核心问题导引下的数学高阶思维培养——以“二分法求方程的近似解”为例

叶建聪

（厦门市五显中学，福建 同安 361100）

一、问题提出

数学教学中思维含量的多少是课堂是否有质量的标志，数学教师的任务就是要能够把自己对所教授知识的深入研究和深刻的理解融入课堂教学中.简单记忆与模仿是远远不够的，需要感悟与思维同行.只看到了知识的传授，看不到数学对人的高阶思维的影响，那就没有看到数学教育最根本的东西.学生从数学课上学到的逻辑推理能力和思考能力，将伴随着他们今后的学习和工作.那么，怎样训练学生的数学思维呢？教师要创设适切情境，根据知识的发生发展过程，利用“观察”“思考”“探究”等栏目提出问题，引导学生逐渐进行思考，通过提高数学能力，发展数学实践能力及创新意识，培育科学精神，促使学生学会学习.［1］本文将以“二分法求方程的近似解”为例，着力探索核心问题导引下的数学高阶思维培养.

二、课堂教学实录

（一）创设情境，提出问题

创设复杂性情境，是学生高阶思维发展策略的第一步，也是关键一步.传统的问题情境，学生思维受限，存在可预见性、确定性的逻辑，而有一定思维难度的复杂情境更能激发学生解决问题的思维，有利于培养学生的高阶思维.

基于核心素养的教学，要特别注重设置合理的问题情境和提出精准的问题，而绝不是简单的堆砌和联结，同时不能脱离学生实际，设置过高难度，抱着“学生不会我再讲”的心理预设，经常这样会挫伤学生探究积极性，而应让复杂情境落地于学生“最近发展期”.

［教学片断1］

问题1：有一根装有一颗珍珠的不透明的胶管、一根牙签和一把剪刀，你能把珍珠找出来吗？

问题2：中央电视台“幸运52”录制现场——商品“猜价格”游戏.参加游戏的人如果在有限的时间内说出商品价格，便可竞得该商品.在竞猜的过程中主持人只能提示“高了”或“低了”.

从现实生活问题入手，启发学生寻找解决问题的办法，为后面“二分法”的学习埋下坚实的伏笔.激发学习兴趣，提高学生归纳演绎能力，并进行简单的数学建模，对现实问题进行数学抽象，用数学知识与方法构建模型解决实际问题.

（二）聚焦核心，思考交流

高阶思维训练的重中之重在于明确训练的核心.通过核心问题的提炼与思考，促使教师研究课标，吃透教材；通过核心问题的思考研究和解答，促使学生能够很好地达成提升能力发展素养的目标.也就是逐渐改变教师满堂灌，学生被动听，课下疯狂练的陈旧低阶课堂模式.有些核心问题可以让学生独立思考交流研讨完成，有些需要教师启发引导，学生半独立完成，而有些可能还是要依靠教师的示范讲解.那么，在本课堂中，情境核心问题是什么？如何由情境提炼出连续函数和它的应用——二分法.

学生在训练过程中，会感到“猜价格”与“二分法”之间，现实情景与数学内容是两张皮.在“猜价格”情景里，学生见不到“连续函数”，见不到“区间端点的函数值异号”，见不到“函数零点”，见不到“方程”，见不到“方程的解”等等.如何由“猜价格游戏”提炼出连续函数和它的应用——二分法？就是一个核心问题.

笔者这样处理：假设商品价格为c 元，介于a 元与b 元，我们猜的价格是元，得到连续函数，定义域为(a，b)；并且“人猜对的价格”对应着方程的根.学生在这个问题情境中，掌握了二分法，清楚连续函数的应用.因此教师要懂得善用“核心问题”激活课堂，重视学生高阶思维的培养.

（三）发现问题，师生互动

［教学片断2］

师：大家试试求解几个方程（1）-x2+3x+4=0（2）x3+2x-5=0（3）lnx+2x-6=0

生：可以用十字相乘法求方程-x2+3x+4=0的解

师：你还有什么方法求x3+2x-5=0 的根？

生：求根公式法、十字相乘法等解决不了.

师：方程x3+2x-5=0 是否存在根呢？若存在根的一个区间在哪里？

生：可以将方程变形为y=x3y=-2x+5，由图象可知方程有个根落在（1，2）

师：变形唯一吗？为什么要这样处理？

生：不唯一，为了作图方便.

生：f(1)<0，f(2)>0，说明在（1，2）上存在零点.

师：能否判断几个零点？如何解决？

生：y=x3与y=-2x+5 的图象交点只有一个，方程的根也唯一.

生：y=x3+2x-5 在R 上单调递增，且f(1)f(2)<0，可以判定原函数只有一个零点，通过不断的追问，反问、正问，促进学生思维上积极思考.

（四）问题引领，辨析本质

［教学片断3］

师：怎样进行有效缩小根所在的区间呢？

学生互相讨论，选取几个学生回答问题.

学生1 在（1，2）内随意选了几个数值代入试探，没得到什么结果.生2 试着y=x3，y=-2x+5 由图象观察交点的大致位置来缩小区间，但是始终得不到预期效果.方法处理起来粗糙.生3 可能受了生1 的启发，计算了f(1.5)>0

生3：f(1)f(1.5)<0，利用存在性定理判断有零点.

生：二等分，也就是取中点.

师：能否描述二分法？

生：对于在区间［a，b］上连续不断，且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫作二分法.

