充液航天器的鲁棒固定时间终端滑模容错控制

王宏伟,宋晓娟,吕书锋

(1.内蒙古工业大学机械工程学院,内蒙古呼和浩特 010051;2.内蒙古工业大学理学院,内蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

现代航天器携带液体燃料推进剂的质量占航天器总质量的比重不断增大,由于储液腔体的几何形状及航天器外部环境的复杂性,液体燃料所产生的晃动力及晃动力矩对整体系统动力学具有显著影响,由此产生液体晃动动力学和姿态控制已成为航天工业领域的重要问题之一[1].在对充液航天器进行控制系统设计及稳定性分析时,通常将等效力学模型纳入到耦合系统建模的过程中,常见的等效模型有球摆模型和弹簧质量模型.文献[2]利用等效球摆模型研究了卫星姿态机动过程中的液体晃动混沌动力学问题.文献[3]将液体燃料晃动等效为球摆模型,将输入成型技术和自适应动态逆控制方法相结合探讨了航天器姿态控制问题.文献[4]采用二阶弹簧–质量模型考虑了多模态液体燃料晃动问题,设计了自适应滑模控制器结合输入成型技术的混合控制策略.文献[5]采用复合3自由度(3DOF)刚性–球摆模型研究了充液航天器的大振幅横向晃动、旋转晃动和液体旋转起动问题.文献[6]研究了正弦干扰激励下液体燃料大幅晃动动力学问题.

现代航天任务要求航天器系统实现各种高精度、快速的全局响应姿态机动指令[7–8].在目前的文献中,大多数控制策略只考虑外部未知干扰和参数不确定的影响,并且假设航天器系统部件不会发生故障或失效,但实际工作环境通常复杂恶劣,长时间的工作负荷容易造成执行机构和传感器的老化,由此导致的执行器故障也是实际控制系统中不可避免的问题,如果所设计的姿态控制器不具备任何容错能力,严重的性能退化和系统不稳定极有可能导致航天任务的失败.因此,航天器姿态容错控制研究受到学者们的广泛关注[9–13].文献[9]针对刚体航天器存在执行器故障的问题,提出了自适应容错控制策略.文献[10]采用自适应时变滑模控制策略结合自适应控制算法,解决了航天器的姿态追踪问题.基于干扰观测器技术,文献[11–13]设计了鲁棒容错控制器,保证了刚体航天器姿态运动的稳定性.

在航天器闭环系统中除了考虑执行器故障之外,还应重视执行器的输入饱和问题,执行器输入饱和会导致指令输入信号和实际控制力矩之间产生严重的差异.当执行器达到输入极限时,任何期望的控制输入信号都会致使执行器迅速饱和,从而降低系统的动态性能,导致闭环系统的不稳定.因此,研究控制系统中存在输入饱和的问题既具有理论意义,又具有实际意义[14–17].文献[14]针对刚体航天器设计了饱和的有限时间控制律.文献[15]使用积分滑模面流形设计了饱和有限时间策略,解决了刚体航天器控制输入饱和的问题.文献[16–17]构造了稳定的辅助系统处理控制输入信号的饱和约束问题,实现了期望的控制目标.

上述文献中设计的控制器能够保证航天器系统的渐近稳定性或有限时间稳定性.与渐进稳定控制器相比,有限时间控制策略可将系统状态在有限时间内稳定到平衡位置.除了更快的收敛速度外,有限时间控制下的闭环系统通常表现出更高的控制精度,更好的抗干扰性能.虽然在有限时间控制的作用下,系统状态的稳定时间可以精确地被估计,但是其稳定时间的上限取决于系统初始状态,这意味着当系统初始状态未知时,很难获取精确估计的收敛时间上限.相比于有限时间控制策略,固定时间控制的稳定时间上限不依赖于系统初始状态,而是仅依赖于控制参数,同时还能保留有限时间良好的控制性能,这使得许多学者对固定时间控制产生了巨大的兴趣.文献[18]提出了固定时间控制策略,提高了刚体航天器的固定时间收敛性能.文献[19]设计非奇异固定时间追踪控制器,获得较好的期望控制性能.文献[20]设计了非奇异终端固定时间滑模面和饱和容错固定时间控制律,保证刚体航天器的姿态稳定性.

