2021年高考“概率与统计、计数原理”专题解题分析
2021-03-23高霞吴丽华
高霞 吴丽华
摘 要：2021年高考数学中有关概率与统计、计数原理的试题全面考查了本专题知识涉及的基本思想和方法，注重概念理解，聚焦重点内容与知识交会，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，设计真实问题情境，体现数学的应用价值，落实了高考数学“立德树人，服务选才，引导教学”的核心功能.
关键词：高考数学;概率与统计;计数原理;试题分析;解法赏析
一、试题特点
2021年高考数学试卷有全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷共10份试卷. 概率与统计、计数原理部分试题体现出如下特点.
1. 难度稳中有降，考点回归
综观近几年本专题的高考数学试题，2021年题量、分值相对稳定且难度有所下降，与其他模块知识交会命题减少（仅全国新高考Ⅱ卷考查概率与数列、函数、方程知识交会的试题），试题考查内容回归本专题相关的概念、原理，以及概率与统计中的基本问题.
2. 考查关键能力，发挥选拔功能
遵循基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，贯彻“低起点、多层次、高落差”的科学调控策略，突出概率与统计内容的应用特色，既注重考查学生对知识的基本理解与灵活应用，又着重考查学生的数学阅读理解能力与信息整理能力，突出数据分析与数学建模素养，科学把握必备知识与关键能力的关系.
3. 发挥学科特色，彰显育人功能
试题背景更加贴近日常生活，关注现实生活问题，设计真实的问题情境，促进学生实践能力与创新意识的发展.
二、试题分析
1. 计数原理
例1 （全国乙卷·理6）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）.
（A）60种 （B）120种
（C）240种 （D）480种
解：根据题意，有一个项目分配了2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有[C25]种选法;然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有[A44]种，根据乘法原理，共有[C25×A44=240]种不同的分配方案. 故答案选C.
错解分析：对于选项D，[A45×4=480]，从5人中选4人有序分配给4个项目，再从4个项目中选择1个给第5人.错误原因是被分配了2名志愿者的项目出现重复. 例如，甲、乙均从事冰壶项目，既可能5人选4人余乙被分配了冰壶，也可能5人选4人剩余甲被分配了冰壶，同一种分配方案被计算了2次，出现重复.
【评析】该题主要考查计数原理及分组、分配型问题，考查学生的逻辑思维能力及运算求解能力，考查的素养是逻辑推理、数学运算. 此类问题的关键是确定人数的分配情况，然后利用先分组再分配的思想求解. 在分組时要特别注意平均分组与不平均分组的差异，有时也可以用图表或树状图辅助列举. 该题以北京冬奥会志愿者的培训为背景，关注社会现实，增强学生的民族自豪感与爱国情怀.
例2 （浙江卷·13）已知多项式[x-13+x+14=][x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，] 则[a1]的值为 ，[a2+a3+a4]的值为 .
解：（方法1）因为[x-13=x3-3x2+3x-1，]
[x+14=x4+4x3+6x2+4x+1，]
所以[a1=1+4=5，a2=-3+6=3，a3=3+4=7，a4=][-1+1=0.]
所以[a2+a3+a4=10.]
（方法2）由二项式定理，得[a1=C03×-10+C14=5]. 令[fx=x-13+x+14，f1=1+a1+a2+a3+a4=6+]
[a2+a3+a4=16].
所以[a2+a3+a4=10.]
错解分析：[a2=C13+C24=3+6=9]，错解原因是混淆了二项式系数与系数的概念，忽略项的系数的正、负.
【评析】该题主要考查二项展开式系数及系数和问题，重点考查学生的运算求解能力. 求指定项系数的关键是利用二项展开式的通项公式，求系数和常采用“赋值法”. 两个因式的幂指数较小，该题运算量不大，将二项式直接展开亦可解决，方便不同思维层次的学生找到求解问题的切入点，具有较强的亲和力. 同类题目还有北京卷第11题.
2. 概率
（1）古典概型.
例3（全国甲卷·理10）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）.
（A）[13] （B）[25] （C）[23] （D）[45]
解：（方法1）将4个1和2个0随机排成一行有[C26=15]种方法，2个0相邻[C15=5]种排法，所以2个0不相邻的概率为[1-515=23.]
