“互联网+SPOC”模式在高等数学教学中的实践与探索

（山东石油化工学院,山东 东营 257061）

1 引言

1.1 SPOC教学模式

当前的SPOC教学是一种结合线上与线下教学的混合教学模式，是在大学课堂，教师利用针对性较强的在线教学资源，比如MOOC视频（或教师自发录制的视频），实施翻转课堂。其基本流程是教师以作业的形式把视频材料或互动课件布置给学生，然后在线下课堂教学中重点讲解学生提出的疑难问题，并通过各种网络手段了解学生对知识内容的理解程度，在线下课上与学生一起解决问题作业或其他任务。这种混合教学模式能够提高学生的学习参与度和学习积极性，还能使教师更好地开展分层次教学、个性化教学和过程化学习管理，进而提高教学效果。

1.2 高等数学课程

“卓越工程师教育培养计划”是教育部贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》和《国家中长期人才发展规划纲要（2010—2020年）》的重大改革项目，其目的就是养造就一大批创新能力强、适应企业发展需要的多种类型优秀工程师[1]。高等数学作为各类工程技术人才培养的核心专业基础模块，在高等院校教学中肩负着培养学生的工程意识、工程素质和工程实践能力的基础性作用。此外，高等数学作为高校理工科的公共基础课程之一，是学习后续各种专业类课程的基础[2]。因此，必须加强高等数学教学，更好地服务卓越工程师的培养目标，以实现知识学习、能力培养和素质养成三位一体的教学目标。就高等数学课程本身而言，其内容逻辑严谨，抽象复杂，并且和初等数学有很大的区别，所以，学生在平常时期的学习是一个艰巨的学习任务。开展线上学习课程可以辅助线下课堂教学，也可以在非常时期帮助师生正常开展教学。

2 “互联网+SPOC”模式在高等数学教学中的实践与探索

2.1 构建SPOC混合教学模式

（1）建设基础教学资源。课程开始之前要精心准备基础教学资源（课程教学大纲、课程知识点、教学授课计划、电子教案、上课视频、习题库、教学课件PPT、测试题库、考核方案），使得教学工作能够顺利开展。教师根据已定教学目标和教学大纲制定视频观看手册，设计线上直播的课堂教学，然后上传各类基础教学资源，为课堂教学做好资源准备工作[3]。

（2）上课前学习引导。教师主要起引导作用，学生课下自选时间、地点开展自主学习教学内容。借助移动终端APP或网络教学平台（QQ群、学习通）发布课前任务通知和学习目标，学生接到通知后自选地点、时间进行在线学习教学视频，并完成在线的测试，提交课前研究或学习成果等相关任务[4]。教师通过网络平台来检查学生学习情况。这一阶段为开展后续线上直播教学奠定前期学习基础。

图1 SPOC混合教学模式流程图

（3）上课中翻转课堂学习探索。针对课前学习情况的反馈开展课堂教学，并对学生所反映的问题作详细的答疑。教师通过文字、视频等手段进行多元化互动学习，进而巩固、探索和扩展课程学习内容。老师总结课前知识并提出新的学习任务，师生共同探索学习、完成原定课堂任务。在此基础之上，建立线上线下直播的翻转课堂，最后老师做知识点汇总，学生总结自评。老师通过移动端或者网络教学平台继续进行学习过程化管理。

（4）上课后巩固提升。教师借助网络平台或移动终端发布课后作业，巩固加深新学知识，并拓展开发新任务。适时适地引导学生继续拓展相关知识，不断提升主动获取知识的能力。利用学习平台完成学习过程评价和学习成果评价的成绩录入，以此反馈教学效果。课后老师通过讨论、作业、测试等多种手段对学生在线学习效果进行评测，然后制定有效措施补充相应的问题。

（5）构建多元化考核体系。老师通过讨论、作业、测试等多种手段对学生在线学习效果进行评测，然后制定有效措施补充相应的问题。并对整个线上教学活动做总结和评价，根据学生反馈，完善课程的实施方案和评价标准以及课程相关的教学材料[5]。最终统计平时成绩和期末成绩得到学生最后综合评价结果。

可依据高数课程广度和深度的要求，根据一元微积分和多元微积分的内容要求，逐步提高具体标准要求，并根据学情制定不同层次的教学目标。而教学内容在考虑学生下位技能的基础上，也可以依据不同层次的教学目标，设置相应的范围限制与深度，明确重点难点，达到以学生的需求为出发点，分层次教学的教学目的，大大提高课程的适应性，做到有的放矢[6]。

2.2 以“二重积分的概念”为例具体介绍SPOC教学模式

（1）上课前复习前段课程。布置学习任务：A.复习极限的概念；B.复习定积分的概念与几何意义；C.复习曲边梯形面积的求解过程（分割，近似，求和，取极限）。以上任务以发布相应学习视频为主，由于内容丰富，课下复习会有更充足的时间让学生学习。

（2）上课中理解概念。通过问题曲顶柱体体积的求解来引入概念。类比求曲边梯形面积的解决方法，引导学生总结解题步骤。

（A）分割。用一组直线网把D分成n个小区域：∆σ1,∆σ2，……,∆σn，其中∆σi表示第i个小区域，也表示它的面积。分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个小曲顶柱体。每个小曲顶柱体的体积分别为∆Vi(i=1,2,……,n)。