师：二分法实质是什么？

生：用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近思想”逐步缩小零点所在的区间.

师：如何估计出零点的大概范围？

师：求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？

生：确定区间［a，b］，使f(a)f(b)<0

师：为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？

生：求区间的中点c，并计算f(c)的值.

师：若f(c)=0 说明什么？

生：c 就是零点.

师：若f(a)·f(c)<0 或f(c)·f(b)<0？

生：……

师：怎样停止这个可能无限的缩小过程？

生：精确度.

师：若给定精确度ε，如何选取近似值？

生：当|m—n|<ε 时，区间［m，n］内的任意一个值都是函数零点的近似值.

有深度的数学思维是指那种质疑性、批判性、反思性的思维.通过学生的合作学习，师生间的思维批判、相互质疑，教师的答疑解惑等，让学生模糊的认识得以清晰.学生弄清了疑惑之点，掌握了核心知识，理解了学习过程，把握了学科的本质，认知得到了升华和提高，高阶思维也得到了有效发展.学生体验到用二分法来求近似解的完整过程，进一步理解掌握二分法的重要方法.

（五）迁移应用，反思践行

引导学生通过观察与发现、联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用，由此塑造高阶思维的雏形.它有利于培养学生观察发现、直观想象、分类讨论、抽象概括、推理论证等能力，在具体情境中，借助几何直观和空间想象，利用图形理解解决数学问题，提升直观想象、推理论证等核心素养.

问题3：方程x3+2x-5=0 的根落在区间（1，2），若精确度为0.001，最多需要运算几次才能得到方程的近似解？

问题4：方程lnx+2x-6=0 的解存在吗？会落在什么区间？

优化学法让学生会学，善学，要教给学生思考数学问题的方法，提炼研究问题的一般方法，渗透学科的观点，思想应用数学知识.解决实际问题本身就是一个解决数学问题的过程；在数学知识的应用过程中还可以提出有意义的数学问题，而一个好的数学应用问题本身又构成一个好的数学情境.［2］

（六）回顾反思，提炼升华

问题5：二分法只能求函数零点的近似解吗？

问题6：二分法解题的步骤有哪些？

问题7：是否所有得到零点都可以用二分法来求其近似解？

引导学生回答，他经历了什么，学习到了什么，还有什么疑惑……小结时切忌：不聚焦课题、不联系实际、不指向具体、不揭示联系.忌用套话取代事实，用标签取代具体，用结论取代过程.小结得不好不如没有.事实上，数学思维的渗透、体悟和理解是通过生动活泼的思维活动来实现的.

（七）课后探究、深化理解

要让课堂训练形成高阶思维雏形定型，并有效转化为自身的核心素养，反哺思维活动，这就需要辅之以研究性学习活动.开展研究性学习，发挥生态课堂的育人价值，开展研究性学习能够促进生态课堂的良性发展.这里的研究性学习就是数学探究.这种探究意识不仅表现在教学行为上，而且铭刻到教师的思想里，驱使其组织学生一起去经历探索.通过探究层层展开，将学生带进了探索知识、方法、思想的乐园.数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体，也是提升高阶思维的有效手段.

本节课为了更好地了解二分法的来龙去脉，开展研究性学习活动，把班级分组进行，学生通过了解“中外数学史上的方程求解”或“高次代数方程的解”，写写小文章，谈谈体会.学生在探究过程中感受数学家奋斗的历史，追寻数学家历史足迹，无形中渗透了数学文化.

三、几点反思

教什么，如何教？是当前摆在教师面前的一大难题.数学核心素养的培育，不能简单地看数学课堂讲解.培养学生高阶思维，需要学生深度参与思考、探索，必须依赖感悟与思维.

一是抓住教学本质.史宁中教授说：在数学教育中应当遵循两个原则：1.把握数学知识的本质；2.设计并且实施合理的教学活动.教师要紧扣课题的重难点，对其一一击破，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学高阶思维.二是创设适切情境.要想使学生对数学产生兴趣，有学习的积极性，最有效的办法就是创设适切情境，设计问题情景时要紧扣课题，两条“有利于”标准要参照：有利于激发学生思维的积极性，叩开学生的思维大门；有利于即将要研究的课题的解决，要与教学目标紧密结合.［3］三是坚持问题引领.“问题是数学的心脏”，“学问学问，有学有问”，一方面教师要巧妙把教学过程设计成“不断提出问题，不断解决问题”的创新性思维模式，另一方面经常以自己的问题给学生以熏陶和引导.［4］问题具备层层递进式、开放式、广延性，能够促进学生高阶思维的发展.四是引导自主学习.教师要因势利导，启发学生发展高阶思维.从不同角度发现问题，提出问题，这也是培养学生自主学习能力的重要一步.从“学会”到“会学”，多分组谈论，师生互相质疑答题，从对方或他人的思维中受启发，模糊的认识得到了澄清，正确的认识得到了深化.五是敏锐洞察课堂.叶澜教授在《重建课堂教学过程观》中说：“学生在活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误地回答等，都是教学过程中的生成性资源.”在课堂教学中要有敏锐洞察力和教学智慧.时刻注意学生间、师生间不经意的思维碰撞，抓住稍纵即逝的启发良机，把发现问题的机会留给学生，让学生经历从失败走向成功的过程.教师“笨”一点，“懒”一点，学生“悟”一点，知识多掌握一点.