基于NSGA-II 的城市桥梁系统震后可恢复性分析与优化

2021-03-22寇峥，李宁

工程力学 2021年3期

寇峥，李宁

(1. 天津大学建筑工程学院，天津 300350；2. 中国地震局地震工程与工程振动重点实验室，中国地震局工程力学研究所，哈尔滨 150080；3. 滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室(天津大学)，天津 300350；4. 中国地震局地震工程综合模拟与城乡抗震韧性重点实验室(天津大学)，天津 300350)

可恢复性(Resilience)概念被引入土木工程领域后，国内外相关研究增势迅速。Bruneau 等[1]将灾后可恢复性定义为“社会单元在灾难发生时承受灾害、自我恢复的能力”、“可将受到的损失降到最低并减轻灾害长期影响的能力”，可恢复性包括四个基本性质，分别为鲁棒性(robustness)、冗余性(redundancy)、资源性(resourcefulness)和快速性(rapidity)。为了明确分析可恢复性的效益，上述研究从技术、组织、社会和经济四个方面出发，为了得到更可靠、更快修复或更低损失，建议可恢复性采用可恢复性指数R 定量计算：

式中： R 为可恢复性指标； t0为地震发生的时间；tr为震后修复完成的时间；Q(t)为功能随时间变化的函数。

式(1)的不足在于，当震后功能修复至超出原功能时，将导致被积函数结果为负、失去意义。因此文献[2]提出了侧重于可恢复性本身的计算方法：

然而，式(2)在某些情况下并不适用，例如，一个快速修复的过程可能得到的是一个较低的可恢复性指标。为此，消除修复过程长短的影响，得到了目前普遍接受的可恢复性指标[3]：

式中， th为检测完成的时间，其他参数如图1 所示。

目前，国内对单体结构可恢复性研究开展较多。周颖和吕西林[4]综述了可更换构件、摇摆和自复位结构研究进展，提出了“可恢复功能结构”。李英民等[5]在基于性能的结构抗震设计方法基础上，提出结构在不同损伤机制下的安全、经济和可恢复性评价方法。何政等[6]提出不同的结构抗震可恢复性等级，结合易损性分析，采用结构剩余抗震能力比，评估结构大震安全性，提出基于抗震可恢复性的设计框架。

图1 可恢复性评价中结构功能曲线模型Fig.1 Function curve in structural resilience evaluation

桥梁震后可恢复性研究主要集中在震后可恢复性评价、损失计算等。许圣[7]以钢筋混凝土连续梁桥为例，提出了可恢复性能力指数和抗震可恢复性效益。Andrić和Lu[8]采用模糊函数量化各影响参数，用震后损失和恢复能力评估桥梁可恢复性。何超超和项贻强[9]选取桥梁结构的极限承载力作为功能指标，提出了基于经验调查和力学比拟的两种功能恢复模型，并建立灾害可恢复性指标和分级评价标准。李宁等[10]为了实现基于性能的桥梁结构全寿命设计，结合城市桥梁修/改造方案，提出了震后桥梁可恢复性和可持续性评估框架。Dong 和Frangopol[11]研究了单桥的可恢复性，提出了公路桥梁在主、余震作用下的抗震性能评估框架，对比了主震和余震作用的不确定性影响，考虑主、余震震后直接、间接经济损失，给出风险降低实施策略。Zheng 等[12]提出了一种基于可恢复性和桥梁生命周期损失的评估方法，从可恢复性和经济损失两个维度分析了桥梁可恢复性能。Vishwanath 和Banerjee[13]建立了考虑桥梁时效损伤的地震可恢复性评估方法，结合震后桥梁损伤和修理工期所造成的直、间接经济损失，对桥梁的可恢复性进行评估。