（B）近似。当这些小闭区域的直径很小时，由于f(x,y)连续，对同一个小闭区域来说，f(x,y)变化很小，这时小曲顶柱体可近似看作平顶柱体。在每个∆σi中任取一点(ζi,ηi)，以f(ζi,ηi)为高，底为∆σi的平顶柱体的体积为：f(ζi,ηi)∆σi(i=1,2,……,n)。

这一过程以下几个问题要搞清楚：

第一，为什么要用平顶柱体来代替？（以提问方式引导学生思考）

第二，为什么可以用平顶柱体来代替？（以小组讨论方式引导学生思考）

第三，用哪一个平顶柱体来代替它？（以小组讨论方式引导学生思考）

图2 曲顶柱体

（D）取极限。为求得曲顶柱体体积的精确值，只需将分割加密，令n个小闭区域的直径中的最大值（记为λ）趋于零，取极限，就得到曲顶柱体的体积：

分析所得的结果，是二元函数值与小闭区域面积的乘积的和的极限。

再推送一个问题：平面薄片的质量。然后引导学生发现共同点，类比两个引例，尽管一个是几何问题，一个是物理问题。也就是说问题的实际意义不同，但是最后的数学模型是一样的：都归结为同一形式的和的极限。这在现实科学研究和实际工程技术中，许多类似的问题都可以归结为这种形式的和的极限。因此，把这种和的极限抽象出来，进行研究，就得到了二重积分的定义。然后小组讨论注意点：

注1：在直角坐标系中，引导学生发现可以用平行于坐标轴的直线网来划分D，这样除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。继而可以设矩形闭区域∆σi的边长为∆xj和∆yk，则∆σi=∆xj∆yk，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素dσ记作。这就是通常说的微元。而把二重积分记作：

其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素。

注2：当f(x,y)在闭区域D上连续时，积分和的极限是存在的，也就是说连续函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在。

注3：将曲顶柱体的体积和平面薄片的质量表示成二重积分。

继续引导学生发现二重积分的几何意义。采用聊天模块、点名对话、举手模式或者小组讨论的方式获取学生的学习状态和获得新知的程度，并据此调整讲解内容和侧重点。

（3）上课后巩固提升。利用网络平台进行课后作业的发布、提交和批阅，利用群组讨论进行课后讨论、答疑等拓展活动，巩固加深新学知识，并拓展开发新任务。学生能够自主在线复习教师发布的教学资源和直播课堂的录播视频，通过师生在线答疑、群组在线讨论等各种形式进行线上互动，并及时提交拓展任务成果，完成在线测试[7]。教师利用手机端和电脑端在线批阅学习成果，利用学习平台完成学习过程评价和学习成果评价的成绩录入，以此反馈教学效果。

2.3 SPOC教学模式的进一步探讨

通过网络教学平台，建立了一个有效的直播课堂。通过这个平台，老师能够获得学生课前学习的反馈情况，在线上线下课堂上完成多元化互动学习、巩固、探索和扩展课程内容；通过线上线下课堂还可以进行分组研讨、小组协作等形式师生共同探索学习，完成课堂任务；学生分组总结自评，教师做知识总结。课后，老师通过网络教学平台继续进行学习过程化管理。

由于老师不能同时关注到每一个学生的具体学习状态，进而不能把握学生是否真的在学习或者是能够接收消化学习内容。所以，如何在较短的直播课堂时间内迅速获得学生的真实学习状态和学习进度是研究难点。

所以，依据课程深度和广度的要求，分别制定不同层次的教学目标，进而逐步提高课程具体标准要求，形成金字塔型结构。在教学内容上，设置相应的学习深度和知识范围，在明确学生下位技能基础上，适时突破难点，突出重点。达到以学生的需求为出发点，分层次教学的教学目的，大大提高课程的适应性，做到有的放矢。

本教学模式的创新点在于教学目标创新，课程目标上以培养学生的数学思维为导向，打破传统的以教会课本知识为主的教学目标，实现由知识中心向能力中心的转变。教学内容创新是指对传统的教材内容进行了解构和建构，重构知识模块，并形成了多维教学资源。注重数学史、现实生活知识和数学前沿知识融入课堂，增强学生对我国数学历史的自豪感和爱国情怀，使课程内容更符合应用技术型人才的培养。教学方法创新是指采用情景教学法、参与式教学、案例教学法、云平台互动式教学法，实现了传统教学模式向混合式教学模式的转变。评价方式创新是指由传统的一张试卷定成绩，走向了过程+结果的多元化的评价方式。

3 结语

本文主要介绍了“互联网+SPOC”模式在《高等数学》网络直播课堂教学活动进行的相关实践与探索，对课前课中课后三个阶段重新设计，较高质量地完成了既定的教学任务，不仅能够借助互联网进行课程评价，还可以在教学平台上发起问卷调查，了解学生对课程的满意程度，根据学生的考核成绩以及反馈意见不断调整授课形式，从而提高教学质量。