非广延统计中的双原子气体热容

于海宁 石家榕 李红玉

（山西能源学院 基础部，山西 晋中030600）

1 概述

Tsallis 于1988 年提出的非广延统计理论已广泛应用于很多物理学领域，非广延参数q≠1 体现了非广延效应。例如，自引力系统的非广延参数q 具有明确的物理意义，与系统的不等温性直接相关，长程相互作用最终体现为q≠1 的结论已被日震测量所证实。

非广延性对实际气体的热力学过程存在一定的影响。本文研究低温下的双原子气体，利用实验数据（定压热容量与定容热容量之比γ、声速v）给出了参数q 的两个唯象表达式。第2 部分中，我们利用双原子理想气体的Tsallis 非广延统计理论给出只含有一个自变量γ 的q 值表达式，结合N2、O2和CO 气体的实验数据进行分析。第3 部分中，研究声速的非广延理论，给出了q 的另一个唯象表达式，结合空气声速的实验值进行分析。第4 部分是结论。

2 刚性双原子非广延气体的热容量

对于经典的理想气体，通常假设了气体分子之间是没有任何相互作用的。然而，实际上任何气体分子之间都存在引力，但由于这种引力非常小，一般可以完全忽略不计。特别地，当气体处于低温状态时，分子的动能要比常温时小得多，所以此时分子间的势能就比常温状态时重要得多了。

在此情形下，气体的性质同标准的理想气体模型就有了更多的偏离。因此，我们就可以尝试着用Tsallis 非广延统计来对它进行修正。

当气体的温度为常温及以下时，分子振动和电子运动都被冻结在基态，对热容量几乎没有贡献。所以，我们这里考虑的非广延双原子理想气体依旧是5 个自由度，其中含有3 个平动自由度和2 个转动自由度。

由Tsallis 统计中的q-期待值可以得到双原子气体的内能

其中f 是q-分布函数，pi是相应的广义动量，E 为单个分子的动能，N 为分子个数。

利用定容热容量的定义式CV=dU/dT，最终得到双原子气体的定容热容量表达式

其中V 是体积，k 为玻尔兹曼常量。

借助于焓的定义式、定压热容量公式和非广延气体的物态方程

可以求出定压热容量和定容热容量之差为

其中，H 表示焓，P 为压强，n 为分子数密度。二者之比CP/CV=γ 源于实验数据，结合上式给出定容热容量的另一表达式

该式和（2）式相等，由此给出非广延参数q 的一个唯象表达式

利用教科书中N2，O2和CO 气体γ 的实验值，我们计算出相应的q 值，表1 中最后一列列出。

表1 中的倒数第二列为文献[2]给出的结果。对比发现本文计算得到的q 值与1 偏差更大些，更能体现其非广延程度。文献[2]处理的过程中计算定压热容量和定容热容量差值时错误地使用了理想气体物态方程，从而给出CP-CV=Nk 的结果，在此基础上给出的参数q 的表达式为

表1 γ 的实验数据及其对应的q 值

表2 不同温度下空气的q 值

3 声速所验证的气体的非广延性

基于非广延统计理论的声速公式为

该式已用于天体物理、等离子体物理等领域，其中vs为广延情形下的声速。声波的传播过程可近似视为绝热过程，此时

m 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量。以上两式结合给出q 的唯象表达式为

下面以不同温度下空气声速的实验值分析非广延性的变化。γ 的实验值在我们分析的温度范围内变化甚小，因此q 值主要取决于声速vq的大小。表2 列出三个温度情况下的q 值，γ 取近似值1.41。

由此看见，常温下空气的非广延效应可以完全忽略，可视为理想气体，但随着温度的降低，非广延效应逐渐明显。

4 结论

本文先后用了两种途径给出非广延参数q 的唯象表达式，（8）和（12）式。前者针对双原子气体。结合实验数据对比不同温度下的非广延性，发现常温下气体完全可视为广延的，但低温下非广延效应明显加强。我们处理低温下气体的转动动能仍用了经典理论，未将其进行量子化分析，这是因为本文所讨论的N2，O2和CO 气体的转动特征温度θr都很小，都只有2K 多，通常认为的经典理论适用条件θr/T＜＜1 在我们所讨论的温度下仍然成立。空气的非广延性主要取决于氮气，结论发现在92K和-150°C 这两个比较接近的温度下氮气和空气的非广延性大致相当。后者q 值略大些，原因是相同温度下的氧气（空气第二大成分）的非广延性比氮气小一些（q 值偏大）。