注重例题教学设计 激发课堂生命活力

周锦春

[摘  要] 众所周知，数学例题教学发挥着承上启下的作用：“承上”是帮助学生理解概念、公式、定理，从而认清问题的本质属性;“启下”是让学生通过对例题的探究和思考而形成解决问题的“双基”，从而培养和发展学生的数学思维.

[关键词] 例题教学;承上启下;数学思维

例题教学可谓数学教学的“重头戏”，首先，其肩负着理解、消化新知的重任;其次，通过例题的运用将数学知识转化为数学学习能力;最后通过反思、总结、归纳形成数学思维和数学方法. 那么，例题教学如此重要，在教学中应如何实施呢？笔者从例题的设计、教学及反思三方面出发，浅谈几点认识.

[⇩] 例题的设计

1. 例题的设计要切实体现新知

在概念的内涵和外延讲解后，为让学生初步理解新知并体验其应用价值的最有效的手段即是运用例题教学. 然而例题教学中应如何设计例题呢？笔者认为，例题的设计只有做到恰当、精准，切实反映新授内容，才能真正地发挥其价值.

例1 有一个三层书架，第1层放有4本数学书，第2层放有3本语文书，第3层放有2本英语书. （每本书各不相同）

（1）若任取一本书，有多少种不同的取法？

（2）若每层各取一本书，有多少种不同的取法？

问题（1）可直接运用分类计数原理一步求解;问题（2）因每层都要选取书本且各不相同，因此需要进行分步计数. 通过简单情境的对比，不仅让学生轻松掌握两个基本计数原理，而且通过亲身体验知晓了两个计数原理的本质差异;另外，分类思想的应用，也有利于学生数学思想的培养.

2. 例题设计要分层实施

无论从尊重个体差异的角度出发，还是为调动学生积极性的角度来考虑，例题设计都应体现层次. 首先，课堂是全体学生的课堂，课堂内容的设计需要充分考虑学生的认知，照顾个体差异，借助于基础题目让学困生收获学习的信心，利用拓展题目让学优生可以“跳一跳”;其次，通过分层次的梯度练习有利于旧知的回顾和新知的构建，充分发挥例题承上启下的作用.

例2 （1）已知锐角α的终边经过点（3，4），求sinα，cosα，tanα.

（2）已知锐角α的终边经过点（-3，-4），求sinα，cosα，tanα.

问题（1）的α是第一象限角，利用初中三角函数的定义即可求解，通过简单的旧知回顾为下面引出新知做好了铺垫. 将“经过点（3，4）”改为“经过点（-3，-4）”，打破了学生认为三角函数都是正值的局限，也充分认识到α也可以是其他象限的角，激发了学生对“任意角的三角函数”进行探究的热情. 本题采用的是分层设计，让学生利用已有认知解决问题后，自然地进入了下一个发展区的问题，这比传统的“强灌”更有利于激发学生学习的兴趣.

[⇩] 例题教学的实施过程

教材中例题设计的目的之一是为了让学生进一步理解和掌握概念、定理、公式，因此大多数例题反映了数学知识的本质属性. 同时，例题是专家精挑细选的，具有一定的典型性和示范性，蕴含着丰富的解题思路和解题技巧，因此合理利用例题有利于学生数学思维和数学思想的培养. 然而因地区差异和个体差异的存在，如果讲解例题采用的是“照本宣科”的教学模式，那么其在很大程度上会限制例题发挥作用. 因此，若要充分发挥例题的作用，教师应该将例题的结构特点和本质属性与学生的认知相结合，通过简单的变式方法将题设计成为适合本班学生思维特点、有利于提高学生兴趣的“范例”. 设计好“范例”后，教师要引导学生在“范例”的求解过程中学会审题、学会分析，充分调动已有认知促进思维发展.

1. 引导学生学会审题

审题是解决问题的前提，因此要提高学生的解题能力必须从审题开始培养. 首先，学会找关键词，从而将已知和结论关联起来;其次，学会挖掘隐含条件，寻找解题思路;最后，学会观察，通过观察题目特征和结构特点，结合解题的通性通法，认清题目的本质属性，从而正确求解.

例3 判断函数f（x）=的奇偶性.

