2021年高考“不等式选讲”专题命题及解题分析

薛红霞 李海玲

摘  要：针对2021年高考数学全国甲卷、全国乙卷中的“不等式选讲”试题，分析其命题特点，从解法的角度对其进行欣赏，在此基础上提出2022年高考“不等式选讲”专题的复习备考建议，并编拟了模拟题.

关键词：不等式选讲;命题分析;解法欣赏;复习建议

2021年高考数学“不等式选讲”的试题在全国甲卷和全国乙卷中分别有1道题目. 下面从考查内容、命题特点、解法欣赏三个方面对它们进行分析.

一、考查内容分析

1. 考点与内容分析

根据《普通高中数学课程标准（实验）》及考试大纲，“不等式选讲”部分要求：理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明不等式[a+b≤a+b]和[a-b≤a-c+c-b];会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式[ax+b≤c]，[ax+b≥c]和[x-a+][x-b≥c];等等. 2021年高考数学全国甲卷考查了画含有绝对值的函数的图象，当不等式恒成立时，求参数的取值范围;全国乙卷考查了求解[x-a+x-b≥c]型不等式，當不等式恒成立时，求参数的取值范围. 覆盖了“不等式选讲”的重点内容，也是历年来重点考查的内容.

2. 思想方法分析

（1）考查数形结合的思想方法.

2021年高考数学全国甲卷文（理）科第23题第（1）小题要求画出两个函数[y=fx]与[y=gx]的图象，凸显了由数到形，并为第（2）小题的求解奠定了基础. 第（2）小题是“若[fx+a≥gx]，求[a]的取值范围”，根据[fx+a]的几何意义，即要判断“将函数[y=fx]的图象向哪个方向平移、平移多少个单位”能实现[fx+a≥][gx]，在此基础上求出[a]的取值范围. 第（2）小题是从形到数的过程. 整道试题，从条件、思考的方法到求解，处处充满了数形结合思想方法的运用.

全国乙卷文（理）科第23题第（1）小题是求解不等式，也可以采用数形结合思想方法求解.

（2）注重对函数思想方法的考查.

两道试题的已知条件中给出的都是函数，体现了函数对方程和不等式的统领作用. 因此，可以从函数的视角求解不等式，或者解决不等式恒成立问题. 例如，全国甲卷文（理）科第23题第（2）小题充分利用函数图象的位置关系、关键点求解问题，后续给出的三种解法都充分体现了函数在求解不等式问题中的重要作用. 全国乙卷文（理）科第23题第（1）小题充分利用了函数求解不等式，或者用纯粹代数的方法，或者用数形结合的方法求解. 该题的第（2）小题，也可以用数形结合的思想方法进行求解.

（3）注重对绝对值几何意义的考查.

在全国乙卷文（理）科第23题的第（1）小题中，[x-1+x+3]表示数轴上的点到[1]和[-3]的距离之和，[x-1+x+3≥6]表示数轴上的点到[1]和[-3]的距离之和不小于[6]. 根据绝对值及不等式的几何意义，只需要找到满足[x-1+][x+3=6]的[x]的值即可. 第（2）小题已知[fx>-a]，即[x-a+x+3>-a]，利用不等式[a-b≤a-c+c-b]即可达到对[x-a+x+3]的放缩，继而求解. 对比几种解法，可见利用绝对值、不等式的几何意义求解，可以简化计算过程.

此外，2021年高考数学“不等式选讲”试题还考查了分类讨论思想和转化与化归思想. 例如，绝对值函数转化为非绝对值函数问题，不等式问题转化为函数问题，等等.

二、命题特点分析

1. 求解思路多，覆盖全面

对于含绝对值的函数不等式，常用的求解方法有：去绝对值写成分段函数;借助函数图象，运用数形结合思想;利用绝对值的性质. 全国乙卷文（理）科第23题的两道小题可以采用其中任何一种方法求解. 这种命制方法有利于不同思维特点的学生进行自由选择，而且通过一道试题全面覆盖了此类问题的常用求解方法，非常巧妙！

2. 注重考查基础

从历年“不等式选讲”部分考查的主要内容来看，去绝对值、函数思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法等是求解“不等式选讲”试题的基本技能和基本思想方法. 2021年高考数学的两道“不等式选讲”试题，紧扣这些考查特点，并且求解方法灵活多样，能使不同思维特点、不同基础、不同能力的学生都能发挥出应有的水平.

