基于对数正态分布的海杂波修正概率密度分布函数

周 亮，匡华星，张玉涛，丁 春，王玲玲

(中国船舶集团有限公司第八研究院，南京 211153)

0 引 言

海杂波是海面反射雷达波所形成的回波信号。海杂波功率较强时会淹没目标回波且会产生大量虚警，直接影响着对海探测时的目标检测性能。[1-3]一类重要的目标检测方法是恒虚警检测算法，其根据海杂波幅度的概率密度分布模型及虚警率来控制检测门限。因此，海杂波的概率密度分布模型无论在设计阶段还是在信号处理阶段都具有重要的参考价值。

海杂波幅度的随机起伏性可以使用概率密度分布模型进行描述。经典的幅度概率密度分布模型主要研究的是海杂波的线性幅度。传统的概率密度分布模型有瑞利分布、对数正态分布、韦布尔分布和K分布等[4-5]。研究发现，海杂波分布存在严重拖尾现象，导致这些模型与实际数据的统计结果存在较大的偏差。为了解决拖尾问题，相继发展了多种概率密度分布模型，可以分为3类：(1)通过改变海杂波纹理分量的概率密度分布的方式，得到广义K分布模型[6]；(2)混合一种或几种概率密度分布，形成KA分布、KK分布[7]、WW分布等广义复合概率分布模型[8]；(3)提出新的统计模型，如Pareto分布[9]、逆伽马分布、逆高斯分布等模型。

国内外研究虽然提出了很多海杂波概率密度分布模型，但这些模型主要存在2个问题，一是这些概率密度分布模型是非标准化的，在不同的距离单元上海杂波回波信号的统计特性存在差异性。数据拟合后所得到的幅度分布模型仅适用于当前距离单元，而难以适用于其他距离段上的分辨单元；二是模型的可控参数较少，导致拟合误差大，难以吻合实际的海杂波幅度分布。

针对上述问题，本文对标准化后(对数回波减均值后除方差得到无量纲的值)的海杂波幅度进行数理统计，使得分析的海杂波幅度分布模型能够很好地适用于不同的距离段，提高了模型的适用性；并提出了两种修正对数正态分布模型，使其能够更好地表示海杂波幅度分布的左右不对称性。最后统计了海杂波在不同距离段、多周期上的幅度概率密度分布曲线。结果表明，修正概率密度分布模型能够显著减少幅度分布上的误差，具有重要的工程应用价值。

1 海杂波幅度的对数标准化概率密度分布

最早提出的海杂波幅度分布为瑞利分布模型，其假设天线波束照射区内大量散射单元回波满足独立同分布的高斯随机过程，则回波幅度符合瑞利分布。但是，随着雷达分辨率的提高，在低入射角时海杂波幅度分布出现了更长的拖尾，其概率分布偏离了高斯分布，因此需要采用对数正态分布、威布尔(Weibull)分布和复合K分布等非高斯模型。具体分布函数如表1所示。

表1 经典的海杂波线性幅度的概率密度分布模型

为了获得对数幅度条件下的分布函数，可以通过累积概率密度函数(CDF)进行计算。设线性幅度X具有概率密度分布fX(x)，其对数幅度为Y=20log10(X)，其反变换为X=10Y/20。对数幅度下的累积分布函数FY(y)满足：

FY(y)=P{Y≤y}

=P{20log10(X)≤y}

=P{X≤10y/20}

=FX(10y/20)

求导后得到对数幅度条件下的分布函数：

为了获得满足不同量程的概率密度分布，提取和分析环境杂波的幅度特征，还需要对数据进行标准化，具体为

其中，μ和σ分别为随机变量Y的均值和标准差，需要通过实测数据求出：

求导后得到标准化后的分布函数：

根据标准化的海杂波概率密度分布函数可以得到全距离段上对数及线性的海杂波概率密度分布函数：

2 基于对数正态分布的海杂波修正概率密度分布

实验表明，X波段雷达的海杂波幅度概率密度分布曲线能够很好地吻合对数正态分布模型。具体参数可以通过参数拟合方法获得，将海杂波数据取对数并标准化后，通过数理统计方法来获得不同距离段、不同扫描周期的海杂波幅度概率密度曲线，再通过参数拟合方法来得到最佳的参数。

