关于等积变换法的剖析与应用探究

李琳

[摘  要] 等積变换是转化图形时常用的一种方法，是基于面积关系所形成的转化法，可用于解决面积、线段、距离、点位置等相关问题. 方法探究要从本质入手，关注转化模型，总结常规问题的突破思路.

[关键词] 等积变换;几何;网格;函数;模型

方法综述

等积变换是解决几何问题时常用的思想方法，其基本原理是等底等高、等底同高、同底等高的三角形的面积相等.利用该方法可实现不同形状的图形之间的面积转化，同时可建构面积的等量关系，用于解决面积、线段、距离、点位置等相关问题. 另外，基于等积变换原理，生成了两种常见的模型，具体如下.

模型1：等高三角形的面积之比

如果两个三角形的高相等，那么它们的面积之比等于底边之比;如果两个三角形的底边相等，那么它们的面积之比等于高之比.

模型2：平行线之间等积交换

可对夹在一组平行线之间的三角形进行无限的等积变换：若平行线之间的两个三角形共底，则其面积相等.

应用探究

等积变换广泛应用于几何问题中，常见三种问题形式：一是常规的几何综合类，考查的重点是基本图形的特性;二是网格图形类，考查的重点是网格的特性及作图方法;三是函数与几何综合类，考查的重点是几何与函数曲线的综合. 下面结合具体问题探究等积变换的运用思路.

类型1：等积变换与几何综合

几何综合类问题常常使用等积变换法，解题思路主要有两种：一是通过等积变换建构关于几何面积的方程，形成求解线段长的条件;二是利用等积变换求解一般图形的面积. 解析时需要关注图形的顶点和底边上的高，利用几何性质分析线段的长或点的距离.

评析 上述问题以函数曲线为背景，建构了三角形的等积问题，从等积的角度来看，实质就是建构等积模型，即将相等面积的三角形转化为同底等高的三角形，其中隐含了等积变换. 解析时要充分利用等积变换研究线段的关系，推导点的坐标.

总之，等积变换是一种转化图形面积的重要方法，可有效应用于多种几何问题. 另外，方法探究要关注两点：一是方法原理，深刻理解数学本质;二是变换模型，总结常见的数学模型，并灵活应用. 解析题目需要充分结合条件，合理引入模型，巧妙变换.

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