（方法2）将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有[C15=5]种排法，若2个0不相邻，则有[C25=10]种排法，
所以2个0不相邻的概率为[105+10=23].
错解分析：选项D，概率[P=1-55×5=45.]
4个1排成一排产生5个空，将2个0逐个插入为[5×5]，将2个0一起插入为5，则2个0相邻的概率为[55×5]，不相邻的概率为[1-55×5=45.]
此方法错在把2个0当成了两个不同的元素.
【评析】该题主要考查古典概型、计数原理等知识，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 该题既可以针对两个相同元素的不相邻问题利用插空法求解基本事件个数来解决，也可以利用对立事件的概率来解决. 解决此类问题时应关注元素是否相同.
（2）几何概型.
例4 （全国乙卷·理8）在区间[0，1]与[1，2]中各随机取1个数，则两数之和大于[74]的概率为（ ）.
（A）[79] （B）[2332] （C）[932] （D）[29]
解：设从区间[0，1， 1，2]中随机取出的数分别为[x，y]，则试验的所有结果构成区域为[Ω=][x，y0
错解分析：对于选项C，事件[A]构成的区域选择错误，误选为三角形区域，求解的是事件[A]的对立事件的概率.
对于选项A和选项D，错用古典概型解决该题，误以为从[0，1，2]三个数字中有放回地选择两个数，故而基本事件个数为[3×3]，而两数和大于[74]的基本事件有[1，1， 1，2]，故概率为[29]，误选D，若求出两数和大于[74]的对立事件则会误选A.
【评析】该题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，考查转化与化归思想、数形结合思想，以及学生的运算求解能力、逻辑推理素养、直观想象素养. 解决几何概型试题的一般方法是：判断试验的结果是否为无限且基本事件等可能;确定事件的几何测度（长度、面积、体积、角度……）并分别求出目标事件[A]与样本空间[Ω]的测度;利用几何概型概率计算公式求出结果. 此类试题的易错点是几何概型的识别及测度的选择，即判断基本事件是否等可能且无数个;事件概率与位置形状无关，仅与几何测度（长度、面积、体积、角度……）成正比. 由于在两个连续区间[0，1， 1，2]内生成随机数[x，y]，故为几何概型;又因为随机数个数是两个，因此该题测度为图形面积.
（3）事件独立性判断.
例5 （全国新高考Ⅰ卷·8）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）.
（A）甲与丙相互独立 （B）甲与丁相互独立
（C）乙与丙相互独立 （D）丙与丁相互独立
解：（方法1）[P甲=16，P乙=16，P丙=536，]
[P丁=636=16].
[P甲丙=0≠P甲P丙，]
[P甲丁=136=P甲P丁，]
[P乙丙=136≠P乙P丙，]
[P丁丙=0≠P丁P丙，]
由事件独立性定义知甲与丙相互不独立，甲与丁相互独立，乙与丙相互不独立，丙与丁相互不独立.
（方法2）由题意，得甲与丙互斥、丙与丁互斥，由于互斥事件不可能同时发生，故排除选项A、选项D，再利用独立事件概率公式计算确定选项B.
【评析】该题考查了两个事件的相互独立性，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及逻辑推理、数学运算素养. 概率与统计部分的学习易出现重应用轻原理的现象，此题不易以定义法即事件[A]（或[B]）是否发生对事件[B]（或[A]）发生的概率没有影响（生活经验）来判断事件的独立性，需用公式法来解决，即判断事件[A，B]是否独立，先计算对应概率，再判断[PA ? PB=PAB]是否成立. 历年高考试题在独立事件部分的考查常常是已知两事件相互独立求同时发生的概率，该题首次考查利用事件相互独立的概率公式判断事件是否独立. 学生应在概率统计部分对原理学习加以重视.
类似题型有天津卷第14题，不同的是天津卷第14题的两个小题分别考查的是独立事件概率的求解及[n]次独立重复事件的概率求解，是学生相对熟悉的设问形式.
（4）离散型随机变量的分布列、期望.
例6 （全国新高考Ⅰ卷·18）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束. A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答問题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记[X]为小明的累计得分，求[X]的分布列;
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
解：（1）由题意可知，[X]的所有可能取值为0，20，100.