对基础设施系统的可恢复性研究也是国内外研究热点之一。Liu 和Frangopol[14 − 15]基于可靠度和串并联路径模型提出桥梁网络总体性能评估方法，并评估了单桥在桥梁网络中的重要性，关注可靠度和维修成本，对连通性、用户满意度和关键桥可靠度的概率分析，得出综合评价桥梁网络性能的数学模型，为桥梁系统优化提供指导。Bocchini 和Frangopol[16]考虑了最大化可恢复性和最小化总成本的干预方案，辅助极端事件后桥梁网络干预的决策过程，提出桥梁网络决策优化方法。Karamlou 和Bocchini[17]提出了桥梁网络震后修复策略，通过最小化灾后受损单位与临近救援单位的连接时间，最大化桥梁网络的可恢复性，提供修复策略。何峰[18]以桥梁结构安全和交通系统通行能力为评价指标，研究考虑构件权重的单桥可恢复性，结合交通流分配情况进行震后可恢复性量化分析。

综上，基础设施震后可恢复性分析热度不减，考虑系统可恢复性提升、优化的问题复杂，在可恢复性设计中应利用基础设施的“备灾”和“承灾”能力，实现功能快速恢复，目前仍存在许多问题有待解决，也是城市发展和经济进步关注的热点领域[19]。由于地震风险不同，不同的加固策略所需成本和产生的效果不同。为了提升城市桥梁系统韧性，通过计算震后可恢复性指标、经济损失，与震前维护改造费用作为多目标优化问题，应用遗传算法求取最优解集，建立一种基于可恢复性的桥梁系统震前优化维护方案。本文的分析步骤如图2 所示。

图2 桥梁网络抗震与减灾策略流程图Fig.2 Procedure of seismic resistant and disaster mitigation strategy for urbun bridge networks

本文分析桥梁网络可恢复性指标受上述参数(桥梁风险、经济损失、震前维护、恢复模型等参数)的影响；采用NSGA-II 多目标优化算法[20 − 21]，解决非凸多目标优化问题；对震后经济损失、震后可恢复性和加固改造费用采用提出的方法进行案例计算，明确桥梁系统抗震灾前加固策略的最佳方案，并以各桥梁加固改造决策的Pareto 最优解[22]为例进行说明。

1 桥梁震后功能恢复模型

基于可恢复性理论[3]的计算式(3)，桥梁可恢复性能需要考虑多种因素进行分析，包括桥梁备灾水平、抗震性能、空闲时间、修复时间和检测时间等。本节仅对考虑备灾水平的功能恢复模型建议。考虑备灾水平及抗震性能采用前期计算得到的桥梁理论易损性函数、震后剩余功能和修复时间。

1.1 震后剩余功能测算依据

桥梁震后剩余功能可定义为桥梁在不同地震作用下的性能水平，因此基于此结果可以预测此类桥梁震后功能损失，进而判断是否可以恢复交通。桥梁震后功能水平[23]分别为：立即通行、流量限制、开通一半的车道、打开应急车道和完全关闭。功能定义在0 到1 之间，分别为：Fun>0.9、0.6

给出震后剩余功能计算模型，本文以多跨连续梁桥(MSCC)为例，根据表1 地震损伤参数[24]和损失功能的三角数，用蒙特卡洛方法进行10 000次抽样模拟，如式(4)：

式中：Q(t)表示第t 年的震后剩余功能；PDi|PGA为给定的PGA 作用下桥梁处于不同损伤状态的概率；FRi表示与损伤状态i 相应的功能损失的三角数，其分布如表2 所示[8]。

