霍尔效应中系统误差的测量和分析

江阴职业技术学院 倪忠楚

根据霍尔效应公式及其爱廷豪森效应、里纪-勒杜克效应、能斯脱效应和不等位电势差四个副效应的关系式，结合对称测量法的特点，推导出了这四个副效应在霍尔效应中产生电压的测量计算式，并得到了它们与霍尔电压的相对误差表示式，简要分析了产生误差的原因，提出了减小误差的方法。

霍尔效应及应用实验是高校理工科重要实验之一，由于在霍尔效应中，还伴随着爱廷豪森效应、里纪-勒杜克效应、能斯脱效应和不等位电势差四个副效应，这些副效应对霍尔电压的测量带来较大的影响，在实验室里常用对称测量法来减小这些影响。目前，霍尔效应在自动化技术、智能制造技术、精密检测技术和物联网应用技术等领域内有非常广泛和重要的应用，在实际应用中，四个副效应带来的系统误差不可能采用实验室里的方法加以消除，为了提高其使用精确度，文章对霍尔效应中由副效应引起的系统误差如何进行测量和分析做了一些研究，其方法、数据和结论对生产厂商在霍尔晶片的设计和制造工艺等方面具有十分重要的参考价值，并为系统误差的修正提供必要的依据。

1 霍尔效应中系统误差的测量计算式

1.1 霍尔效应和四个副效应

上面公式中，KH是霍尔晶片的灵敏度，与晶片本身有关，Is是通过霍尔晶片的电流，B是垂直于霍尔晶片的磁感应强度，QS是通过霍尔晶片的热流，与电流方向无关，r是晶片两侧输出电压电极由于不在同一等位面上时，存在的差值电阻。

从上面公式中看出，霍尔电压VH和爱廷豪森效应引起的电压VE的方向与电流Is和磁场B的方向均有关系，而里纪-勒杜克效应引起的电压VRL和能斯脱效应引起的电压VN的方向仅与磁场的方向有关，而与电流方向无关，不等位电势差V0的方向仅与电流方向有关，而与磁场方向无关。

1.2 霍尔效应实验的对称测量法

在实验室里，根据霍尔电压方向和四个副效应引起电压方向的特点，常采用对称测量法，即改变电流和磁场的方向，来消除副效应的影响，具体如下。

当工作电流和磁场方向为：

（1）+Is，+B

根据式(1)、(2)、(3)、(4)和(5)得：

从上式看到，在对称测量法中，虽然无法消除爱廷豪森效应对霍尔电压测量的影响，但它远小于霍尔电压，与不等位电势差相比，影响也较小，对精度要求不是很高的测量，可以忽略不计，这样实验室里采用对称测量法，得到的霍尔电压的测量计算式为：

上式中，VH-m表示霍尔电压的测量值，这就是在实验室里采用对称测量法常用的霍尔电压测量计算式。

需要说明的是，用式(6)计算结果若是正值，表明霍尔电压的实际方向与假设方向相同，若是负值，表明霍尔电压的实际方向与假设方向相反。

1.3 里纪-勒杜克效应、能斯脱效应和不等位电势差引起误差的测量计算式

1.3.1 里纪-勒杜克效应和能斯脱效应产生的电压之和及引起误差的测量计算式

因为：

若用VRLN-m表示里纪-勒杜克效应和能斯脱效应产生的电压之和的测量值，则：

实际测量中，若计算结果是正值，表明里纪-勒杜克效应和能斯脱效应产生电压之和的实际方向与假设方向相同，若是负值，表明电压的实际方向与假设方向相反。

与霍尔电压相比，产生的相对误差为：

同样，若计算结果为正值，表示两者同向，反之为反向。

下面从理论上对它做一下误差分析。

由式(8)展开得：

式中，Qs是沿电流Is方向霍尔晶片里的热流，它与晶片两端的温度差有关，而温度差与连接电极的接触电阻差值的大小有关，还与电流Is的大小有关。

由此可见，里纪-勒杜克效应和能斯脱效应引起的相对误差，除霍尔晶片本身的材料和外界的工作电流有关外，还与连接电极的接触电阻差值的大小有关，或者说，里纪-勒杜克效应和能斯脱效应就是由霍尔晶片连接电极的接触电阻不同引起的，所以在制作霍尔晶片时，连接晶片两端电极的接触电阻尽量相同，这样可以大大减小由此而引起的误差。

