初中几何最值问题探究

伍法正

摘要：近些年，各地的中考题或是中考模拟试题中，几何最值问题频频出现，大多数学生觉得这类问题比较难甚至对这类问题无从下手。

关键词：几何;最值;动点

1 学情分析

知识储备：七、八年级时，学生已经学习了“垂线段最短”，“两点之间，线段最短”以及“三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。但是学习的只是简单的知识点，并没有掌握透，更不能熟练应用。

2 教学目标

（1）从生活中的“贫农引水”问题开始，探究并解决初中常见的几个几何最值问题。

（2）培养学生观察、分析、解决问题以及独立思考和合作交流的能力，渗透数学思想，提升学生的数学核心素养。

（3）通过解决生活中的数学问题，感受数学来源于生活;通过解决数学问题，让学生感受数学的魅力，体验成功的乐趣。

3 教学重点与难点

重点：通过构造、建立几何最值模型，求出几何最值。

难点：找到问题的切入点，建立合适的最值模型。

4 教学准备

几何画板

5 教学过程设计

活动1  温故旧知1

一位贫困老农夫家前有一条河l，他要把河中的水引到他的农田A进行灌溉，他想如何修渠道使渠道最短，最省力，最省钱？诗云：小河流水哗啦啦，修渠引水到我家。我家本是穷哈哈，如何修渠少点花？

设计说明：1、从学生的最近发展区出发，通过“贫农引水”问题，回顾知识点：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称"垂线段最短”。引入本节课的知识。

问题1  如图，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，点Q是边AC上的一动点，则BQ的最小值为_________.

学生1：过点B作AC的垂BG，垂线段的长度4即为所求。

设计说明：这个问题基本上所有的学生能解决。通过这个问题，激活学生已有经验，巩固“垂线段最短”这一知识点。

变式：如图，在锐角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_________.

学生2：和上面的题一样，过点B作AC的垂BM，垂线段的长度4即为所求。

老师（追问）：你能解释一下吗？

学生2：在边AC上总能找到一点N’，使得MN’= MN，只要求BM+MN’的最小值即可，而BM+MN’的最小值就是垂线段BG.

设计说明：这3个问题所用到的基本知识点还是“垂线段最短”，层层推进，难度依次加大。学生可以通过转化，将两条线段的和问题转化为垂线段问题，渗透化归思想。让学生体验成功的乐趣，获得思考的成果。

活动2  温故旧知2

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说："白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. "诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图：将军每天从军营A出发，先到河l边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？为什么？

设计说明：1、从学生的最近发展区出发，从原始的“将军饮马”问题开始，巩固所学知识。

2、回顾“将军饮马”问题所用到的两个知识点：① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;② 两点间线段最短;

问题2  如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，P是BD上一动点。连结EP，CP，则EP+CP的最小值是______;

学生3：连接AE，因为A、C两点关于BD对称，PA=PC，所以EP+CP=EP+AP，EP+AP的最小值为AE的长。

追问：那△PEC周长的最小值是多少？

學生4：因为EC的长不变，只要EP+CP最小，则△PEC的周长最小。所以△PEC的周长最小值为3+。

变式：如图，正方形ABCD的边长为6，一宽为1、长度足够的矩形EFGH的两顶点E、F落在直线BC上，矩形EFGH的边HE⊥BC，交正方形对角线BD于M、N两点，连接CM、CN则CM+CN的最小值是______;

学生5：将点C沿着DB的方向向下平移个单位到C’，则C’N=CM. CM+CN=C’N+CN，CN+C’N的最小值为AC’的长。

设计说明：巩固“将军饮马”问题所用到的知识。随着问题的层层推进和难度的的加大，给学生灌输化归思想，让学生体验成功的乐趣。

活动3  探索新知1

设计说明：学习巩固了“将军饮马”问题（两定点一动点），加深难度，引入两动点一定点的问题。引导学生将两动一定问题转化“将军饮马”（两定一动）问题，渗透化归思想。

结论1：找准“两定一动”和“两动一定”问题的切入点，利用”① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;② 两点间线段最短”知识点，解决问题。

活动4  温故旧知3

如图，已知线段OA的长为6，⊙O的半径为4，点P为⊙O上的一动点，求AP的最大值和最小值。

学生6：最大值为10，最小值为2

设计说明：通过这个最基本的图形，让学生自己回顾或者总结出：圆外一点到圆上的点的距离最值问题，AP的最大值等于OA+r，最小值等于OA-r。

问题3 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是多少？

学生7：因为无论点B’落在何处，B’E都会等于BE，所以B’会落在以点E为圆心，2为半径的圆上，所以B′D的最小值为DE减去半径2.所以B′D的最小值为-2。

变式：如图，边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值

学生7：和上面的问题类似，因为无论点A’落在何处，A’M都会等于AM，所以B’会落在以点M为圆心，2为半径的圆上，所以A′C的最小值为CM减去半径2.所以B′D的最小值为-2。

设计说明：通过这两个问题，让学生找到解决圆外一点到圆上一点的距离最小值的途径，看到问题的本质，让学生熟悉问题，感受成功，体验学习的乐趣。

活动5  知识小结

（1）学生自己归纳小结本节课的主要知识要点

（2）老师补充，提升高度。

设计意图：学生自己梳理、小结本节课的知识要点，形成体系，有助于学生理解掌握本节课的知识。学生总结，可以提高学生的总结归纳能力和语言表达能力，培养学生的数学素养和综合素养。

6课后练习：

1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于點E，则线段CE长度的最小值为         .

2、如图，平面直角坐标系中，分别以点A（-2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点则PM+PN的最小值为

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为

4、已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC， ∠CAD=45°，AC=4，E是线段BD的中点，则CE的最小值是

5、如图，已知∠MON=30，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90得CE，连结BE，若AB=4，则BE的最小值为

设计说明：这5道练习，是本节课知识的巩固。后两道题相对前三道要难。通过不同层次的问题，体现分层教学，尽可能使不同层次的学生都能有所收获。