本文研究了执行器故障和输入饱和的充液航天器大角度姿态机动固定时间容错控制问题.本文的主要内容有:1)将部分充液贮箱内液体晃动等效为粘性球摆模型,应用拉格朗日方程推导出航天器的耦合动力学模型;2)相比于现存的有限时间控制策略[15–17],本文采用固定时间控制策略和自适应控制算法设计自适应鲁棒容错控制策略,在提出控制方案的作用下,系统的稳定时间上限仅依赖于控制参数;3)相比于现存的非奇异固定时间控制策略[18–20],本文通过引入饱和函数克服了固定时间终端滑模控制策略存在的奇异性问题;4)基于Lyapunov稳定性理论证明了容错闭环系统状态的最终一致有界性,航天器姿态和角速度会在固定时间内收敛到平衡位置的较小邻域内.

2 充液航天器动力学建模

2.1 姿态运动学方程描述

考虑到良好的计算性能和克服奇异性的优点,本文使用四元数描述航天器姿态运动学方程,表示为

式中:[q0q]T[q0q1q2q3]T满足约束条件qTq1;航天器角速度矢量ω[ω1ω2ω3]T;E(q)q0I3+q×,q×为叉乘矩阵,定义为

2.2 充液航天器的数学模型

图1描述了充液航天器的动力学模型,O −XY Z为惯性参考坐标系,O1−X1Y1Z1为航天器本体坐标系,其中O1点表示整个系统的几何中心.O2−X2Y2Z2为球摆坐标系,摆球悬挂点为贮箱中心O2,使球摆悬挂点O2位于航天器本体坐标系的O1X1轴上,球摆的摆长为l,球摆质量为mp,O1到O2的位移矢量为ro[−rx0 0]T,rx为O1到O2的距离.假设图中球摆质量的位置为P点,燃料晃动质量P点相对于O1的位移矢量rp表示为

P点相对于摆球悬挂点O2的位移矢量为r,r关于O2点的位移矢量可以表示为

图1 充液航天器系统动力学模型Fig.1 The dynamics model of liquid-filled spacecraft

由于球摆的晃动受到摆长和贮箱尺寸的限制,本文中假设液体为小幅度晃动,即满足关系y,z ≪l,因此有近似关系x≈l.式(4)可以写成

根据式(3),P点的速度表示为

系统的动能表示为

式中Jhub为主刚体名义转动惯量.

将式(7)写成矩阵形式

式中:JJhub−η[y z]T为描述液体晃动的广义坐标矢量,δmp

球摆运动产生的重力势能表示为

式中g表示航天器惯性加速度的大小.

系统的拉格朗日函数为

准坐标下的拉格朗日公式表示为

式中:u为作用在航天器上期望的控制力矩,d(t)为作用在航天器的外部干扰力矩.

广义坐标下的拉格朗日公式表示为

式中T0−为球摆关于其悬挂点的粘性力矩,其中c1和c2表示液体燃料的粘性系数.

将式(10)分别代入式(11)和式(12),产生如下的系统动力学方程:

2.3 执行器的故障模型

反作用轮和推进器是通常用于航天器姿态控制的执行器.由于润滑不足、老化、边缘故障和增加摩擦等原因,执行器不可避免地会发生故障.以下是4种典型的反作用轮故障[13]:1)反作用力矩减小;2)偏置力矩增大:3) 对控制信号不响应:4)连续产生反作用力矩.这些故障可能以乘法或加法的方式影响执行器的输出效率.如果其中一个故障发生,反作用轮的响应可能会变慢,降低执行器工作的有效性,甚至发生安全故障.

