹沱河南堤和石黄高速为界，本段滹沱河河段全长约24km，为石家庄“一河两岸”规划的核心地带。防洪标准北堤为100 年一遇，南堤为50年一遇。中心城区段滹沱河超标准洪水将在右堤以南、石黄高速以北区域行洪，以石黄高速作为中心城防洪的第二道防线。

考虑洪水自滹沱河河道分洪后顺地形地势的演进情况，二维模型模拟区域（地形插值区域）以滹沱河规划右堤堤线位置作为北边界，石黄高速公路为南边界，西边界为南水北调总干渠，东边界到深泽县省道233。右堤至石黄高速之间模型计算范围面积约为321.2km2。计算区网格拟采用不规则三角形网格进行剖分，对于模型区域内堤防、道路沿线重点计算区域，确定公路、堤防的长度、高度等技术指标，要求模拟精度较高，采用局部加密的方法，网格划分最大面积不大于0.01km2。计算区域内网格划分共计30832 个，计算节点16388 个。网格剖分示意图见图2。

2.2 地形数据

对各计算分区进行网格剖分后，为满足地形插值的需要，对关键区域采用1∶1000、1∶2000 高程数据，其余非核心区域采用1∶10000、1∶50000 地形图进行 网 格 高 程 插 值。其 中1∶1000、1∶2000 提取高程点75000 个，其余比例尺高程点据18000 个。

2.3 插值精度评价标准

此次选用误差M、标准差R、相对误差分布3 个评价指标进行精度评价。模型区域实测地形数据分布示意图见图3。

2.4 插值结果对比分析

在利用反距离权重法插值前，根据采样点集合，利用加权函数计算插值权重。选取核心区域内实测点据高程值作为X 轴，不同插值算法插值出的高程值作为Y 轴，建立正交坐标系，得到3种插值算法的正交坐标图见图4—图6。

自然邻域法和反距离权重法与实测高程点据拟合程度更好，拟合曲线基本从点群中心穿过，偏差相对较小，首尾点据也有所兼顾，而样条函数法偏离点群位置相对较大，整体效果不如前二者，与自身特性以及实测数据精度有关，即前二者仅使用插值点周围的样本子集，且保证插值高度在所使用的样本范内，即便插值表面不够平滑，实测数据点集在插值时也得到了充分的考虑。若采样对于正在尝试模拟的高程变量来说足够密集，则会获得最佳结果。

图4 反距离权重法

图5 自然邻域法

图6 克里金法

表1 不同插值算法误差统计表（全区域）

对3 种插值算法分别计算其中误差与标准差，计算成果见表1。由表中数据可知，对于整个行洪区域，自然邻域法插值误差最小，反距离权重法次之。

相对误差的分布能够直接体现插值效果，3 种插值结果的相对误差分布见图7—图8 所示。自然邻域插值法结果相对误差主要集中分布在0.5% 附近，反距离权重法集中分布在0.5%～0.8%之间，克里金法则在0.5%～1.2%之间均有分布，集中分布在0.5%、1%附近。

3.结论

通过对滹沱河高标准行洪区地形插值的研究，对平原区河道高标准行洪区（分洪区）地形插值算法提出优先推荐方案。

反距离权重法以插值点和样本点之间距离作为权重进行加权平均，离散点距插值点越远，影响力越小，甚至完全没有影响力。自然邻域法具有局部性，不会推断趋势，仅使用插值点周围的样本子集，并保证插值在使用样本范围内。行洪区处于平原区域，坡度相对较缓，对于实测高程数据较为密集、采样较均匀的区域，可优先采用自然邻域法或反距离权重法进行插值，虽然实测数据邻近插值表面未必特别平滑，但整体来看，对于真实地形的插值效果相对最优，插值误差相对较小。克里金插值算法考虑了实测点与插值点的位置关系，且考虑了各实测点间的相对位置关系，采样均匀时插值整体效果不如前两者，但在模型网格尺度较小、地形数据相对稀疏的区域，所插值表面较为平滑，效果反而比反距离权重等方法要好。

对于研究范围较大的区域，可以根据实测数据采样精度、数学模型网格尺度划分不同片区，采用多种插值算法分区域组合插值的方法。

利用误差、标准差、相对误差等指标图、表可以量化各种插值算法插值成果的优劣，对研究区域插值算法的最终选用具有一定指导意义。□

图7 不同插值算法相对误差分布图

图8 不同插值方案比选后采用成果图