[PX=0=1-0.8=0.2;]
[PX=20=0.8×1-0.6=0.32;]
[PX=100=0.8×0.6=0.48;]
所以[X]的分布列如表1所示.
[[X] 0 20 100 [P] 0.2 0.32 0.48 ][表1]
（2）由第（1）小题知，[EX=0×0.2+20×0.32+][100×0.48=54.4].
若小明先回答B类问题，记[Y]为小明的累计得分，则[Y]的所有可能取值为0，80，100.
[PY=0=1-0.6=0.4;]
[PY=80=0.6×1-0.8=0.12;]
[PX=100=0.8×0.6=0.48.]
所以[EY=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6].
因为[54.4<57.6]，所以小明应选择先回答B类问题.
【评析】该题考查利用相互独立事件概率公式求解离散型随机变量的分布列，并利用离散型随机变量的期望进行方案合理性判断的问题. 考查了学生的数据处理能力、运算能力、或然与必然的思想、逻辑推理素养、数学运算素养及数据分析素养. 该题以“一带一路”知识竞赛为背景，既关注了社会发展，又与学生的生活经验密切联系，旨在引导学生关注社会进步与国家发展.
求离散型随机变量的分布列的步骤：确定随机变量[X]的所有可能取值;写出[X]所对应的每个取值的具体含义;求得[X]所对应的每个事件发生的概率;以列表形式写出分布列. 为避免概率计算有误，应验证分布列的概率和是否为1.
判断分布列类型时，既要判断事件之间的关系（互斥、对立、独立、和事件、积事件…），还应注意随机变量每个取值对应事件的概率求解是利用古典概型概率公式（除法）还是条件概率或独立事件概率公式（乘法）求解;对于分布类型要注意区别是二项分布（有放回）还是超几何分布（无放回），要对模型要素有深刻认识，做到具体问题具体分析.
利用离散型随机变量的期望与方差进行方案比较与筛选时应理解期望与方差的含义. 离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差则反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差越小，随机变量偏离均值的程度越小.
同类型题目还有北京卷第18题和浙江卷第15题.
例7 （浙江卷·15）袋中有4个红球，[m]个黄球，[n]个绿球. 现从中任取两个球，记取出的红球数为[ξ]，若取出的两个球都是红球的概率为[16]，一红一黄的概率为[13]，则[m-n]的值为 ，[Eξ]的值是 .
解：因为[Pξ=2=C24C2m+n+4=6C2m+n+4=16]，
所以[C2m+n+4=36].
所以[m+n+4=9].
由[P一红一黄=C14 ? C1mC2m+n+4=4m36=m9=13]，得[m=3.]
所以[n=2.]
所以[m-n=1.]
（方法1）因为[Pξ=2=16，Pξ=1=C14×C15C29=59，]
[Pξ=0=C25C29=518]，
所以[Eξ=16×2+59×1+518×0=89].
（方法2）[ξ?H2，4，9，Eξ=2×49=89.]
【评析】该题考查组合、古典概型及超几何分布，考查了学生的数学运算和数据分析素养，以及函数与方程思想. 在期望的计算过程中，若能识别超几何概型并联系超几何分布与二项分布的关系，可以利用期望公式求解以减少运算量.
（5）连续性随机变量概率分布——正态分布.
例8 （全国新高考Ⅱ卷·6）某物理量的测量结果服从正态分布[N10，σ2]，则下列结论不正确的是（ ）.
（A）[σ]越小，该物理量一次测量结果落在[9.9，10.1]内的概率越大
（B）该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
（C）该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等
（D）该物理量一次测量结果落在[9.9，10.2]内的概率与落在[10，10.3]内的概率相等
解：因为该物理量的测量结果服从正态分布[N10，σ2]，所以测量结果的概率分布关于10对称，故选项B，选项C正确，选项D错误. 又因为标准差[σ]越小，测量结果的概率分布越集中，故选项A正确.
【评析】该题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的概率意义. 考查了学生的逻辑推理能力、数形结合思想、或然与必然思想，以及直观想象与数据分析素养.