表1 桥梁地震损伤参数Table 1 Parameters for seismic damage of bridges

表2 功能损失的参数类型Table 2 Parameters and distributions of structure function loss

计算多跨连续梁桥的震后剩余功能，如图3～图5 所示。

图3 不同PGA 下多跨连续梁桥剩余功能Fig.3 Residual functionality of MSCC under different PGA

图4 不同桥梁寿命下多跨连续梁桥剩余功能Fig.4 Residual functionality of MSCC during life-cycle

图5 剩余功能的概率分布范围Fig.5 Probability density function of residual functionality

图3 给出了多跨连续梁桥在不同PGA 震后的剩余功能。当遭遇PGA>0.6 g 的地震后，桥梁的剩余功能小于0.4，必须打开应急车道缓解交通压力。

由图4 可见，震后剩余功能随寿命的增加而减小。当遭遇PGA=0.25 g 的地震后，功能下降9.28%；当PGA=0.50 g 时，下降18.9%，即，随PGA 增大桥梁震后剩余功能下降呈增大趋势。复合客观实际。以桥梁寿命40 年为例，当遭遇PGA<0.50 g的地震后，震后剩余功能大于0.4，不需要完全关闭，以应急车道增加运力即可。

图5 所示为PGA=0.20 g 和0.25 g 时，震后剩余功能的概率分布，可知震后剩余功能均值分别为0.761 和0.705，且分布范围均在0.6～0.9，此时，可以限制流量或车道通行。

1.2 修复时间测算依据

桥梁震后修复时间(Recovery Time)关系到震后何时以及如何恢复交通，以尽可能减少震后产生的损失。参考式(4)给出桥梁震后修复时间的计算公式：

式中：R(t)表示第t年的震后修复时间；PDi|PGA为给定的PGA 作用下桥梁处于不同损伤状态的概率； Ri表示与损伤状态i相应的修复时间的三角数，其分布形式[25]及计算流程同2.1 节，此处不再赘述。

1.3 震后功能恢复模型

而恢复功能模型主要有：逐步恢复型、直线型、三角函数型和指数型恢复模式。对于不同的修复方案采用不同的恢复函数，并用于抗震可恢复性评价标准，如表3 所示。为了评估震后的可恢复性，本文给出一种基于sigmoid 函数[26]的通用恢复模型：

式中：a 和c 为变量；t 为修复时间。参数a 可以改变曲线的变化率，参数c 可以使曲线沿横坐标移动，通过改变参数a 和c 的值，可以得到三角函数型、慢速恢复和快速恢复模式，如图6 所示。

表3 抗震可恢复性评价标准Table 3 Criteria of resilience performance evalution

图6 Sigmoid 函数表述功能恢复模式Fig.6 Sigmoid function of bridge recovery pattern

例如，假设桥梁结构受中等损伤，以365 d 为调查时间，取空闲时间60 d、监测时间65 d、恢复时间240 d。若采用快速恢复、慢速恢复和一般恢复模式，其恢复模式相关的可恢复性指标如图7 所示。可以看出，采用快速修复模式的可恢复指数最高，为0.771，可恢复性为良好；采用一般型恢复模式的可恢复指数为0.631，可恢复性良好；采用慢速修复模式的可恢复指标为0.576，可恢复性较差。可恢复性与地区备灾资源有关，如果该地区救灾资源较多，震后可以迅速采取快速、有效措施修复桥梁；但如果该地区救灾资源较少，震后采取慢速修复措施；而信息不确定地区，可以采用一般型恢复模式介于两者之间。当然也可以采用更复杂的模型，此处不再赘述。

图7 不同恢复模式的可恢复性Fig.7 Resilience for different rehabilitation models

通过蒙特卡洛模拟考虑参数不确定性。考虑桥梁的设计使用年限为50 年，可以计算桥梁在不同地震动峰值加速度下的震后可恢复性，本文以城市多跨连续梁桥为例说明，如图8 所示。

图8 桥梁震后可恢复性Fig.8 Seismic resilience performance of bridges

以快速型恢复模式为例，当遭遇PGA=0.2 g的地震后，多跨连续梁桥的震后可恢复指标为0.911，根据表2 可以得出多跨连续梁桥的震后可恢复性为出色；而当遭遇PGA=0.6 g 的地震后，多跨连续梁桥的震后可恢复指标为0.682，为中等可恢复。

2 桥梁的震后经济损失

受篇幅所限，震后经济损失以多跨连续梁为例，后续计算还考虑了单跨钢构桥、单跨混凝土梁桥、多跨连续板桥、多跨箱梁桥型。此时桥梁震后情况涉及的易损性分析方法和参数取值可参见文献[10]。