选择导航雷达和某雷达的实测数据进行分析，拟合得到的概率密度分布曲线如图1所示。

图1 海杂波对数幅度在标准化后的概率密度分布，

从图1中可以看出，海杂波对数幅度在经过标准化后与对数正态分布的均方根误差分别为0.7%、0.8%和0.71%，均方根误差的定义为

实测结果由两型雷达在不同距离段、不同周期、3个测量时间上获得的，其概率密度分布具有一致性，说明海杂波对数幅度在标准化后的概率密度分布具有深刻的内在规律。然而，标准正态分布不能很好地刻画海杂波的特征，需要对其进行修正。

2.1 3参数修正对数正态分布模型

实测海杂波概率密度分布曲线表明，在均值左右应满足不同方差的正态分布，得到3参数修正对数正态分布模型，即

即可以得到3参数修正对数正态分布模型：

2.2 11参数修正对数正态分布模型

为了更好地拟合海杂波幅度分布模型，得到一般性更强、吻合度更好的概率密度分布模型，可以使用泰勒公式在均值处进行展开，左右各取4阶多项式进行匹配拟合，写为

其中，拟合所用多项式为

乘多项式后的函数其定积分不再为1，因此需要对其归一化，得到11参数修正对数正态分布模型：

3 实验验证

为了对海杂波标准化后幅度的概率密度分布规律进行分析和建模，对导航雷达和某雷达实测数据进行统计，结果如图2所示，图中结果已经对100个周期数据进行了平均。可以看出，海杂波标准化后的对数幅度分布比线性幅度分布稳定，对数幅度在不同距离段上较为相似，而线性幅度存在较大的区别，因此，采用对数幅度能够更好地描述多量程段上的海杂波幅度分布规律。

图2 不同距离时海杂波幅度概率密度分布曲线

分别采用韦布尔分布和复合K分布来描述海杂波线性幅度(同样经过标准化，即海杂波线性幅度减均值后除标准差，得到的无量纲值)的概率密度分布曲线，曲线拟合后的结果如图3所示。从图中可以看出，线性幅度条件下，使用韦布尔分布拟合的分布曲线存在2%～4.2%的误差，使用复合K分布拟合的分布曲线存在1.5%～4%的误差，拟合误差较大。这和文献[2]中X波段雷达数据的结论相似。

图3 不同距离时海杂波幅度概率密度分布曲线

采用3参数修正对数正态分布拟合得到的海杂波概率密度分布模型，其与实测数据的吻合程度更好。相较于对数正态分布而言，3组数据的拟合误差分别降低了32.8%、22.5%和49.3%。与拟合的对数正态分布曲线相比，曲线均值正向移动到0.16～0.2之间，均值左边的方差在1.03～1.05之间，右边的方差在0.83～0.84之间，如图4所示。3参数修正模型存在一定的偏斜，左右不再对称。

图4 3参数修正对数正态分布模型拟合结果

采用11参数修正对数正态分布拟合得到的海杂波概率密度分布模型，其与实测数据的吻合程度得到进一步提高，参数如表2所示。相较于对数正态分布而言，3组数据的拟合误差分别降低了87.1%、72.5%和94.4%，如图5所示。值得注意的是，拟合误差的减小会降低模型的泛化性，得到的新模型的均值在0.01～0.05之间，左右的标准差也有所增加。

表2 11参数修正对数正态分布模型中的多项式系数

图5 11参数修正对数正态分布模型拟合结果

4 结束语

本文提出了对数正态分布的两种修改模型，能够很好地分析海杂波对数幅度在标准化后的概率密度分布规律。通过X波段雷达实测数据统计结果的对比，验证了算法的正确性和有效性。该算法能够应用在雷达恒虚警检测和自适应检测算法中，具有一定的工程应用价值。