多种非线性因素下电磁轴承转子系统运动稳定性分析

滕汉卿　穆然

摘 要：本文以经典的Jeffcott转子系统为基础建立了电磁轴承转子系统模型，在综合考虑电磁力、质量偏心力等非线性因素的基础上建立系统运动微分方程，通过四阶龙格库塔法对系统微分方程进行数值仿真计算，借助分岔图、Poincaré截面图、相图等探讨此类转子系统随系统参数变化的分岔特性及演化过程，并判断系统的周期运动稳定性。结果表明，该转子系统在加速初期有短暂的跳跃震颤现象，后经倍化分岔进入混沌运动状态，并以周期8—周期4—周期2—周期1运动的逆倍化分岔形式退出混沌运动，在后续加速过程中，系统动力学特性越来越复杂。

关键词：电磁轴承转子系统;分岔;混沌

中图分类号：TH133.3 文献标识码：A 文章编号：1003-5168（2021）26-0054-05

Dynamic Stability Analysis of Magnetic Bearing Rotor System

under Various Nonlinear Factors

TENG Hanqing MU Ran

（Hunan Railway Professional Technology College， Zhuzhou Hunan 412001）

Abstract： In this paper， the model of magnetic bearing rotor system was established based on the classic Jeffcott rotor system， the motion differential equation of the system was established based on the nonlinear factors such as electromagnetic force and mass eccentricity force， through fourth-order Runge-Kutta method to numerically simulate the differential equations of the system. The bifurcation characteristics and evolution process of the rotor system with the change of system parameters were discussed by bifurcation diagram， Poincaré section diagram and phase diagram， judge the periodic motion stability of the system. The results show that the rotor system has a short jump tremor at the initial stage of acceleration， then enters chaotic motion state through doubling bifurcation， and exits the chaotic motion in the form of inverse doubling bifurcation of period 8-period 4-period 2-period 1. In the subsequent acceleration process， the dynamic characteristics of the system become more and more complex.

Keywords： active magnetic bearing rotor system;bifurcation;chaos

隨着磁悬浮技术的不断发展，电磁轴承的应用越来越广泛。电磁轴承是利用电磁力将转子悬浮起来，并且可以通过控制系统控制的一种高性能机电一体化轴承。由于其具有无接触摩擦、无须润滑、高精度、高转速、低功耗、特性可控、使用寿命长等突出优点，因此在支撑领域越来越受到人们的关注。随着现代控制理论和电子技术的快速发展，美国、法国、日本等国已将电磁轴承应用于工业实际中，在卫星惯性飞轮、高速离心机、高速机床、真空泵及航天器动量轮等一些关键部位都有电磁轴承的身影[1-4]。目前，国内对电磁轴承的研究还处于实验室研究阶段，距离工业应用还有一定的距离。电磁轴承转子系统的研究内容涉及基本的电磁学、电子学、计算机科学等学科。由于电磁轴承转子系统本身是一个典型的非线性系统，只用传统的线性理论已经不能完全揭示其所包含的非线性动力学特性。因此，对该系统的非线性动力学特性及其周期运动的稳定性进行研究就很有必要。国内外诸多学者针对电磁轴承转子系统的非线性动力学特性进行了研究。张钢等[5]从非线性多自由度的角度对5自由度主动磁悬浮轴承-转子系统的非线性动力学特性进行了研究，通过数值模拟结合试验的方法探讨了此类系统丰富的非线性动力学现象。JAWAID等研究了几何耦合参数及重力参数变化对主动磁悬浮轴承挠性转子的非线性动力学特性的影响规律，利用分岔图、时间响应图及Poincaré截面图对主动磁轴承支承的刚性转子在运动过程中由环面破裂引起的混沌行为进行了深入研究[6-7]。孙保苍等研究了磁悬浮轴承-转子系统主共振情形时的非线性动力学行为[8]。单小磊研究了裂纹对磁浮轴承转子系统的动力学特性的影响，分析了裂纹深度及裂纹角的变化对系统分岔与混沌特性的影响规律，对此类转子系统的故障识别提供参考[9]。赵泾雄等使用ABAQUS有限元软件数值模拟磁浮轴承转子跌落至辅助轴承时，辅助轴承内圈与滚动体的变形及能量损耗特性，验证辅助轴承的可靠性[10]。本文通过对无量纲化后的系统运动方程进行仿真计算，通过不断试验选取合理的系统控制参数，并在此参数下以分岔图及转子相图为主要依据分析系统的非线性动力学特性，从而确定该系统的周期性运动、混沌运动及概周期运动的参数区间，为此类转子系统的转速选取及稳定性判断提供依据。