2.1 直接经济损失

震后直接经济损失包括清除废墟、建造临时通路和重建桥梁有关修复成本[25]，计算式如下：

式中：CREP,i为震后直接经济损失；RCRi为桥梁在损伤状态i 时的修复成本比率；CREB为每平方米的修复成本；W 为桥梁的宽度；L 为桥梁的长度，如表4 和表5 所示；r 为时效劣化系数(3.7%/10 年)[27]。

表4 修复成本计算参数Table 4 Repair cost evaluation parameters

表5 不同损伤状态的修复成本比Table 5 Repair cost ratio for different damage conditions

考虑不同PGA 代表的地震风险，计算不同桥梁在设计使用年限内的震后直接经济损失，如图9所示。当遭遇PGA=0.25 g 的地震后，30 年的多跨连续梁桥的震后直接经济损失为28 万元～60 万元；而当遭遇PGA=0.75 g 的地震后，直接经济损失为179 万元～544 万元，桥梁的震后直接经济损失随桥梁寿命增长而增加。

图9 震后多跨连续梁桥直接经济损失Fig.9 Direct economic loss of MSCC due to earthquake

考虑桥梁的使用年限的不同，可以计算多跨连续桥梁在不同强度地震后的经济损失，图10 绘制了多跨连续梁桥的震后直接经济损失，例如，当遭遇PGA=0.50 g 的地震后，多跨连续梁桥的震后直接经济损失为102 万元～324 万元。

图10 考虑地震和劣化的桥梁震后直接经济损失Fig.10 Direct economic loss of bridges due to earthquake and degradation

当桥梁遭遇PGA = 0.5 g 和PGA = 1.0 g 的地震后，可计算多跨连续梁桥震后直接经济损失的频率分布直方图，如图11 所示。对PGA=0.5 g 和PGA=1.0 g 的地震，多跨连续梁桥直接经济损失的均值分别为145 万元和428 万元。

图11 桥梁震后直接经济损失分布直方图Fig.11 Histogram of direct economic loss of bridges

2.2 震后间接经济损失计算

桥梁的震后间接经济损失主要包括车辆绕行的运营成本和时间成本。它可能产生比修复或重建受损基础设施成本高的后果。当桥梁遭遇地震后，桥梁功能会降低，交通流将在包含该桥所在的桥梁网络之间重新分配，影响应急响应和恢复运营。本文沿用参考文献[10]考虑和计算，此处不再赘述。

3 改进可恢复性能措施

3.1 加固措施对抗震性能提升

通过各损伤状态相关的易损性曲线来表明加固措施对桥梁抗震性能的影响。选择地震动强度中值作为自变量参数，则在加固后桥梁的地震动强度中值计算公式如下：

式中：mi(t)为不采取修造加固措施下与损伤状态i 对应的地震动强度中值；γRET,i为与损伤状态i 对应的韧性提高比率。

图12 定性地给出了加固措施对单座桥梁易损性的影响，为多跨连续梁桥有、无加固下的易损性曲线。可以看出在加固措施后桥梁的失效概率出现不同程度的降低，不同损伤状态相关的地震动强度的中值有所提高。假定加固措施使桥梁某一损伤状态相关的地震动强度中值提高到某一水平，则桥梁在轻微损伤、中等损伤、严重损伤和倒塌破坏状态下，与采用钢夹套提升韧性后的地震强度中值增强比[28]为0.55、0.75、1.04 和1.45。假设桥梁网络中所有的桥梁在不同损伤状态下有不同的强化比，来反映加固后的效果。

