立体车库顾客到达的非齐次泊松过程模拟仿真

杨 波，李建国，康耀军

兰州交通大学自动化与电气工程学院，甘肃兰州 730070

发展立体车库是解决城市停车难问题的有效途径之一，中国立体车库的起步较晚，其发展情况与国外相比存在一定差距[1]．立体车库相关研究主要包括车库的库位布局与搬运设备的配备、车位分配方式与搬运设备调度策略的系统控制研究．顾客的到达过程通过影响车库搬运设备的繁忙度与车库空闲车位数量，进而影响车库的运行效率．

目前关于车库服务系统客流的研究中，对客流状态的研究居多，如文献[2-4]根据对不同到达率下的顾客流进行聚类、划分及识别，选择不同调度策略以达到提高车库运行效率的目的．对具体顾客到达过程的研究则较少．一般认为顾客的平均到达率恒定，与到达时间无关，如李建国等[5]基于选取泊松到达，对车库的库位布局和资源配置展开研究，通过对比各配置下的车库运营效率指标，得到最佳资源配置结果；张芳芳等[6-7]对车库存取车优化控制策略、车位分配进行以泊松到达为顾客源的仿真，得到相关存取车优化策略，并分析所提算法在车位分配中的有效性．文献[5-7]均以泊松流模拟顾客的实际到达，但实际中并非所有的顾客到达都服从泊松分布，如宋文波等[8]通过复合非齐次泊松过程仿真，得到满足预售期内旅客购票特点的票额分配方案；董一凝等[9]通过将非齐次泊松过程离散化为分段的齐次泊松过程，解决了校园车辆的调度问题；何恒等[10]通过研究医院系统，发现病患者到达过程服从非齐次泊松过程，提出采用分时段预约的策略，缓解了排队问题．

本研究基于实际立体车库泊车数据，通过K-S检验方法，证明所研究车库的顾客到达属于非齐次泊松过程．采用回归分析方法得到顾客平均到达率与到达时间的关系，对车库运行过程进行仿真，实现顾客到达的非齐次泊松过程模拟，验证该模拟过程下的车库运行效率与实际更相符．探究准确模拟车库服务系统顾客到达过程的必要性，为具有此类顾客源车库的运行仿真过程提供借鉴．

1 顾客到达过程验证

非齐次泊松过程是泊松过程的一种推广形式，是换了一个时钟来计时的泊松过程，具有不平稳增量的特点，与车库实际的顾客到达过程相似．

1.1 非齐次泊松过程

当泊松过程的强度λ与时间t相关时，泊松过程被推广为非齐次泊松过程，定义为

若计数过程{N(t),t≥0}，λ(t)>0(t≥0)， 满足

1)N(0)=0；

2) 过程有独立增量；

3)P{N(t+h)-N(t)=1}=λ(t)h+o(h)；

4)P{N(t+h)-N(t)≥2}=o(h)；

则称N(t)为具有强度函数λ(t)的非齐次泊松过程．其中，λ(t)为强度函数；o(·)表示高阶无穷小．

1.2 顾客到达过程与到达时间数据分析

分析中国西安市某立体车库2017年6月至2017年8月的顾客泊车数据(简称数据样本)，泊车时段基本为07∶00—23∶00．记顾客到达时间为t，相继到达的时间间隔为d(单位：s)(当前顾客对应时间间隔为其后顾客到达时间减去当前顾客到达时间)，以07∶00作为0时刻，将数据样本中的顾客到达时间转换为以s为单位的数值，任取数据样本中20个工作日与非工作日数据进行上述转换，并将其按照到达时间转换后的数值大小依次排序，结果如图1．

图1 到达时间与间隔时间的数据散点图Fig.1 Scatter plot of arrival time-interval time data

由图1可见，到达间隔时间点均呈现上方稀疏、下方密集的分布，说明顾客到达时间间隔越小，到达次数就越多，某时间间隔内顾客到达次数的计数过程符合泊松分布特点；在横向上可以观察顾客的到达率情况，即不同到达间隔下的顾客到达量，图1(a)和(b)中均呈现先增后减再增的变化情形，认为顾客到达率与到达时刻存在一定相关性．因此，推测该车库的顾客到达过程属于非齐次泊松过程．对比图1(a)和(b)数据散点的密集程度可见，工作日数据散点较稀疏，工作日顾客到达数量少，对车库运行能力的要求相比非工作日低很多，因此，为提高立体车库运行效率的实际意义，本研究主要考虑非工作日的顾客到达过程．

1.3 顾客到达的非齐次泊松过程验证

非齐次泊松过程的验证常利用λ(t)的连续性与缓慢变化性，将顾客到达过程转化为小区间上泊松性的分段常数，验证每个小区间上的泊松性是否成立[11]．由于顾客到达的泊松过程与顾客相继到达时间间隔服从负指数分布等价[12]，因此，将顾客到达是否服从泊松分布转换为顾客相继到达间隔是否服从负指数分布问题．