数值估计是高考数学中考查正态分布问题的一个重点，解决此类问题的工具主要是正态曲线的对称性及[3Ω]原则，即正态曲线关于直线[x=μ]对称，因此[PX<μ-σ=PX>μ+σ，PX 该题改变以往已知正态分布参数[μ，σ]，求某区间概率或推测某区间样本或总体数量的一贯命题方法，改为特征数字对区间概率的影响，对学生对正态分布知识理解的要求更高，也体现了回歸知识本源的命题思路. 该题以某物理量的测量为背景，在考查学生对正态分布基础知识的理解与应用的同时，也能更好地引导学生重视数学试验和数学应用. 3. 统计 （1）用样本的频率分布估计总体的频率分布. 例9 （全国甲卷·文 / 理2）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图2所示的频率分布直方图. 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）. （A）该地农户家庭年收入低于[4.5]万元的农户比率估计为6 % （B）该地农户家庭年收入不低于[10.5]万元的农户比率估计为10 % （C）估计该地农户家庭年收入的平均值不超过[6.5]万元 （D）估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于[4.5]万元至[8.5]万元之间 解：因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率. 样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02 + 0.04 = 0.06 = 6 %，故选项A正确; 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04 + 0.02 × 3 = 0.10 = 10 %，故选项B正确; 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10 + 0.14 + 0.20 × 2 = 0.64 = 64% > 50%，故选项D正确; 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3 × 0.02 + 4 × 0.04 + 5 × 0.10 + 6 × 0.14 + 7 × 0.20 + 8 × 0.20 + 9 × 0.10 + 10 × 0.10 + 11 × 0.04 + 12 × 0.02 + 13 × 0.02 + 14 × 0.02 = 7.68 > 6.5，故选项C错误. 综上所述，不正确的结论是选项C. 【评析】该题考查利用样本的频率分布直方图估计总体的频率分布和平均值，考查学生的数形结合思想及数学运算能力，以及数学抽象、直观想象、数据分析素养. 频率分布直方图是表达和分析数据的重要工具，求解此类问题的关键是培养数与形的语言转换能力. 从频率分布直方图中可以清楚地看出数据分布的总体趋势. 而样本的频率可以作为总体概率的估计值，直方图中样本平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得，可以作为总体平均值的估计值.注意各组的频率为[频率组距×组距]. 该题在解答时既要特别关注问题是“结论不正确的是”，还要选择合理的答题策略. 由于选项C计算量较大，而该题作为全卷的第2题，应尽量通过认真辨析选项A、选项B和选项D的正误，利用排除法选择选项C，以减少运算. 同时该题题干以图表的形式给出，选项中又有大量文字阅读，对学生的综合能力有一定的要求. 该题以我国在脱贫攻坚工作中取得的全面胜利和农村振兴为背景，通过图表给出了某地农户家庭收入情况的抽样调查结果，引导学生关注我国社会与经济发展，增强国家认同与理想信念. （2）样本数字特征的性质及用样本的数字特征估计总体的数字特征. 例10 （全国新高考Ⅱ卷·9）下列统计量中可用于度量样本[x1，x2，…，xn]的离散程度的有（ ）. （A）[x1，x2，…，xn]的标准差 （B）[x1，x2，…，xn]的中位数 （C）[x1，x2，…，xn]的极差 （D）[x1，x2，…，xn]的平均数 解：对于选项A，标准差是方差的算术平方根，能反映数据的集中与离散程度，选项A正确; 对于选项B，中位数将数据分成前后两部分，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，不能反映数据的集中与离散程度，选项B错误; 对于选项C，极差是用来表示统计资料中的变异量数，是最大值与最小值之间的差距，它是标志值变动的最大范围，可用来评价一组数据的离散程度，选项C正确; 对于选项D，平均数是描述一组数据的一种常用指标，它的大小与该组数据里的每个数据均有关系，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变化，易受个别极端值影响，不能评价数据的离散程度，选项D错误. 例11 （全国新高考Ⅰ卷·9）有一组样本数据[x1，][x2，…，xn]，由这组数据得到新样本数据[y1，y2，…，][yn]，其中[yi=xi+c i=1，2，L，n]，[c]为非零常数，则（ ）. （A）两组样本数据的样本平均数相同 （B）两组样本数据的样本中位数相同 （C）两组样本数据的样本标准差相同 （D）兩组样本数据的样本极差相同 解：对于选项A，由[Ey=Ex+c=Ex+c]且[c≠0]，知两组样本的平均数不相同，选项A错误; 对于选项B，若第一组中位数为[xi]，则第二组中位数为[yi=xi+c]，显然不相同，选项B错误; 对于选项C，由[Dy=Dx+Dc=Dx]，故方差相同，选项C正确; 对于选项D，由极差的定义知，若第一组的极差为[xmax-xmin]，则第二组的极差为[ymax-ymin=xmax+c-][xmin+c=xmax-xmin]，故极差相同，选项D正确. 