图12 易损性曲线体现的桥梁加固效益Fig.12 Resilience changes with representative fragility curves

3.2 可恢复性提升措施成本

通过震前加固改造防患于未然，实施的总成本[29]公式如下：

对于第i 座桥梁采用j 措施的成本计算公式如下：

式中： Wi和 Li分别为第i 座桥梁的宽度和长度；γRET,j为j 措施的改造费用比；cREB为每平米桥梁的重建费用。限于篇幅，此处不再赘述。

4 桥梁系统地震可恢复性

4.1 系统性能分析

本文演示简单桥梁网络系统模型为例，模型如图13 所示。以PGA=0.25 g 为例，假设1 号桥为多跨连续梁桥，2 号为多跨连续刚构桥，3 号为多跨简支梁桥，且均为新建桥梁，不考虑震中距的影响，假设桥梁网络以匀速修复到初始状态。

图13 城市桥梁系统模型Fig.13 Networks for urbun bridge netwroks

3 种桥梁系统网络遭受地震作用时，计算参数如表6～表8 所示。

表6 串联模型震后参数Table 6 Series model paramters subjected to earthquakes

表7 并联模型震后参数Table 7 Parallel model paramters subjected to earthquakes

表8 串并联模型震后参数Table 8 Series-parallel model paramters subjected to earthquakes

对于桥梁网络a 来说，当PGA>0.20 g 后，桥梁网络的剩余功能下降明显，而对于桥梁网络b和网络c 来说下降较平缓，通过以上参数计算桥梁网络的震后可恢复性，如图14 所示。

图14 桥梁系统在不同PGA 作用下的可恢复性Fig.14 Reslience performance for bridge network subjected to different earthquake PGAs

桥梁网络a 的三座桥梁处于串联状态，某一座桥梁的损坏会影响整个桥梁网络的通行状态，而桥梁网络b 的桥梁处于并联状态，某一座桥梁的损坏不会造成整个桥梁网络通行受损，对于桥梁网络c 来说，桥梁2 或桥梁3 其中一座桥梁的损伤并不会导致整个桥梁网络的通行，如果桥梁2和桥梁3 均无法通行，那么恢复其中一座桥梁也可以使整个桥梁网络通行。

5 多目标优化算法NSGA-II

当桥梁进行抗震加固后，桥梁的可恢复性有一定提升；若加固不及时，会导致桥梁可恢复性低于预期。一般而言，不仅希望震前改造费用小，还希望桥梁的震后可恢复性高、经济损失小，即多目标优化选择。由于多目标优化问题存在多个目标函数，最终解是Pareto 最优解组成的解集[30]，如图15 所示。本文旨在给出震前加固顺序方案，由于不同的决策者会根据主、客观条件(考虑改造费用、震后可恢复性和震后损失)，选择不同的方案。即，加固策略优化为决策者提供了一个最优解集，而非单一最优加固改造方案，便于发挥主观选择的优势。

图15 Pareto 最优解示意图(2 个优化目标函数)Fig.15 Pareto solution plot for 2 optimization objects

桥梁加固措施的目标是确定桥梁在正常使用下的震后可恢复性、经济损失和震前加固费用满足Pareto 最优的要求，其表达式如下：

式中：T=(T1,T2,···,Ti,···) 和R=(R1,R2,···,Ri,···)分别为加固时间序列和加固措施序列，其中，Ti和 Ri分别为第i 次加固时间及加固措施；CRET为震前桥梁系统总加固费用；C(t)为桥梁系统服役t 年的震后经济损失；R(t)为相应可恢复性；[R]和[CRET]分别为可接受的可恢复性和加固费用；t 为时长，本文统一取1～30 的整年；n 为整个t 年内加固的总次数，本文[n]取1 次。

遗传算法主要由：编码、生成初始种群、适应度评价、选择、交叉与变异和终止准则等组成。可以解决单、多目标，连续、离散，凸和非凸优化问题。Deb 等[21]提出了带精英策略的非支配排序遗传算法(Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm - II，NSGA-II)，该算法引入快速非支配排序算法、精英策略，采用拥挤度比较算子，降低了算法的计算复杂度，使得Pareto 最优解前沿中的个体能均匀地扩展到整个解空间，保证了种群的多样性，可以使多个目标简化至适应度函数的方式，解决任意数量的多目标优化问题。NSGA-II算法具备较高的效率和鲁棒性，已成为解决多目标优化领域的基本算法之一。