特别地，2021年高考数学的两道“不等式选讲”试题都非常注重考查学生画函数图象的基本技能，以及依据所画函数图象进行分析，从而获得进一步求解思路的能力.

三、试题解法欣赏

例1 （全国甲卷·文 / 理23）已知函数[fx=][x-2]，[gx=2x+3-2x-1].

（1）在图1中画出[y=fx]和[y=gx]的图象;

（2）若[fx+a≥gx]，求[a]的取值范围.

解：（1）去绝对值，得[fx=x-2=2-x，x<2，x-2，x≥2.]

画出该函数的图象，如图2所示.

去绝对值，得

[gx=2x+3-2x-1=-4，x<-32，4x+2，-32≤x<12，4，x≥12.]

画出该函数的图象，如图3所示.

【评析】该题考查了学生对绝对值定义的理解，并据此去绝对值，将含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题，并考查学生画函数图象的基本技能.

（2）（方法1）由题意，知[fx+a=x+a-2].

在同一个坐标系里画出函数[fx，gx]的图象，如图4所示.

因为[y=fx+a]的图象是将[y=fx]的图象平移[a]个单位得到，

所以要使[fx+a≥gx]，需将[y=fx]向左平移，即[a>0].

当[y=fx+a]过[A12，4]时，[12+a-2=4]，

解得[a=112]或[a=-52]（舍去）.

通過数形结合，可知需要将[y=fx]的图象至少向左平移[112]个单位.

所以[a]的取值范围是[112，+∞].

【评析】这种解法充分应用了第（1）小题绘制的函数图象及[fx+a]的几何意义. 找到函数[y=fx+a]的图象的关键位置，得到[12+a-2=4]，求出此时[a]的值，即[a=112]，再由数形结合确定[a]的取值范围.

（方法2）当[a≤0]时，即将函数[y=fx]的图象向右平移[a]个单位，

结合图象，可知[?x∈2，+∞]使得[fx<4].

所以不满足[fx+a≥gx].

当[a>0]时，即将函数[y=fx]的图象向左平移[a]个单位.

因为[fx+a≥gx]恒成立，

所以[f12+a≥4].

解得[a≥112].

所以[a]的取值范围是[112，+∞].

【评析】与方法1相比，该解法也是运用数形结合思想方法求解，但是具体的解题思路有所不同. 该解法注重代数分析，先分析参数[a]的取值，确定[a]应该取正数，再找关键点满足的条件，得到[f12+a≥4]，进而求解.

（方法3）因为[fx+a≥gx]恒成立，

所以由图象可知，只需[fx+a=4]时[x≤12]即可.

因为[x+a-2=4，x≤12，]

所以[6-a≤12，-2-a≤12，] 解得[a≥112].

所以[a]的取值范围是[112，+∞].

【评析】与方法1和方法2一样，该解法依然是应用数形结合思想，先找到函数[y=fx+a]的图象应该满足的条件“当[fx+a=4]时，[x≤12]”，然后转化为不等式求解.

例2 （全国乙卷·文 / 理23）已知函数[fx=][x-a+x+3.]

（1）当[a=1]时，求不等式[fx≥6]的解集;

（2）若[fx>-a]，求[a]的取值范围.

解：（1）（方法1）当[a=1]时，[fx=x-1+x+3].

如图5，[x-1+x+3]表示数轴上的点到[1]和[-3]的距离之和.

所以[fx≥6]表示数轴上的点到[1]和[-3]的距离之和不小于[6].

当[x=-4]或[x=2]时，所对应的数轴上的点到[1]和[-3]所对应的点的距离之和等于6.

所以数轴上到[1]和[-3]所对应的点的距离之和大于等于[6]所对应点的坐标范围是[x≤-4]或[x≥2].

所以[fx≥6]的解集为[-∞，-4?2，+∞].

【评析】这种解法利用绝对值和不等式的几何意义，先找到满足条件的关键点[x=-4]和[x=2]，再利用数形结合思想求解.

