非齐度量测度空间上奇异积分算子的Lipschitz交换子

崔洪艳，赵 凯

(1.青岛黄海学院数理教学部，山东 青岛 266427；2.青岛大学数学与统计学院，山东 青岛 266071)

0 引言

虽然双倍条件在调和分析理论中起着重要的作用，但是近年来的许多研究结果表明，在非双倍条件下，Rn上许多经典的函数空间理论和奇异积分算子有界性的结果依然成立.[1-4]

文献[5]引入了一类同时满足几何双倍条件和上双倍条件的非齐度量测度空间，这类空间实际上包含了齐型空间和非双倍测度空间.文献[6-7]引入了非齐度量测度空间上的Hardy空间，并讨论了此空间的等价刻画和奇异积分算子的有界性.关于非齐度量测度空间奇异积分算子及交换子的有界性问题也被许多作者关注[8-13].文献[14-15]对Herz型空间的研究取得了丰硕的成果.基于上述结果，2018年，文献[16]引进了非齐度量测度空间上的Herz空间和Herz型Hardy空间，讨论了其等价刻画和相互关系，并研究了Calderón-Zygmund算子的有界性问题.

自1965年Calderón[17]研究交换子以来，交换子理论备受关注，取得了丰富成果[10-12，18-20].基于齐型空间的结果，本文主要在非齐度量测度空间上，讨论Calderón-Zygmund算子和广义分数次积分算子与Lipschitz函数生成的交换子在Morrey-Herz型空间的有界性问题，证明了这两类交换子都是Morrey-Herz空间上有界的.

1 基本概念和理论

定义1[16]设(X，d)是一个度量空间.如果存在某个正整数N0，使得对任意的球B(x，r)⊂X，其中x∈X，r∈(0，∞)，都存在至多N0个球{B(xi，r/2)}i构成B(x，r)的一个覆盖，则称度量空间(X，d)是几何双倍的.

定义2[5]如果μ是X上的Borel测度，并存在一个控制函数λ：X×(0，∞)→(0，∞)，使得对每一个x∈X，λ(x，r)关于r都单调不减，且存在一个依赖于λ的正常数C(λ)，使得对任意的x∈X和r∈(0，∞)，有

(1)

则称度量测度空间(X，d，μ)是上双倍的.

(2)

非齐度量测度空间(X，d，μ)是既满足几何双倍条件又满足上双倍条件的度量测度空间.以下总假设(X，d，μ)是一个非齐度量测度空间，并且控制函数λ满足(2)式.

定义3[5]令a，β>1，若μ(αB)≤βμ(B)，则球B⊂X被称为是一个(α，β)-倍球，其中对于所有的球B∶=B(cB，rB)和ρ∈(0，∞)，ρB∶=B(cB，ρrB).

定义4[5]设η>0，若对所有的r∈(0，2diam(X))和a∈(1，2diam(X)/r)，存在一个只依赖于a和X的常数C(a)>1，使得对于所有的x∈X，λ(x，ar)≥C(a)λ(x，r)，并且

(3)

则称控制函数λ满足η-弱逆倍条件.

易知，若η1<η2，λ满足η1-弱逆倍条件，则λ也满足η2-弱逆倍条件.

(4)

其中

(5)

定义7令β∈(0，1].函数f：X→C称为属于Lipβ(μ)，如果

(6)

或者

(7)

2 奇异积分算子及主要结果

定义8[9]如果存在一个正常数C(K)，使得：

(ⅰ) 对于任意的x，y∈X，x≠y，

(8)

(9)

(10)

则称T是非齐度量测度空间上的一个Calderón-Zygmund算子.

关于非齐度量测度空间上Calderón-Zygmund算子有界性问题可参见文献[9].下面是Calderón-Zygmund算子有界性的一个重要结论：

引理2[9]假设(X，d，μ)是一个非齐度量测度空间，T是一个Calderón-Zygmund算子，则以下几种情况是等价的：

(ⅰ)T在L2(μ)上是有界的；

(ⅱ) 对于q>1，T在Lq(μ)上是有界的；

(ⅲ)T是L1(μ)到弱-L1(μ)有界的.

(ⅰ) 对于任意的x，y∈X，x≠y，|Kσ(x，y)|≤CKσ[λ(x，d(x，y))]σ-1；

则称Tσ是非齐度量测度空间上的一个广义分数次积分算子.

引理3[10]设Tσ是非齐度量测度空间上的一个广义分数次积分算子，0<σ<1，则以下两个结论是等价的：

积分算子T和函数b生成的交换子定义为

[T，b]f(x)∶=b(x)Tf(x)-T(bf)(x)，x∈X.

本文的主要结果如下：

(11)

对于I2，由引理2可知，T是Lq(μ)上有界的.因此，注意到定义7，有

这样，由不等式

(12)

及η-弱逆倍条件，可以得到

对于I1，注意到若j≤l-1，x∈Cl，y∈Bj，且x∈X2Bj，则λ(x，d(x，y))～λ(x0，d(x，x0)).因此，由定义8，并应用Hölder不定式，有

所以，由(12)式，并应用η-弱逆倍条件，得

至此，结合(11)式，定理1得证.

对于J2，由引理3知Tσ是Lq1(μ)到Lq2(μ)有界的.因此，注意到定义7，有

同样，由不等式(12)可知

(13)

再利用η-弱逆倍条件，可以得到

对于J1，注意到j≤l-1，x∈Cl，y∈Bj，且x∈X2Bj，所以

λ(x，d(x，y))～λ(x0，d(x，x0)).

因此，由定义9，并应用Hölder不定式，有

由(13)式，并应用η-弱逆倍条件，得

这就完成了定理2的证明.