令uc表示指令控制力矩矢量.指令控制力矩矢量和作用在航天器上的实际控制力矩矢量之间的关系可以表示为

式中:D(t)diag{e1,e2,e3}描述了执行器的效率损失,其对角线元素满足0 ≤ei≤1,i1,2,3.情形ei0表示第i个执行机构完全失效,不能提供作用于航天器的控制力矩;情形0

2.4 充液航天器的姿态动力学方程

在假设液体燃料为小幅度晃动的条件下,可将式(13)和式(14)做线性化处理,即省略掉式(13)和式(14)中的高阶小量.同时,为了控制系统推导方便,对于方程(14)引入新的变量ψ,将得到的方程结合式(15),最终航天器的姿态动力学模型表示为

式中sat(uc)表示执行器的非线性饱和特性,其形式可以写成sat(uc)Θ(uc)uc,其中Θ(uc)diag{Θ(uc1),Θ(uc2),Θ(uc3)}.Θ(uc)可以看作是控制向量的饱和度指标.从实际应用的角度讲,Θ(uci)永远不会等于零(i1,2,3),且存在一个很小的下界,使Θ(uci)满足Θ(uci)∈(0,1],并且存在一个常数κ,使得0<κ≤min(Θ(uc1),Θ(uc2),Θ(uc3))≤1成立.

式中∆J为参数不确定矩阵.

假设1参数不确定矩阵∆J和外部未知干扰d(t)是有界变量,这样存在两个正常数和∆d,其范数满足关系∥∆J∥≤和∥d(t)∥≤∆d.

假设2不确定故障¯u是未知但是有界变量,这样满足∥¯u∥≤∆u,∆u为正常数.

本文的控制目标描述为:考虑充液航天器模型式(16)存在外部未知干扰,参数不确定,执行器故障和控制输入饱和的问题,设计了一种饱和鲁棒容错控制策略,对于任意初始位置的姿态和角速度:1)容错闭环系统中的所有状态信号都是最终一致有界的(UUB);2)设计的非奇异滑动模态流形在固定时间内收敛到S(t)0的较小邻域内;3)姿态q和角速度ω在固定时间内收敛到原点的小邻域内.

3 固定时间控制器设计和稳定性分析

3.1 基本定义和基本引理

为了后文控制器设计简便,定义符号

式中:x ∈[x1x2x3]T,sgn表示符号函数,γ为正常数.

考虑一个非线性系统

式中:x(t)为状态向量,f(x(t))为非线性函数.

下面给出控制器设计和稳定性分析中用到的定义和引理.

定义1[21]如果系统(18)是有限时间稳定的,并且其稳定时间T(x0)是一致有界的,即存在一个正标量Tmax,并且满足T(x0)≤Tmax,则系统(18)是固定时间稳定的.

引理1[20]系统(18)是固定时间稳定的,这样存在一个李雅普诺夫函数¯V(x)满足

式中:α1,β1,χ为正常数,r1>1,0

引理2[22]考虑如下微分方程:

式中:α>0;β >0;m,n,p,r是正奇整数,满足m>n,p

引理3[17]对于所有实数xi(i1,……,n),0<γ <1,以下不等式成立

3.2 固定时间滑模面设计

受到引理2的启发,考虑充液航天器系统模型式(16),固定时间滑模面设计为

式中:α1>0;β1>0;m1,n1,p1,r1是正奇整数,且满足m1>n1,p1>r1.

定理1当式(22)形式的滑模面收敛到平衡位置时,即满足S0,姿态q和角速度ω在固定时间内收敛到平衡位置.