K-S检验是用于对比两类样本是否属于同一分布的常用非参数统计方法[13]．本研究尝试以40 min的时间间隔将图1(b)非工作日中的到达时间划分为24个区间段，由于800～960 min的顾客到达数量较少，达不到检验要求条件，故舍去在此时段上的检验．因此，对图1(b)中07∶00—20∶20划分为20个区间段，对各区间段进行显著性水平a=0.1的单分布K-S检验，结果如表1．其中，ω为假设顾客到达间隔时间服从负指数分布的均值(单位：s)；P为显著性水平．由表1可见，按40 min划分，各区间段均保留到达间隔时间服从负指数分布的原假设，且各区间段内的间隔时间均值各不相同，由此证明该车库非工作日顾客到达过程属于非齐次泊松过程．

表1 逐区间段K-S检验(a=0.1)

2 顾客到达的非齐次泊松过程拟合

为更好模拟顾客到达的实际过程，采用回归分析方法得到顾客到达的非齐次泊松过程拟合模型．对其拟合优度进行检验，分别对比非齐次泊松过程模型、泊松过程模型与实际顾客到达过程，得出非齐次泊松过程更符合实际顾客到达过程的结论．

2.1 顾客平均到达率函数λ(t)

图2 车辆到达平均间隔时间拟合曲线Fig.2 Fitting curves of mean time between arrivals of vehicles

为判断三次模型估计的有效性，通过统计分析软件对已得估计模型随机误差项中同方差性进行检验，运用加权最小二乘法对模型异方差进行修正，得到最终回归模型的一般表达式为

f(t)=b1t+b2t2+b3t3+c

(1)

其中，常数c=426.920；b1=0.056；b2=-4.420×10-6；b3=7.900×10-11．

顾客平均到达间隔时间函数d(t)=f(t)， 由此得λ(t)为

λ(t)=1/d(t)

(2)

因此，该系统的顾客到达过程即可转化为在长度为t的时段内，顾客到达量服从参数为λ(t)的泊松分布，或认为顾客相继到达的间隔时间服从参数为d(t)的指数分布．

2.2 顾客到达分布拟合优度检验及对比

取图1(b)数据为样本，计算该样本顾客平均到达率λ=5.6 veh/min，再取该样本下拟合顾客平均到达率函数λ(t)， 分别模拟20 d中07∶00—23∶00 内的顾客到达过程，按照40 min的时间间隔将以上时段划分为24个区间，统计各区间顾客数量并计算20 d内各区间的平均到达顾客数量，分别记为HPP样本和NHPP样本．依照上述统计和计算方法对实际数据样本20 d中各区间平均顾客数量进行计算，得到各样本顾客到达率分布，如表2．

①猕猴桃产业中猕猴桃的优质果品的品种更新慢，储备量少，储藏技术不先进。在推广种植方面，生产面积增长率整体呈下降趋势，季节产量不稳定，受市场波动影响较大，在整个市场中的竞争力不高，也没有很好的利用互联网信息平台进行品牌推广。在运输方面，没有形成快速的物流体系，加强内外交流。同时现有的果农商店和小型农产品公司规模小，产业拉动力弱，抵御风险能力弱，农业产业化、标准化程度低。

表2 各样本与实际到达率分布

分别对NHPP样本、HPP样本与实际样本进行两独立样本K-S检验[13]，选取显著性水平a=0.1． 检验结果中仅NHPP样本与实际样本的K-S检验渐近显著性p值为0.139 >a，得到非齐次泊松到达与实际到达属于同一分布．

取表2中HPP样本、NHPP样本与实际样本对应区间平均顾客量的差值(绝对值)，分别记为误差1和误差2．得到两样本与实际样本误差，如表3．分别对表3中的误差1和误差2数据进行正态性检验，证明两组数据均服从正态分布，在此基础上对两组误差数据进行配对，通过逐对τ置信区间比较法分析．经分析配对样本均值为-1.187 50，且两误差有明显差异，其差值95%置信区间[-1.945 36，-0.429 64]位于0左侧，说明HPP样本与实际样本的误差波动更大，表明顾客到达的非齐次泊松过程与实际更接近．

表3 两样本与实际样本误差

3 实例验证

3.1 车库运行过程建模及效率指标定义

为探究不同顾客到达过程对车库运行效率仿真结果的影响，根据实际车库运行编写仿真程序．以西安市某商业区附属车库为研究对象，其结构为2层12列2排，可用车位数48个，所有车位均位于地下，1个进出(I/O)口位于地面，立体车库结构模型如图3．经现场调研得到该立体车库的设备特征参数值， 结合以下车库运行规则， 编写其运行仿真程序．

图3 立体车库结构模型Fig.3 Stereo garage structure model

1)I/O口坐标为(0,0,3)，升降机横坐标为0，其水平移动1个车位用时5 s，竖直移动1层需要7 s．顾客到达后车辆入库检查及进行存取操作的时间固定为60 s．