6 算例分析

采用NSGA-Ⅱ优化算法，选择桥梁系统如图16所示，起点为节点1，终点为节点4，由10 座桥梁构成，其中1 号、6 号和10 号桥梁为多跨连续梁桥，2 号、3 号和8 号桥梁为多跨简支梁桥，4 号、9 号桥梁为多跨连续刚构桥，5 号、7 号桥梁为多跨简支箱梁桥。假设桥梁相互独立，且各路段重要性都相同，本文忽略震中距的影响。

若在震后经济损失和震前加固改造费用之间寻求桥梁网络中桥梁改造行动的最佳时机，通过NSGA-II 遗传算法计算得到的解如图17 所示。每个帕累托最优解对应韧性提高、加固成本和经济损失的关系。为了说明方便，分别进行探讨，如图18所示，考虑修造费用和震后损失的Pareto 解集。

图17 多目标函数优化生成Pareto 解Fig.17 Pareto solution for multi-objects optimization

策略A 和策略B 加固改造时间序列如图19 所示。策略A(图19(a))相应年度的预计震后经济损失，策略A 第2 年对桥梁1、7 改造，第3 年对桥梁6、8 改造，第5 年对桥梁2 改造，第6 年对桥梁3、9 改造，第8 年对桥梁4、5 改造，第23 年对桥梁10 改造。策略B(图19(b))是一种高风险，低成本的解决策略，最大的预计经济损失为607 万元、改造费用为331 万元。与策略A 相比，

图18 考虑修造费用和震后损失的Pareto 解集Fig.18 Pareto solution for repair cost and earthquake loss

图19 策略A 和策略B 效果对比Fig.19 Comparison of strategies A and B

策略B 加固改造成本的降低导致了更高的预计经济损失。策略B 第1 年对桥梁7 改造，第4 年对桥梁2 改造，第6 年对桥梁1、6 改造，第14 年对桥梁5 改造，第18 年对桥梁4 改造，第19 年对桥梁3、9 改造，第29 年对桥梁8、10 改造。通过对桥梁网络中现有的桥梁进行震前加固改造，可以降低桥梁网络地震灾害相关的风险。

若在震后可恢复性和震前加固改造费用之间寻求桥梁网络中桥梁改造行动的最佳时机，通过NSGA-Ⅱ计算得到的解如图20 所示。

图20 考虑修造费用和可恢复性能的Pareto 解集Fig.20 Pareto solution for repair cost and resilience

策略C 和策略D 加固改造时间序列如图21 所示，每个帕累托最优解对应改造成本和可恢复性的关系。可以看出随着改造费用的提高，桥梁网络的震后可恢复性提高。策略C 和策略D 是图示两种不同的改造策略，策略C 代表一种低加固改造成本，低可恢复性的策略，每年最大的预计加固改造成本为332 万元，可恢复性为0.8187，可恢复性表现为出色。图21(a)给出了策略C 相应年度的预计可恢复性变化，策略C 表示第2 年对桥梁10 改造，第4 年对桥梁1、4～9 改造，第5 年对桥梁2 改造，第14 年对桥梁3 改造。策略D 是一种高加固改造成本，高可恢复的解决策略，每年最大的预计改造成本为535 万元，可恢复性为0.8509，可恢复性表现为出色。与策略C 相比，策略D 加固改造成本的提高导致了更高的可恢复性，图21(b)给出了策略D 相应年度的预计可恢复性变化。策略D 表示在第1 年对桥梁6 改造，在第2 年对桥梁5、7 和9 改造，在第4 年对桥梁1、10 改造，在第12 年对桥梁3 改造，在第16 年对桥梁4 改造，在第19 年对桥梁8 改造，在第20 年对桥梁2 改造。通过震前加固改造，降低与桥梁系统地震灾害相关的风险，提高桥梁网络的震后可恢复性。