【评析】全国新高考Ⅰ卷和全国新高考Ⅱ卷多选题第1题（即全卷第9题）均考查数据的数字特征，其中全国新高考Ⅱ卷考查一组数据自身的数字特征，全国新高考Ⅰ卷则考查了具有线性关系的两组数据的数字特征之间的关系. 考查了学生分析问题与解决问题的能力，以及逻辑推理素养. 该题考查学生在数据分析中对基本概念的辨析能力，关键是要对几个概念的区别与联系有清晰的认知. 虽然这些概念只需要识记、理解，但要求学生对其的掌握清晰、明了，也从另一个角度提醒学生数学概念的重要性. 例12 （全国乙卷·文 / 理17）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如表2所示. [旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 ][表2] 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为[x]和[y]，样本方差分别记为[s21]和[s22]. （1）求[x，y，s21，s22]; （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果[y-x≥2s21+s2210]，那么认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 解：（1）由平均数的概念，得 [x=9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.710=10.] 同理，得[y=10.3]. 由方差的概念，得 [s12=0.22+0.32+02+0.22+0.12+0.22+02+0.12+0.22+0.3210=0.036.] 同理，得[s22=0.04]. （2）依题意，得 [y-x=0.3=2×0.15=20.152=20.022 5]. 因为[20.036+0.0410=20.007 6，y-x>2s12+s2210，] 所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 【评析】该题考查了两组数据的平均数与方差，并利用两组数据平均数差值与指标数据的比较判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高. 考查了学生的数学运算与数据分析素养. 该题引导学生关注科技发展，树立正确的价值观. 近年来，概率与统计的解答题变化较大，2018年全国Ⅰ卷理科第20题考查了概率统计与函数结合的题目，2019年全国Ⅰ卷理科第21题考查概率统计与数列结合的题目，2020年全国Ⅰ卷理科第19题考查难度较大的纯概率问题，2021年考查简单的纯统计问题，命题背景选择统计学中考查标准双样本均值是否有显著差异的枢轴量法，难度大幅度下降. （3）独立性检验. 例13 （全国甲卷·文 / 理17）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表3所示. （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99 %的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：[K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d]. [[PK2≥k] 0.050 0.010 0.001 [k] 3.841 6.635 10.828 ][表4] 解：（1）甲機床生产产品中一级品的频率为[150200]= 75%， 乙机床生产的产品中一级品的频率为[120200]= 60%. （2）[K2]的观测值[k=400×150×80-120×502270×130×200×200=][40039≈10.256>6.635]， 所以能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异. 【评析】该题考查了古典概型、用样本的频率估计总体的频率及独立性检验. 考查了学生的推理论证能力、运算求解能力，以及逻辑推理、数据分析和数学运算素养. 该题数据运算难度不大，主要注意样本频率与总体概率的关系及[K2]与[k]及临界值[k0]关系的正确表述即可. 三、解法赏析 例14 （全国新高考Ⅱ卷·21）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设[X]表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，[PX=i=pi i=0，1，2，3]. （1）已知[p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1]，求[EX]; （2）设[p]表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，[p]是关于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的一个最小正实根，求证：当[EX≤1]时，[p=1]，当[EX>1]时，[p<1]; （3）根据你的理解说明第（2）小题结论的实际含义. 