方法提炼构思路，类题解析深思考

夏子晶

[摘  要] 几何面积动点问题是初中数学的重难点问题之一，从解析过程來看，需要处理动点条件，构建面积模型，利用代数知识求解，因此对学生解析思维和解题方法有较高的要求. 文章将剖析该类问题的解析策略，并结合类型问题进行探究分析.

[关键词] 几何;面积;动点;图像;坐标系;曲线

与面积相关的几何探究题在中考试题中十分常见，问题往往融合动点，引入图像来探究几何图形的面积变化，构建了“动点+面积+图像”的问题形式，形成了动点位置、面积函数等多样的几何问题. 几何面积动点问题常见的有两种类型：一是单纯的几何模型，侧重几何面积及函数的分析;二是以平面直角坐标系为背景，引入动点的坐标. 下面深入剖析该问题的处理思路，提炼该问题的解法.

剖析策略，提炼方法

剖析几何面积动点问题的处理思路需要把握以下两点：一是图形的特性，二是动点的规律. 因此在剖析该问题时需要串联图形的特性与动点之间的关系，可按照如下思路处理问题.

第一步，探究背景图形，提炼图形的特性;

第二步，关注动点“四要素”，即分析运动过程，绘制运动线段图，运动线段分段，设定动点范围;

第三步，结合“速度×时间=路程”公式，将运动条件转化为线段条件，并结合几何特性推导有关联的线段.

第四步，根据条件构建几何面积的动态模型，实现模型的参数化，根据动点的规律分类绘制图像，结合图像进行解析.

关于几何面积动点问题，解析的基本方法是数形结合，原则上需要确保图像内容全面，图形表述精确. 解析时要重点关注动点的“起点”“拐点”和“终点”的位置，并将位置的对应时间作为临界值或分类讨论的标准. 因此具体解析时可根据运动规律绘制具体图像，然后构建对应模型，逐步完成数形转化.

剖析类题，构建思路

几何面积动点问题常见的两种命题形式：一是单纯的几何探究，以几何图形与动点为主;二是以平面直角坐标系为背景，融合曲线与动点.

命题形式1：几何图形探究类

例1 如图1所示，在正方形ABCD和△EFG中，已知AB=EF=EG=5 cm，FG=8 cm，点B，C，F，G位于同一直线l上，点C和点F重合. 若△EFG沿着直线l以1 cm/s的速度开始向左运动，t s后正方形ABCD与△EFG的重合部分的面积为S cm2，请回答下列问题.

（1）当t=3时，求S的值;

（2）当t=5时，求S的值;

（3）当5≤t≤8时，试求S与t的函数关系式，并求S的最大值.

思路分析 本题属于几何动态问题，虽然是三角形运动，但关注的重点还是动点.

第（1）问的重合部分是三角形，可根据相似三角形的性质求高，进而求面积.

第（2）问的重合部分是不规则的四边形，可以采用割补法求面积.

第（3）问设定了时间范围，可确定重合部分的图形为五边形，同样采用割补法构建面积模型，将面积模型转化为关于时间t的面积函数，利用函数的性质讨论极值即可.

评析 上述问题是几何面积动点探究题，问题分成三问，三问所设的时间实则是动点的位置范围，探究图形的面积实则就是构建面积模型，故可以参照几何面积动点问题的解析思路：把握动点的位置，分析图形的形状，构建面积模型. 对于其中的面积最值问题，利用函数的性质由“数”解“形”即可.

命题形式2：坐标系与曲线融合类

例2 如图5所示，已知抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点P从点A出发，在线段AB上以3个单位长度/秒的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以1个单位长度/秒的速度向点C运动. 当其中一点到达终点时，另一点也停止运动. 试分析△PBQ的面积是否存在最大值. 若存在，请求出最大面积;若不存在，请说明理由.

思路分析 本题以平面直角坐标系为背景，融合曲线、动点构建三角形，探究三角形的面积需要把握坐标系中点的坐标.

第（1）问：利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.

第（2）问：由题意可知，点P运动2秒即可到达终点，所用时间最短，因此时间t的取值范围为[0，2]. △PBQ的一边PB始终在x轴上，可将其视为以点Q为顶点的三角形，故可构建三角形的面积模型，结合运动条件可求出BP和BQ的长，结合三角函数可求三角形的高，从而将问题转化为关于时间t的面积函数，由函数的性质可确定面积的最值.

评析 上述问题以平面直角坐标系为背景，结合抛物线和动点构建面积问题. 第（2）问是常规的求解面积最值的问题，结合点的坐标和运动的条件将面积模型转化为函数模型;第（3）问则是面积比值问题，充分结合面积公式及模型特征将面积比值转换为线段比值，然后确定点的坐标.

解后反思，方法总结

几何面积动点问题属于动态问题，突破过程需要注重两点：一是准确构图，利用直观模型辅助分析;二是转化分析，包括条件转化和模型转化. 解析过程要充分把握时间节点，利用时间细化模型，下面笔者对此提出两点建议.

（1）培养构图意识，利用图形辅助分析. 几何面积动点问题最为典型的特点是其结合几何图形或曲线命题，数形结合、模型构造是解析问题的素养要求. 尤其是对于多解的动点问题，分类讨论需要借助于图形，确保数形对照准确. 因此在解析中需要精准作图，利用图形特征来挖掘等量关系，打开解题突破口. 教学中要引导学生养成作图习惯，使学生掌握数形结合这个解题方法.

（2）提升转化思维的意识，培养逻辑分析和推理. 由上述可知，几何面积动点问题的解析过程实则是构建模型、转化条件的过程，因此转化思维、简化处理的意识在解题中十分重要. 解析时要善于处理动点条件，把握复杂图形的结论，巧妙构建模型. 常见的有以下几点转化内容：将动点条件转化为线段条件，将几何面积转化为面积模型，将面积最值转化为函数最值，将面积比值转化为线段比值. 解题教学中，教师要引导学生采用确定性思路来分析问题，化动为静，变时间为常数，充分提升学生的推理转化能力.

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