关于“椭圆及其标准方程”的过程分析与教学思考

徐元珍

[摘  要] 知识与能力是课堂教学的重点，教学中建议立足教材内容设计闭环过程，引入情境丰富探究过程，教学环节以问题为驱动，引导学生思考. 文章以“椭圆及其标准方程”章节内容为例，进行教学反思、环节设计，提出了四点建议.

[关键词] 椭圆;情境;过程;活动;问题;教学

“椭圆及其标准方程”是高中数学的重要知识内容，教学的重点是引导学生经历椭圆方程的构建过程，掌握椭圆方程的基本形式;同时感悟探究过程，积累探究经验，获得知识与能力双重提升. 课堂教学要立足知识重点，唤起学生参与过程探究，在探索中发展数学思维，培养学科素养. 下面基于教学实践开展反思讨论.

[⇩] 过程把控，落实闭环教学

过程把控是课堂教学的关键，也是难点所在. 教学中需要立足教学重点，把控基础知识、活动环节、学生思维，即把控课堂的探究过程，帮助学生积累活动经验. 同时，要落实教学闭环，强化知识重点，全面提升学生的能力，故可围绕“四基”设计教学活动，包括数学活动、基本活动经验、基本思想、基础知识和基本技能，闭环流程如图1所示.

按照图1进行“四基”流程设计，依托数学活动，即情境化教学活动，让学生在活动中积累探究经验. 同时，数学活动应立足核心任务，为基础知识的教学与基本技能的传达服务. 在知识与技能的教学中要合理渗透数学的基本思想，如情境教学中渗透类比思想，椭圆定义推导中渗透归纳推理思想，方程建系中渗透模型思想，椭圆方程与图像分析中渗透数形结合思想;在活动探究中要让学生直接感悟数学思想，深刻体会思想的本质内涵.

数学的基本活动经验是学生参与数学活动中对数学知识与技能的内化，故活动设计要遵从教学探究理念，重视知识与技能的融合，帮助学生积累探究经验. 而强化学习基础知识是探究活动的最终目的，往往以探究结果的形式来呈现，教学中要注重知识与能力的融合与提升.

[⇩] 情境引入，探索定位新知

椭圆是生活中常见的图形，与我们的生活息息相关，“椭圆及其标准方程”的教学要引导学生从实物的感性认识上升到理性研究，故在课堂教学中建议采用情境引入的方式. 利用多媒體展示与椭圆相关的生活场景，如大家熟悉的天体运动、椭圆形的建筑物、生活物品等，同时让学生思考生活中其他的椭圆物件，引导学生发现椭圆，从感性层面认识椭圆.

后续根据学生的认知情况提出深层的数学问题并在互动中设置问题引发思考：类比圆的学习过程，椭圆应该按照怎样的顺序来探究？有哪些需要重点关注的内容？从而调动学生的思维，聚焦知识重点，形成椭圆内容探究的逻辑轨迹：椭圆绘图→椭圆形成的条件→椭圆定义，探索椭圆概念→椭圆方程的构建过程→总结椭圆的几何特征.

由情境素材到椭圆的探究内容，学生根据自我的知识经验完成过渡，并结合类比方法概括椭圆探究的重点. 该过程中涉及感性思维与理性思维的融合，直观想象与类比分析的融合. 同时，培养学生的数学思维，有助于学生定位新知，主动学习.

[⇩] 精致构建，丰富探究活动

教材在编排“椭圆及其标准方程”内容时设计了众多的探究环节，应严格按照知识探究的逻辑顺序进行课堂推进. 这样设计的原因有两点：一是符合学生的认知规律，二是遵从数学探究的过程要求. 而在课堂教学中也应根据对应内容精致构建，设计丰富的探究活动.

在“椭圆绘图”环节，引入实践活动，让学生准备一块纸板、一段细绳、两枚图钉，类比圆的画法来作椭圆的图，思考具体的作图方法——将绳子的两端用图钉F和F固定于纸板上，确保两点之间的距离小于细绳的长度，用笔将细绳拉紧在纸板上慢慢移动，同时让学生观察所绘的图形.

在“椭圆形成的条件”环节应注重探索与思考，应根据椭圆的绘图过程，思考两点问题：①笔尖移动过程中哪些条件是不变的，哪些是变化的？②绳子的长度与定点的距离有何关联？

在“椭圆定义”环节应类比圆的定义，引导学生充分利用几何与文字语言全面概括椭圆，该环节应关注定义中的关键词，如“平面内”“常数>

F

F”等. 同时，可采用类比辨析的方式，引导学生对照圆的概念逐条对比，引出椭圆的焦点、焦距等概念.