证当式(22)满足S0时,可以得到

考虑李雅普诺夫函数

将式(24)对时间求一阶导数,并且将式(23)代入可得

由引理2可得,姿态q在固定时间内收敛到平衡位置.根据式(1)和四元数的约束关系+qTq1可得,在固定时间内到达平衡位置,这将产生ω在固定时间内收敛到平衡位置.所以,当式(23)达到平衡位置时,姿态q和角速度ω在固定时间内收敛到平衡位置.

证毕.

到达时间的上界为

注1需要注意的是,对式(22)求一阶导数得到

3.3 固定时间控制器设计

将式(16a)和式(16b)代入式(26)可得

根据假设1–2、∥q∥≤1和∥E(q)∥≤1,可以得到如下合理的不等式:

式中k1,k2和k3为正常数.

由于0

固定时间控制器设计为

自适应更新律设计为

式中:k,λ1,λ2,λ3,λ4,χ1,χ2,χ3,χ4为正常数;分别为k1,k2,k3,ρ的估计值;sat(·)为饱和函数,这里设计sat(uf,us)的目的在于补偿uf带来的奇异性,us表示饱和函数的门限参数.

定理2考虑航天器系统(16)存在外部未知干扰,参数不确定,执行器故障和控制输入饱和的问题.在假设1和假设2成立的条件下,若设计固定时间控制律式(30)和自适应更新律式(32)–(35),那么航天器闭环系统的状态轨迹是固定时间稳定的.

证考虑李雅普诺夫函数

将式(36)对时间求一阶导数可得

将式(30)–(35)代入到式(37)中可以得到

考虑到如下不等式:

式中:δ1>

注意到式(38)含有项ρsat(uf,us)+uf,为了方便定理1的证明,将状态向量[q ω]T分成两个不同的区域A和B,分别定义如下:

当系统状态[q ω]T在区域A中时,式(38)中的饱和函数可以重写为

当系统状态处于区域B时,饱和函数可以写成

根据式(16a),可以得到

如果ω(t)>0和E(q)>0成立,q(t)将单调增加并离开奇异区域B.如果ω(t)<0和E(q)<0成立,q(t)将单调减少并且也将离开奇异区域B.这意味着不论q(t)增加或减少,系统的状态将短暂的处于奇异区域B.换句话说,系统状态不会永远停留在B区域,而是在有限时间内从B区域过渡到A区域.一旦系统状态[q ω]T进入A区域,系统将满足滑动模态的存在条件.因此,正如文献[21,23]所描述的那样,奇异区域的存在并不影响系统稳定性的分析.

根据以上分析,并且结合式(39)–(42),式(38)可以写成

根据一致有界性理论S,和是一致有界的,由固定时间滑模面的形式,可知q和ω也是有界的,这样不等式∥S∥(k1+k2∥ω∥+k3∥ω∥2)≤ζ是合理的,ζ为正常数.

为了证明系统的固定时间稳定性,考虑以下的李雅普诺夫函数:

将式(49)对时间求一阶导数,结合式(30)–(34)可得

根据以上的分析,式(50)可以进一步写成

根据引理1和式(51),终端滑模面式(22)在固定时间T1收敛到如下区域:

证毕.

注2由式(54)可以看出系统状态到达平衡位置的稳定时间上界只取决于控制参数,而不依赖于系统状态的初始值.当系统状态的初始值未知时,与有限时间控制策略相比,本文提出控制策略的稳定时间可以按照规定的方式进行收敛.

4 数值模拟

为了验证本文提出的控制方法有效性和鲁棒性,选取了文献[24]提出的自适应有限时间容错控制方法进行对比分析,给出了两种控制策略下的仿真结果.为了公平有效地进行对比,将这两种控制策略在文中充液航天器控制系统(16)的环境下进行数值仿真研究.所选取的具体参数如下:

刚体航天器名义转动惯量

在仿真中,假设航天器受到的外部干扰为

式中rand(3,1)表示任意高斯白噪声矢量.

不确定惯性矩阵∆J0.5Jhub.