解：（1）[EX=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.] （2）（方法1）由题意知[p0+p1+p2+p3=1，EX=][p1+2p2+3p3.] 则由方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]，得 [0=p0+p1-1x+p2x2+p3x3] [=p0-p0+p2+p3x+p2x2+p3x3] [=p01-x+p2x2-x+p3x3-x] [=x-1p3x2+p2+p3x-p0]. 由此可得，1是方程的一个实根，设[fx=p3x2+][p2+p3x-p0]， 因为[fx]的对称轴为[x=-p2+p32p3<0]，且[f0=][-p0<0，] 而[f1=p3+p2+p3-p0=p1+2p2+3p3-1=EX-1.] 所以，当[EX≤1]时，[f1≤0]，原方程的最小正根为[p=1]. 而当[EX>1]时，[f1>0]，故存在[0 （方法2）由题意知[p0+p1+p2+p3=1，EX=][p1+2p2+3p3.] 设[gx=p0+p1x+p2x2+p3x3-x，] 则[g0=p0>0，g1=0]. 因为[gx=3p3x2+2p2x+p1-1]， 所以其判别式[Δ=4p22-][12p3p1-1>0]. 故[gx=0]有两个不相等的实根[x1，x2]，不妨设[x1 因为[3p3>0，g0=p1-1<0，] 所以[x1<0 [g1=3p3+2p2+p1-1=EX-1]， 当[EX≤1]时，[g1≤0]，此时[x2>1]，当[x∈0，1]时，[gx<0，gx]单调递减，[gx>g1=0，]故此时方程的最小正根[p=1]. 当[EX>1]时，[g1>0]，此时[0 （3）由第（2）小题知，当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经多代繁殖后将濒临灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能. 【評析】该题取材于生命科学中的真实问题，体现了概率在生命科学中的应用. 试题考查了学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养，重点考查学生综合应用概率、数列、方程、函数等知识和方法解决实际问题的能力，体现了“基础性、综合性、应用性、创新性”的考查要求. 该题第（1）小题利用离散型随机变量分布列的期望公式直接求解即可;第（2）小题既可以通过因式分解转化为二次函数根存在的问题解决，也可以直接对三次函数求导利用单调性及特殊点函数值求解;第（3）小题要利用数学结论解释实际生活现象，对学生的建模解模能力要求较高. 四、备考建议 通过以上的试题分析，我们可以看到概率与统计、计数原理部分的高考试题相对稳定，难度及综合性均有所下降，体现回归概念原理，并在数学理论对实际生活及科研工作的应用上有所侧重. 从题量上看，基本上还是一道客观题、一道主观题. 客观题主要考查二项式定理、古典概型、几何概型、统计图表、数字特征等;主观题考查离散型随机变量的分布列、数据的数字特征、独立性检验、概率应用问题. 在每份试卷中所占的分值大约为20分. 结合近几年高考对本专题考查的总体规律，对学生的高考复习备考有以下建议. 1. 掌握知识体系，形成知识脉络 在概率的复习中，要加深对随机事件概率意义的理解，掌握概率的性质，能准确分析事件间的关系，掌握用样本频率估计总体概率的思想;理解古典概型、几何概型及概率计算公式;理解条件概率、独立事件概率公式;理解离散型随机变量及其分布列的概念，会计算离散型随机变量的均值和方差;能准确识别两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布，理解它们之间的区别与联系. 在统计的复习中，要理解对研究对象进行数据处理和分析的过程，即合理抽样生成样本;能用样本的频率分布和数字特征估计总体的频率分布和数字特征;选择合适的模型进行数据回归，并能从相关指数、相关系数、残差等角度对回归结果加以分析;能对分类变量的独立性进行检验. 在计数原理的复习中，要重视对两个基本计数原理的理解及应用，掌握排列组合问题的基本类型和基本解决方法，不建议拔高要求;二项式定理部分应明确展开式、通项、系数、二项式系数等概念. 2. 聚焦思想方法，提升核心素养 概率与统计、计数原理是高考数学中最易与社会生产生活建立联系、最能体现数学应用性的部分，试题背景新颖、文字量大，对学生的数学阅读能力，以及数学抽象、数学建模、数据分析、数学运算等素养都有一定的要求. 只有站在概率统计思想方法的高度来指导复习，才能举一反三，通过对试题中文字材料的阅读与理解，准确运用数学的概念对问题进行抽象并加以解决. 参考文献： [1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018. [2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读[M]. 北京：高等教育出版社，2018. [3]孙海琴，王俊琦. 2018年高考“概率与统计、计数原理”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2018（9）：39-45. [4]李波，邹发明，张晓斌. 2019年高考“概率与统计、计数原理”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（9）：45-52. [5]范俊明，蒋志方，徐新斌. 2020年高考“计数原理、概率与统计”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（11）：41-50，58.