1 系统模型及运动方程

以传统Jeffcott转子系统为基础建立系统模型（如图1所示），用轴颈中心位移x、y和转子几何中心位移x、y描述系统运动，在综合考虑主动电磁轴承转子系统的质量不平衡力及电磁力等强非线性因素的影响下，根据牛顿第二定律列出系统运动微分方程为：

系统运动方程的建立基于以下假设：①转子质量呈几何对称分布;②轴是柔性但转子与轴承却是刚性的;③忽略转子的轴向运动;④忽略转子的陀螺效应。

式中：α为几何耦合参数;g为电磁轴承与转子间隙;u为磁导率;N为线圈匝数;A为电磁轴承磁铁表面积;i为电磁轴承线圈电流;P为比例反馈增益;D为微分反馈增益。引入以下变量对方程进行无量纲化处理[13-14]：

2 数值仿真及分析

利用四阶龙格库塔法对无量纲系统运动方程（18）进行数值仿真计算，经过试验选取系统参数为：v=0.01、γ=0.25、P=1.1、D=0.03、U=0.1、W=0.02、w/w=0.65、α=0.24。在此参数基础上展开对系统动力学特性的分析。

图2为转子在不同转速比范围内的分岔图。其中，图2（a）为转速比[Ω]在0～3.00变化时转子系统的全局分岔图，从图中可以看出，系统的加速过程中有稳定的周期运动、临界失稳的概周期及失稳的混沌运动;图2（b）的分岔图表明，转子在初步启动阶段出现了跳跃震颤现象[15-16]，此时系统稳定性较弱;图2（c）表明，当转速比为0.28～0.32时，系统运动经过短暂的周期2及周期4运动后，在转速比Ω为0.31时进入混沌运动状态;图2（e）表明，在转速比为0.64～0.80时，系统运动由混沌运动状态逐步演变为概周期运动，再经过周期8运动—周期4运动—周期2运动—周期1运动的逆倍化分岔现象，在Ω=0.78时进入周期1运动;从图2（f）可以看出，在转速比为1.60～2.10时，转子系统运动以概周期运动为主，同时还出现了周期6运动;在此后较长的转速比范围内（转速比为0.78～1.60），系统保持着周期1运动，此时转子系统运行稳定性强。

图3为不同转速比所对应的相图。图3（a）是转速比Ω为0.64时的相图，图上多条轨迹交织，此时系统运动为混沌运动状态，系统振动幅度最大，振动最剧烈，表现出失稳的运动特性;图3（b）是转速比Ω为0.68时系统运动为周期8的运动，借助图4所示的Poincaré映射截面图来进行运动周期数验证;图4（a）是转速比Ω=0.68时的Poincaré映射截面图，图中出现了8个孤立点，表明此时系统运动为周期8运动;图3（c）为转速比Ω=0.69时的相图，此时系统运动由周期8经过逆倍化分岔变为周期4运动;图3（d）为转速比Ω=1.65时的相图，此时系统运动表现为概周期1运动，相图成网状交织的轮胎状。图4（b）为转速比Ω=1.65对应的转子系统的Poincaré截面投影图，表现为一个封闭的环，轴心轨迹在这个封闭的环域内做震荡运动，此时系统处于临界失稳状态，如果此时转子出现磕碰振动，则会失去稳定性。图3（e）为转速比Ω=1.80时的概周期运动相图，图4（c）为转速比Ω=1.80对应的庞加莱截面映射图，此时，转子系统也处于临界失稳状态，可能出现因磕碰造成转子失稳的情况。

3 结论

本文运用龙格库塔法进行数值仿真模拟，通过对分岔图、转子相图及Poincaré映射截面图进行分析，得出以下结论。

①在转子系统的整个加速过程中，当转速比在0.46～0.64、0.78～1.60、2.10～3.00时，系统响应表现为稳定的周期1运动。此时，转子系统运动稳定性强，但在选择工作转速时要注意避开周期1运动中的震颤跳跃点。

②当转速比在0.31～0.78和1.60～2.10时，转子系统以混沌及概周期运动为主，在这一转速区间内，系统响应呈现出失稳和临界失稳的状态，尤其要注意转速比为0.64时的混沌运动状态，在转子加速过程中要快速穿越这些转速区间，防止系统在长时间失稳状态下运行产生故障。

③在系统稳态响应中出现了周期8—周期4—周期2—周期1运动的逆倍化分岔现象，在概周期运动中出现周期6的运动现象。

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