执行机构的有效性为

控制器参数选择为

液体燃料相关参数选取为

航天器角速度初始值ω(0)[0 0 0]Trad/s,估计的控制参数初始值0,初始姿态四元数误差为q(0)[0.1763−0.5264 0.2632 0.7896]T.控制力矩幅值限定在|ui|≤6 N·m,i1,2,3.

两种控制策略的详细仿真结果见情形1和情形2所示.

情形1采用控制器式(30)进行数值仿真研究,仿真结果如图2–6.

图2 角速度时间历程图Fig.2 Time history of angular velocities

图3 姿态四元数时间历程图Fig.3 Time history of attitude quaternions

图4 参数估计时间历程图Fig.4 Time history of parameter estimation

图5 液体晃动变量时间历程图Fig.5 Time history of liquid sloshing variables

图6 控制力矩时间历程图Fig.6 Time history of control torque

情形2采用文献[24]中针对刚体航天器设计的自适应有限时间容错控制器,仿真结果如图7–9.

图7 角速度时间历程图Fig.7 Time history of angular velocities

图8 姿态四元数时间历程图Fig.8 Time history of attitude quaternions

图9 控制力矩时间历程图Fig.9 Time history of control torque

1) 图2和图7分别给出两种情形下的角速度响应图.由图可以看出,在控制器式(30)的作用下,角速度收敛到平衡位置需要大约16 s的时间,在稳态响应区间,最终误差精度为|ωi|≤5×10−5rad/s.由图7可以看出,在文献[24]设计的控制器作用下,角速度收敛到平衡位置需要花费大约22 s的时间,稳态区间的最终误差精度为|ωi|≤2×10−3rad/s.对比两种情形下角速度在瞬态响应区间的响应表现,相比较图7而言,图2拥有相对良好的瞬态响应.

2) 图3和图8分别给出两种情形下的姿态四元数响应图.从图3可以看出,在本文设计的控制器的作用下,姿态大约需要16 s的时间收敛到期望的平衡位置,在向稳态区间过渡的过程中,拥有相对良好的瞬态响应,在稳态响应区间,最终误差精度为|qi|≤2×10−5.由图8可以看出,在文献[24]设计的控制器的作用下,姿态收敛到期望的平衡位置需要大约28 s的时间,最终稳态误差精度为|qi|≤5×10−3.

3) 图6和图9分别给出两种情形下的控制力矩响应图.通过对比图6和图9不难看出,图9描述的控制力矩收敛到平衡位置的时间要远远大于图6描述的情形,而且图6描绘的情形相对拥有光滑平稳的特性.图4给出控制器中控制参数的估计值.图5给出了描述液体晃动位移变量的时间历程图,由图5可以看出液体晃动变量拥有较低水平的晃动幅度|y|≤0.03 m和|z|≤0.01 m.

在相同的外部未知干扰,参数不确定,执行器故障和控制输入饱和的条件下,通过对比两种情形下的系统性能收敛指标,可以得出结论:所提出的控制器式(30)比文献[24]拥有更好的控制性能.

5 结论

1) 本文以三轴稳定充液航天器为被控研究对象,将部分充液贮箱内液体晃动等效为粘性球摆模型,利用拉格朗日方程建立了充液航天器的耦合动力学模型.

2) 针对存在外部未知干扰、参数不确定、执行器故障和输入饱和的鲁棒容错姿态机动问题,在构造新颖固定时间终端滑模面的基础上,基于固定时间控制理论和自适应估计策略,提出了一种自适应鲁棒固定时间终端容错姿态控制策略.该方法采用饱和函数克服设计的终端滑模控制存在的奇异性问题,同时还能保证闭环系统的固定时间收敛性能.

3) 为了验证提出的控制方法有效性和鲁棒性,采用数值方法将本文提出的控制策略与现有的有限时间控制方法进行了仿真对比研究,仿真结果表明,本文设计的控制器可以提供更好的收敛速度,指向精度和容错能力.