（方法2）当[a=1]时，[fx=-2x-2，x≤-3，4，-31.]

于是[fx≥6]等价于[x≤-3，-2x-2≥6，] 或[x>1，2x+2≥6.]

解得[x≤-4]或[x≥2].

因此不等式[fx≥6]的解集为[-∞，-4?2，+∞].

【评析】这种解法是纯粹的代数解法，去绝对值转化为不等式求解.

（方法3）当[a=1]时，[gx=fx-6=-2x-8，x≤-3，-2，-31.]

于是[fx≥6]等价于[gx≥0].

所以[x≤-3，-2x-8≥0，] 或[x>1，2x-4≥0.]

下同方法2.

【评析】该解法与方法2本质上是一致的，不同之处是构造了一个新的函数[gx].

（方法4）函数[fx]的图象如图6所示.

由[-2x-2=6]，得[x=-4].

由[2x+2=6]，得[x=2].

故不等式[fx≥6]的解集为[-∞，-4?2，+∞].

【评析】与方法2和方法3一样，该解法也是利用函数求解不等式，差异在于该解法是借助函数图象利用数形结合思想求解，而方法2和方法3则是纯粹地运用代数方法求解.

（2）（方法1）由绝对值的几何意义，知[x-a]表示数轴上的点[x]到点[a]的距离，[x+3]表示数轴上的点[x]到点[-3]的距离，

于是[fx]的最小值为[a+3].

因此[fx>-a]当且仅当[a+3>-a].

解得[a]的取值范围为[-32，+∞].

【评析】要使[fx>-a]，只需要找到[fx=x-a+][x+3]的最小值即可. 该解法利用绝对值的几何意义求得函数的最小值，进而求解.

（方法2）因为[fx]=[x-a]+[x+3][≥][x-a-x+3]=[-a-3=a+3].

所以[fxmin=a+3>-a].

解得[a]的取值范围为[-32，+∞].

【评析】与方法1相比，该解法是用不等式的性质求得函数的最小值.

（方法3）当[a<-3]时，[fx]在[-∞，a]上单调递减，在[-3，+∞]上单调递增，在[a，-3]上恒为[-3-a].

因此[fxmin=-3-a>-a]，

解得[a∈?].

当[a>-3]时，[fx]在[-∞，-3]上单调递减;在[a，+∞]上单调递增，在[-3，a]上恒为[a+3].

因此[fxmin=a+3>-a]，

解得[a>-32].

当[a=-3]时，[fx=2x+3>3]不成立.

因此[a]的取值范围为[-32，+∞].

【评析】该解法依然是在寻找函数的最小值，但是利用了函数图象的单调性，并分段讨论求解.

（方法4）因为[fx=x-a+x+3>-a]，

所以[x-a>-a-x+3].

所以[x-a>-a-x+3]或[x-a

所以[2a>x-x+3].

令[gx=x-x+3]，

解得[gxmax=-3].

因此[a]的取值范围为[-32，+∞].

【评析】与前面三种方法不同，该解法是对参数进行了分离，之后构建新的函数，求出函数的最值，进而得到参数的取值范围.

四、复习建议

根据如上分析，对“不等式选讲”部分的高考复习提出如下建议.

1. 注重培养学生分析问题的能力和规范准确的表达能力

“不等式选讲”部分的高考试题一直以来都是以考向多变、思维灵活为主要特点，原因有两个：第一，从函数观点看待不等式，使得不等式问题的求解可以转化为函数问题，于是既可以用代数法求解，还可以通过数形结合求解;第二，绝对值的几何意义及不等式的性质使得求解方法灵活多变.

面对这样的特点，教师在教学中就要注重培养学生分析问题的能力，使他们学会选择最优的方法进行求解. 同时，要选择经典试题进行分析，利用不同的方法求解，提高学生思维的灵活性.

本部分试题不同解法的表达方式不尽相同. 相对而言，代数法计算量大，但是容易书写;几何法计算量小，但经常会出现表达不清楚、不准确的情况. 数学表达是数学思维的外在表现，也是考试得分的依据，因此要注意培养学生正确、清晰地表达自己思维过程的能力.

