探索数学规律三部曲： 感知 强化 内化

吴东琴

[摘 要]以“商的变化规律”为例，探析数学规律教学的策略，促进学生在感知、强化、内化的过程中深刻理解数学规律，最终完成知识的整体建构。

[关键词]数学规律;感知;强化;内化

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）08-0068-02

小学生以形象思维为主，理解数学规律往往需要大量的感性材料做支撑。教师可引导学生从具体的生活情境中去验证规律，强化学生对数学规律的认识，通过沟通新知与旧知的联系，促使学生把新知纳入已有的认知体系之中，完成知识的内化过程。本文将以“商的变化规律”教学为例，论述如何促使学生在感知、强化、内化的过程中深刻理解数学规律。

一、在观察中概括，感知规律

数学观察是指学生通过对数字、字母、符号等数学要素进行观察进而提升对数学本质认识的过程。在数学观察的过程中，教师要注意观察的维度：指导学生从不同的角度展开数学观察，从而全面、准确地识别数学现象，探究数学规律;要注意把观察和思考、概括有机结合，因为概括是学生认识数学规律的重要方式。

【教学片段1】

出示题目：

师：大家有什么发现吗？

生1：当被除数乘以10，除数不变时，商也乘以10。

师：还可以概括得更准确吗？

生2：被除数乘以一个数，除数不变，商也乘以同一个数。

师：如果从下往上观察呢？

生3：被除数除以一个数，除数不变，商也除以同一个数。

师：把同学们概括的数学规律再总结，就是“被除数乘（或除以）一个数，除数不变，商也乘（或除以）同一个数”。那么，这个被除数乘或除以的数可以是0吗？

生（齐）：不能。

师：被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，商也乘（或除以）同一个数。再观察一组算式，通过计算结果，你发现了什么规律？

生4：被除数不变，除数乘一个数，商反而除以同一个数。

师：如果从下往上观察呢？

生5：被除数不变，除数除以一个数，商反而乘同一个数。

生6：这个结论要加上“0除外”，这样就更准确了。

师：被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），商反而除以（或乘）同一个数。

师：观察、计算下面的算式，你发现了什么规律？

生7：从上往下观察，被除数和除数同时乘同一个数（0除外），商不变。

生8：从下往上观察，被除数和除数同时除以同一个数（0除外），商不变。

师：现在，我们已经得出了三条商的变化规律。我把这三组算式放在一起，你又有什么发现？

生9：当被除数或者除数的其中一个发生变化时，商也会随之发生变化。但是，当被除数和除数同时发生变化时，商反而不变。

生10：除数不变时，被除数和商的变化是一致的，但是当被除数不变时，除数和商的变化却是相反的。

教学中，教师引导学生从不同的维度观察算式，从而概括出商的变化规律。具体来看，首先，教师引导学生观察每一组算式，在分别得出商的三条变化规律的基础上，又引导学生从整体上进行观察，使学生在宏观上把握这三条商的变化规律的内部联系。其次，学生在对商的变化规律进行概括时，经历了从生活语言向数学语言的过渡，在这个过程中，教师对学生进行适时引导，不但提升了学生的数学表达能力，还加深了学生对数学规律的认知深度。再次，在观察、概括商的变化规律的过程中，学生经历了一个对知识从陌生到熟悉的过程，经历了认知由慢到快的过程，在此过程中，学生的学习经验也得到了增长。最后，在概括商的变化规律时，教师引导学生考虑“0”这一特殊情况，提升了学生的思维严谨性。

二、借助生活经验，强化规律

数学知识若仅体现在数字中，而无法与现实生活产生联系，必然是枯燥乏味的，难以给学生留下深刻印象。教师应引导学生把数学知识的学习建立在生活的具体情境之中，在现实生活中寻觅数学的“影子”，这样不但可以调动学生学习的积极性，还能够加深学生对数学知识的认识深度。

【教学片段2】

师：在动物园中，把6根香蕉平均分给3只猴子，每只猴子可以分得多少根？如果香蕉的数量是60根，每只猴子可以分得多少根？如果香蕉的数量是600根呢？

生1：6÷3=2（根），60÷3=20（根），600÷3=200（根）。

生2：猴子的数量不变，香蕉的数量越多，每只猴子分到的数量也就越多。

生3：份数不变，总量越多，每份的数量也就越多。

师：想一想，这和刚才讲的“商的变化规律”有什么关系呢？

生4：被除数乘（或除以）一个数（0除外），除数不变，商也乘（或除以）同一个数。

师：老师把这道题改动一下。把600根香蕉平均分给3只猴子，每只猴子可以分得多少根？如果把这些香蕉分给30只猴子，每只猴子可以分得多少根？如果分给300只猴子呢？

生5： 600÷3=200（根），600÷30=20（根），600÷300=2（根）。

生6：香蕉的数量不变，猴子的数量越多，每只猴子分得的香蕉数量就越少。

生7：总量不变，分的份数越多，每一份的数量就越少。

生8：被除数不变，除数乘（或除以）一个数（0除外），商反而除以（或乘）同一个数。

师：这也就解释了当被除数不变的时候，除数越大，商反而越小，除数和商的变化是反向的。

师：把6根香蕉平均分给3只猴子，每只猴子可以分得多少根？把60根香蕉平均分给30只猴子，每只猴子可以分得多少根？把600根香蕉平均分给300只猴子，每只猴子可以分得多少根？

生9： 6÷3=2（根），60÷30=2（根），600÷300=2（根）。

生10：香蕉的数量增多，猴子的数量也增多，每只猴子分得的香蕉数量不变。

生11：总量增多了，分的份数也增多了，每一份的数量没有变。

生12：被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0除外），商不变。

生动的生活情境使学生更加深刻地认识到商的变化规律的本质，使数学规律超越了一组组单调、抽象的数学算式，变成活泼生动、真实可见的生活现象，从而激发了学生的思考热情，加深了学生对规律的理解。

三、沟通知识联系，内化规律

数学知识并非孤立存在的，教师要引导学生把握新旧知识之间的联系，通过新旧知识的对比，使学生更好地理解新知识，把新知识纳入已有的认知体系之中。

【教学片段3】

师：商的变化规律和我们学过的积的变化规律有什么联系呢？

生1：一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数不变，积也乘（或除以）同一个数;一个因数乘（或除以）一个数（0除外），而另一个因数除以（或乘）同一个数，它们的积不变。这就是积的变化规律。

生2：它们都探究了“变”与“不变”的关系。

生3：有的时候变化是一致的，而有的时候变化却是反向的。

生4：商的变化规律和积的变化规律在本质上一样。

师：为什么？

生4：因為我们可以把除法中的被除数看作乘法中的积，把除法中的除数和商看作乘法中的因数。

师：对，除法和乘法本来就互为逆运算，除法可以改写成乘法，乘法也可以改写成除法。因此，商的变化规律和积的变化规律在本质上具有一致性。

教学中，通过引导学生沟通商的变化规律和积的变化规律的内部联系，加深了学生对新知识的理解，使学生认识到商的变化规律是建立在积的变化规律基础上的，从而形成完整的知识体系，最终完成知识的内化和建构。

数学规律本身的隐蔽性和抽象性决定了学生的探索过程必然是曲折的，因此，教师要顺应学生的思维特点，结合学生的已有经验，从不同的角度阐释数学规律的内涵，使学生在感知、强化、内化的过程中完成知识的整体建构。

（责编 童 夏）