而“椭圆方程的构建过程”则应突出建系过程，可设置实践活动，突出数形作图过程，同时让学生思考建系的一般流程. 具体过程如下：①提取椭圆的两条对称轴，建立平面直角坐标系;②设定坐标轴，引出x轴和y轴;③引出动点，将动点的条件量化.

最后的“总结椭圆的几何特征”环节，则要重点培养学生的总结、归纳能力. 可给出如图3所示的图像. 从数形角度进行椭圆方程与直观图像的对应探讨，引导学生关注椭圆的图像与方程的两点关系：一是椭圆的焦点位置与方程参数的关系，二是椭圆的形状与方程参数的关系. 通过数形探究的方式引导学生对椭圆的几何特征形成深刻的认识，并理解椭圆方程参数的实际意义.

精致构建、活动探究的方式更符合学生的认知规律，学生亲历探究过程，参与课堂探讨，可充分锻炼学生的思维，从感性认知上升到深度的理性认知. 同时采用活动探究的方式来学习椭圆及其方程，学生可充分体会数形结合思想，提升语言表达、构图作图、总结概括等能力，其中核心素养的提升是永久的，对于学生的长远发展十分有利.

[⇩] 问题驱动，构建“知识链”

设问引导是课堂教学的重要方式，课堂中合理设置问题，可以启发学生主动思考，同时以问题为线索可驱动课堂，构建系统化“知识链”. 设置问题应遵循以下几点：一是问题要具有层次性，含有内在逻辑;二是问题要具有拓展性、迁移性，对学生的探究学习有迁移作用;三是整个“问题链”要形成体系，可促进课堂的自然过渡.

基于上述对问题设置的分析，建议采用“‘六何’问题链”，即利用问题驱动学生经历新知“从何”“是何”“与何”“如何”“变何”“有何”的变化过程，使学生成为课堂主体，强化学生的问题意识. 对于教学中的“‘六何’问题链”，如图4所示.

“从何”，即思考椭圆从何而来，如何被发现的. 教学重点是创设情境，让学生充分感知椭圆. 故核心问题可设置如下：①生活中还有哪些椭圆实物？②这些椭圆实物有哪些特征？

“是何”，即思考椭圆的定义，何为椭圆. 教学重点是概括椭圆的概念，让学生经历椭圆作图过程，理解椭圆的定义. 故核心问题如下：①描述作图过程，如何改变作图工具绘制不同的椭圆？②思考作图过程，实验工具的哪些量是变化的，哪些是不变的？有哪些发现？

“与何”是关于构建坐标系的思考，是建系过程、椭圆方程内容等的探讨. 故在教学中需要学生思考如下问题：①如何建系，如何与椭圆图像衔接起来？②若其中的常数不大于

F

F，则动点是什么轨迹？

“变何”是关于椭圆方程与图像的特征的探究，关注的重点是椭圆的焦点位置与椭圆形状的关联，突出体现数形结合. 故需要变换椭圆方程的条件，要让学生思考如下问题：①定义中2a值不变，椭圆焦距的变化对图像有何影响？②椭圆的焦点位置与方程的哪个参数有直接关系？

最后的“如何”和“有何”是关于椭圆的知识应用与反思归纳，是后续探究解题的关键，并提出问题：求椭圆方程有几种方法？引导学生利用所学的知识解决问题，倡导知识的应用，并提出问题：掌握了椭圆的哪些知识、方法？有何感想？设计意图是引导学生学会反思，根据自我学习的情况查缺补漏，完成知识的梳理总结.

“六何”受问题驱动，旨在引导学生探索知识本质，总结知识规律，形成新知“认知链”，而不是简单的问题叠合. 实际教学时可结合学生的学习情况灵活变动，引导学生主动思考，更好地掌握椭圆的定义及方程.

总之，“椭圆及其标准方程”的教学要立足重点，采用知识探究的方式，把握探究过程，形成知识与能力的闭环. 教学环节，采用情境引入，探索定位新知;而探究环节则要精致构建，丰富教学活动;同时建议课堂用问题驱动，形成“‘六何’问题链”，引导学生主动思考，发展学生的数学思维.

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