2. 注重培养学生思维的严谨性和知识的全面性

因为与函数关系密切，所以有些“不等式选讲”试题的设置接近函数问题. 例如，2021年高考的两道“不等式选讲”试题的第（2）小题，此类问题俗称“恒成立问题”，即已知某个不等式恒成立，需要求参数的取值范围. 这种问题很容易在“区间的端点是否可取”上出现错误. 因此，在教学中，教师要给学生提供切实可行的办法，如针对区间端点值是否可取进行验证，消灭“易错点”，培养学生思维的严谨性.

2021年高考对“不等式选讲”部分的考查均是有关绝对值函数不等式问题的解法，但是从历年该专题的相关试题来看，不等式的证明还会考查. 例如，2017年全国Ⅱ卷第23题，其依据是考试说明中的“了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法”. 因此，还要注重對不等式证明的复习，不能偏漏.

五、模拟题欣赏

1. 已知函数[fx=2x-m+2x+3m].

（1）若[m=12]，试解不等式[fx≤8];

（2）[fx≥7]恒成立，求实数[m]的取值范围.

解：（1）当[m=12]时，[fx=2x-12+2x+3].

所以[fx=-4x-52，x≤-32，72，-3214.]

因为[fx≤8]，

所以[-4x-52≤8，x≤-32，] 或[72≤8，-3214.]

解得[-218≤x≤-32]，或[-32

所以不等式的解集为[x-218≤x≤118].

（2）[fx=2x-m+2x+3m]

[≥2x-m-2x+6m]

[=7m]，

当且仅当[2x-m2x+6m≤0]时取等号.

因为[fx≥7]恒成立，

所以[7m≥7]，即[m≤-1或m≥1].

故[m]的取值范围是[-∞，-1∪1，+∞].

2. 已知函数[fx=3x-1+2x-3].

（1）如果关于[x]的方程[3x-1+2x-3=a]有两个不同的实数根，求[a]的取值范围;

（2）如果不等式[fx≤bx]的解集非空，求[b]的取值范围.

解：（1）[fx=3x-1+2x-3=5x-7，x≥3，x+5， 13≤x<3，-5x+7，x<13.]

当[x≥3]时，函数[fx]单调递增，并且[fx≥8];

当[13≤x<3]时，函数[fx]单调递增，并且[163≤fx<8];

当[x<13]时，函数[fx]单调递减，并且[fx>163].

综上所述，当[x≥13]时，函数[fx]单调递增，当[x<13]时，函数[fx]单调递减，且[fx≥163].

要使关于[x]的方程[3x-1+2x-3=a]有两个不同的实数根，则[a]的取值范围为[aa>163].

（2）记点[M3，8]，坐标原点为[O0，0].

所以直线[OM]的斜率为[k=83].

因为[f3=8]，

所以当直线[y=bx]的斜率[b<-5]或[b≥83]时，该直线与函数[fx=3x-1+2x-3]的图象相交.

因为不等式[fx≤bx]的解集非空，

所以[b]的取值范围是[bb<-5，或b≥83].

3. 已知函数[fx=x-3+x-a]，当[x≤3]时，[fx]的最小值是2.

（1）求[a];

（2）若[m+2n=a]，求证[5m2+n2≥1].

解：因为[x≤3]，

所以[x-3≤0].

所以[fx=x-3+x-a=3-x+x-a].

（1）当[a≤3]时，[fx=-2x+a+3，x≤a，3-a，a

所以[fxmin=fa=3-a].

由[3-a=2]，得[a=1].

当[a>3]时，由[x≤3]，得[x-a<0].

所以[fx=-2x+3+a].

所以[fxmin=f3=-3+a].

由[-3+a=2]，得[a=5].

综上所述，[a=1]或[a=5].

（2）当[a=1]时，[m+2n=1].

所以[5m2+n2=12+22m2+n2≥m+2n2=1].

当[a=5]时，[m+2n=5].

所以[5m2+n2=12+22m2+n2≥m+2n2=25≥1].

综上所述，若[m+2n=a]，[5m2+n2≥1]得证.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（实验）[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[2]周妍，吴丽华. 2020年高考“选考内容”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（11）：51-58.

[3]赵岩. 2020年高考“选考内容”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（11）：59-64.