论矩阵等式在线性代数中的重要性

杨威 高淑萍 李兵斌

[摘 要]在线性代数课程中，矩阵等式可以定义基本概念，也可以描述各种问题。一个矩阵等式可能蕴含着多种线性代数含义。用矩阵等式来揭示线性代数概念的本质与规律，是学好线性代数的关键，同时也培养了学生的抽象思维能力。本文通过实际问题讨论了矩阵等式与线性代数概念的对应关系，最后针对几个考研试题，进一步分析了矩阵等式在线性代数学习中的重要性。

[关键词]矩阵等式;线性代数;抽象思维能力

[中图分类号] O151.2 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）03-0116-04

一、问题引入

线性代数是所有高校工科专业的一门重要基础课程，同时它也是工程数学中最重要的组成部分，它还是学生学习后续课程的前提和工具。然而由于线性代数高度抽象、逻辑严密、符号独特，很多学生在初学线性代数时都会反映线性代数比微积分更难[1]，常常出现“感觉上课听懂了，但课后作业还是不会”的现象。分析其本质原因有两个：第一就是学生并没有真正理解线性代数的问题本质，或理解的深度不够;第二个原因就是学生缺乏抽象思维能力，不能把题目中的有效信息抽象成矩阵等式，或不能理解题目中矩阵等式所蕴含的线性代数本质含义。

抽象思维是以概括为起点进行的思维，它是舍去事物的具体形象，运用概念、判断、推理等思维形式，对客观现实进行间接的、概括的反映过程。对于大学教育来讲，学生已经积累了一定的生活经验，掌握了一定的数学工具，具有一定的分析问题能力，因此，培养学生抽象思维能力和提高学生解决实际问题的能力是高等教学改革中的一个重要课题[2]。本文由浅入深地讨论了如何用矩阵等式来抽象线性代数问题，如何挖掘矩阵等式所蕴含的线性代数含义。培养学生拥有一个“用矩阵等式来说话”的思维模式，为学生将来用数学建模解决复杂问题打下基础。

二、用矩阵等式定义基本概念

线性代数的很多概念一方面是用语言来描述和解释，另一方面是用矩阵等式来定义，教师一定要培养学生用矩阵等式来描述线性代数概念的思维方式。下面给出了几个用矩阵等式来定义线性代数概念的例子[3]。

（一）用矩阵等式定义正交矩阵

很多初学线性代数的学生对以上定义产生疑惑，把等式[ATA=E]與“正交”的概念不能联系起来。这是因为学生对矩阵转置、矩阵乘法、单位向量、向量正交等概念理解不深刻，或者说他们不能用相应的矩阵等式来描述这些概念。下面给出了对称矩阵、单位向量和向量正交的矩阵等式定义。

当学生能充分理解以上矩阵等式与基本概念定义之间的对应关系时，正交矩阵概念的理解就变得很简单了。[ATA]其实就是矩阵[A]的列向量之间的内积运算，而[ATA=E]说明[A]的每一列向量与自己的内积都为1，[A]的任意两个不同列向量的内积都为0，即[A]的每一列都是单位向量，且[A]的列向量两两正交。

（二）用矩阵等式定义矩阵之间三种等价关系

等价矩阵、相似矩阵及合同矩阵这三个概念非常重要，在线性代数的学习中常常出现。这三个概念出自不同章节，但它们的定义极为相似，它们之间也存在着相互关系，教师应该把它们联系起来分析讨论，使学生容易理解和记忆。以下用矩阵等式分别对矩阵三种关系进行定义。

从以上矩阵等式关系可以明显得出：两个矩阵相似则一定等价;两个矩阵合同也一定等价;合同不一定相似，相似也不一定合同。另外，可以证明：实对称阵相似则一定合同。

三、用矩阵等式抽象线性代数问题

培养学生的科学思维方法是素质教育不可或缺的重要环节。抽象思维最显著的特点是抽象性与概括性的统一，学生的抽象思维能力直接影响着他们对知识理解的深度和广度。没有抽象就无法进行逻辑推理，没有概括就无法进行知识迁移[2]。线性代数很多问题的描述都可以用矩阵等式抽象表示，用矩阵等式表达线性代数问题可以锻炼学生的抽象思维能力，教师应该在教学中强调矩阵等式在线性代数中的作用。以下由浅入深地讨论五个具体问题。

本题的难度系数并不高，但当年却难住了很多考生，其原因是考生不能灵活运用分块矩阵的知识，没有发现已知条件中矩阵等式所蕴含的线性代数信息。

六、结语

“用矩阵等式来说话”的思维模式是学好线性代数的关键。一方面是用矩阵等式来抽象线性代数的问题，即把线性代数语言翻译为矩阵等式;另一方面是发现矩阵等式所蕴含的线性代数本质，即把矩阵等式翻译成线性代数语言。这不仅提高了学生抽象思维能力，同时也提高了学生解决实际问题的能力。

从考研的五道例题可以看出，当考生熟练掌握了矩阵等式与线性代数本质问题之间的对应关系时，考题就变得非常简单了。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 韩加坤，黄键.线性代数课程设置构想[J].大学教育，2016（2）：143-144+147.

[2] 王秀泽，孙佳徐，杨斌.大学教育中的形象思维与抽象思维[J].大学教育，2013（16）：31-32+35.

[3] 陈怀琛，高淑萍，杨威.工程线性代数[M].北京：电子工业出版社，2007.

[4] 杨威.线性代数辅导讲义[M].北京：电子工业出版社，2011.

[5] 杨威.线性代数名师笔记[M].西安：西安电子科技大学出版社，2014.

[6] 天明考研研究组.考研数学历年真题详解[M].沈阳：辽宁大学出版社，2019.

[责任编辑：林志恒]