虽然本题给出了函数解析式，然而直接观察f（x）与f（-x）的关系很难判断其奇偶性，此路不通，需要另辟蹊径. 在解决函数问题时，首先应考虑定义域，因此可回归原始思路，则9-x2>0，解得-3<x<3. 根据定义域可以将原解析式化简，得f（x）==. 化简后，根据f（x）与f（-x）的关系，也就不难求解了. 通过仔细审题和通法的应用，解决问题也就水到渠成了.

2. 引导学生自主探究

解题能力的高低与学生的思维水平有着直接的关系，因此，在例题教学中要重视学生思维能力的培养，可通过问题情境、自主探究、合作交流等方式来充分展现和发展思维过程. 大多数例题的设计是前后关联的，为学生创设了思考的空间，那么教学中应留给学生足够的时间去探究，这样不仅可以培养学生自主学习的好习惯，而且因学生更加深入地思考，也有助于他们思维的发展.

例4 设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________.

师：请大家仔细审题，看看此题该如何求解. （教师留给学生足够的时间去思考）

生1：根据待求的算式可将4x2+y2+xy=1进行转化，即（2x+y）2=3xy+1. 本题若要求解需要将3xy进行改造，即3xy=·2x·y. 根据基本不等式，可得（2x+y）2≤

+1，解得-≤2x+y≤.

师：在求解过程中从待求的算式出发，运用基本不等式将“和与积”进行互化，展现了强大的构建能力和运算能力，是一个很不错的解法. 同学们还有没有其他的解法呢？

生2：把2x+y看为一个整体，即设2x+y=m，則y=m-2x，代入已知等式并化简可得6x2-3mx+m2-1=0. 关于x的方程有实数解，则Δ=-15m2+24≥0，求得-≤m≤，即-≤2x+y≤.

师：很好，运用换元法和转化与化归思想，将题目转化为求关于x的方程有实数解的问题. 那么这样这个题目就真的解决了吗？

生3：在解题后需要进一步检验，若要使等号成立，则2x=y=，2x+y取得最大值.

师：很好，对于能否取等号需要进一步验证，这一步必不可少.

在本題的求解过程中，让学生利用已有认知去分析，尝试使用不同的方法进行解答，教师及时引导、鼓励、总结并利用教学活动充分地展现了学生的思维过程，其有利于培养学生的发散思维，有利于提升学生解决问题的能力.

[⇩] 反思与总结

如果例题教学采用的是“就题论题”的方式，不重视知识的关联、总结和归纳，那么知识点是凌乱的，不利于学生认知结构的构建，也会限制学生的知识迁移能力. 因此，例题教学需要引导学生经过反思和总结，从而发现问题的本质，提炼出解题思路，总结和归纳一般规律. 为了让学生更好地进行总结和归纳，可以尝试将例题进行一定的拓展和延伸，使学生通过进一步的剖析而提炼出通性通法，从而收获触类旁通的效果.

1. 重视变式拓展

变式拓展是数学教学中常用的一种教学手段，通过变式可以将抽象的、难度大的问题转化为直观的、易懂的问题，从而诱发学生的探究欲望;也可以通过变式拓展，让学生找到问题的本质，发现隐含其中的内在联系，从而提升学生的解题能力.

例5 （1）函数y=cos，求函数最大值、最小值及自变量x的集合.

（2）函数y=2-sin2x，求函数的最大值及自变量x的集合.

由于本班学生初学三角函数的图像和性质，直接求解可能会使部分学生因难度大而束手无策，为让学生可以顺利求解，可以将题目转化为“小坡度”的变式题，从而利用梯度变化消除学生的畏难心理. 因此，笔者设置了如下函数：①y=cosx;②y=cos;③y=sin

x+

;④y=2-sin2x;⑤y=3-cos2x. 从学生熟悉的函数的图像和性质出发，让思维通过“低起点，小坡度”上升，通过问题变化不断地诱发学生的探究欲望. 利用变式拓展，使得学生对三角函数的图像和性质进行了更加深入的学习，学生的解题能力获得了明显提升.

2. 重视反思与总结

例题讲解后，不应急于求成而进行强化训练，应引导学生及时地进行反思，领悟解决问题的过程和方法，总结解题的策略，通过对例题的反思而进行知识的内化和知识体系的构建.

总之，例题设计必须有一定的深度和广度，其教学过程要具备一定的参与性和探究性. 只有这样，才能发挥例题教学对提升学生学习能力和发展学生思维的作用. 同时，要重视反思、归纳、总结，实现“会一题、通一类”的目的，提高教学的有效性，使课堂更具生命活力.

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