2)服务规则服从先到先服务原则．

3)顾客到达后遵循就近存车的调度策略，当有车辆被取出时，则根据出车优先原则接受服务．

4)以顾客离开车库时间减去顾客到达时间近似为顾客库内停留时间样本，拟合得到该车库顾客的库内停留时间(单位：min)服从正态分布，其均值μ=208 min，方差为σ2=30．

5)假设车库初始状态为空库状态，顾客到达时间段为07∶00—23∶00．

依据实际调研分析车库的运行效率指标如下．

1)顾客平均等待时间T由服务顾客总数与顾客等待总时间决定，T越小说明车库的运行效率越高．T的表达式为

(3)

其中，J为总存车顾客数；j为存车用户(j=1,2,…,J)；K为总取车顾客数；k为取车用户(k=1,2,…,K)； 当等待队列中有Aj个待存车用户，Bj个待取车用户，且等待队列中最后一个取车用户编号为k′时，j1为当前存车用户，对应接受服务时长为TCj1，k1为当前取车用户，对应接收服务时长为TQk1； 当等待队列中有Ak个待存车用户，Bk个待取车用户，等待队列中最后一个存车用户编号为j′时，j2为当前存车用户，对应接受服务时长为TCj2，k2为当前取车用户，对应接受服务时长为TQk2.

2)顾客平均等待队长Q由服务顾客总数及每位顾客的等待队长决定，表征每位顾客等待队长的平均值．Q的表达式为

(4)

3)结合实际调研，取15 min为顾客可等待的最大时长，顾客流失率R为

(5)

其中，M为未接受服务离开的顾客数．

3.2 顾客到达过程实例仿真

任取数据样本非工作日中的某几天作为实际参照，依顾客平均到达率函数λ(t)与数据样本中顾客平均到达率λ=5.6 veh/min，分别模拟车库在6月4日、7月9日、7月29日及8月19日的顾客到达非齐次泊松过程与齐次泊松过程，结果如图4．可见，不同时段顾客到达率的变化趋势反映了不同的顾客到达过程．其中，模拟泊松到达过程的顾客到达率基本保持恒定；而非齐次泊松到达过程顾客到达率随顾客到达时间的不同而不同，其变化趋势与实际吻合，整体呈现顾客到达率先增后减的趋势．整体拟合曲线进一步验证2.2节所得结论，表明该车库系统非工作日顾客的到达过程为非齐次泊松过程．

图4 不同到达过程顾客到达时间拟合Fig.4 Fitting curve of customer arrival time for different arrival processes

3.3 车库运行效率指标仿真分析对比

编写车库运行仿真程序，获得顾客到达为泊松过程与非齐次泊松过程的仿真结果，并与车库实际运行效率指标对比分析，以探究仿真与实际结果的相似度，及顾客不同到达过程对仿真结果的影响．

3.3.1 泊松到达过程下的车库运行仿真

取λ=5.6 veh/min模拟顾客到达为泊松过程的车库运行过程，程序运行30次，每次取参数为λ的泊松流，将各仿真指标的平均值作为该车库非工作日顾客齐次泊松到达过程下的车库运行效率指标，结果为顾客平均等待时间T=0.581 min； 顾客平均等待队长Q=0.170 veh； 平均顾客流失率R=0．

3.3.2 非齐次泊松到达过程下的车库运行仿真

重复上述仿真过程，将λ变为λ(t)， 得到非工作日顾客非齐次泊松到达过程下的车库运行效率指标，其中，T=2.412 min，Q=1.105 veh，R=0.128%． 因此，在总体顾客平均到达率相同的情况下，不同顾客到达过程对应的车库运行仿真结果相差较大，表现在非齐次泊松到达过程下的车库运行效率指标较齐次泊松过程有大幅降低．

3.3.3 对比非工作日车库实际运行效率指标

经现场调研并分析顾客泊车记录，非工作日顾客集中到达时段为13∶00—17∶00，故着重调研该时段实际顾客到达过程下的车库运行情况，得T=4.032 min，Q=2.823 veh，R=0.161%． 可见，非工作日顾客集中到达时段内的车库运行效率指标，与顾客到达为非齐次泊松过程的车库运行仿真结果更接近，表明此车库顾客到达过程模拟采用非齐次泊松过程时的结果更好．

结 语

本研究以西安市某商业区附属车库为研究对象，根据顾客泊车数据，仿真不同顾客到达的车库运行状况，对比仿真结果得到，顾客到达为非齐次泊松过程的仿真结果与车库实际运行效率指标更接近．当顾客到达过程不确定时，将非齐次到达过程视为齐次到达过程，可能会导致车库运营效率指标不准确，进而造成车库系统研究决策上的偏差．

在实际运营效率指标较低的情况下，以齐次泊松过程模拟的顾客到达下的车库运营效率指标更有利，而采用非齐次的顾客到达更契合实际．鉴于此，针对具有非齐次性顾客到达的立体车库，可以考虑采取分时段调整调度策略和配置搬运设备等措施减缓顾客到达非齐次性的影响，达到提高车库运行效率的目的．