1.3.2 不等位电势差及引起误差的测量计算式

因为：

若用V0-m表示不等位电势差的测量值，则：

同样，计算结果若是正值，表明不等位电势差的实际方向与假设方向相同，若是负值，表明不等位电势差的实际方向与假设方向相反。

与霍尔电压相比，产生的相对误差为：

同样，若计算结果为正值，表示两者同向，反之为反向。

下面也从理论上对它做一下误差分析。

由式(11)展开得：

从上式看到，不等位电势差引起的相对误差，除了跟外界磁感应强度成反比外，还与材料本身有关，r是晶片两侧输出电压电极由于不在同一等位面上时，存在的差值电阻，该电阻越小，误差越小。由于一般情况下，不等位电势差引起的误差在整个系统误差里占比最大，所以特别要注意它的制作工艺。

1.3.3 爱廷豪森效应引起误差分析

先对爱廷豪森效应产生的电压作简要分析。

爱廷豪森效应是由于霍尔晶片里截流子热运动速率不同，速率大的由于受到的洛伦兹力也大，大于同时受到的电场力，因而会偏向晶片的一侧，而速率小由于受到的洛伦兹力小于受到的电场力而偏向另一侧，这样在霍尔晶片的两侧形成温度梯度而产生汤姆逊效应。

汤姆逊电动势为：

式中，ε是沿积分方向的汤姆逊电动势，σ(T)称汤姆逊系数，与材料和温度有关，金属的汤姆逊系数很小，在0℃时，铜的汤姆逊系数的数量级为10-6V.K-1，而半导体的汤姆逊系数比金属要大得多，数量级一般为10-3V.K-1。

在爱廷豪森效应中，霍尔晶片两侧的温差是很小的，可以把汤姆逊电动势积分式里的σ(T)看成是一个常量，这样汤姆逊电动势计算为：

根据式(1)和(2)，爱廷豪森效应产生的电压相对于霍尔电压的误差为：

从上式中看到，爱廷豪森效应引起的相对误差与工作电流Is和磁感应强度B均是无关的，跟材料的汤姆逊系数有关，汤姆逊系数越小，误差越小，还跟霍尔晶片的灵敏度有关，灵敏度越大，误差越小。对于给定的霍尔晶片，在工作环境温度一定的情况下，爱廷豪森效应引起的相对误差是一定的。

前面已经阐明，在实验室里用对称测量法，无法消除爱廷豪森效应的影响，同样也无法用对称测量法的测量来计算出爱廷豪森效应产生电压的测量值。

如电流采用交流电时，可以消去爱廷豪森效应和其它热磁效应的影响，由于已有文献对此做出了论述，在此不再讨论。但需要说明的是，如果在交流法中交流电流的有效值与对称测量法的直流电流相等，且磁场的感应强度也相等的情况下，这两种方法测到的霍尔电压的差值，可以认为是爱廷豪森效应产生的电压值，它与霍尔电压的相对误差同样可以计算了。

2 结语

本文从霍尔效应公式和四个副效应的关系式出发，结合对称测量法的特点，导出了里纪-勒杜克效应和能斯脱效应产生的电压之和的测量计算式(7)和不等位电势差的测量计算式(10)，并结合交流法，给出了测量爱廷豪森效应产生电压的方法。同时导出了它们与霍尔电压相对误差的关系式(9)、(12)和(13)，通过简要分析，为减小实际应用中副效应带来的系统误差，在霍尔晶片材料的选择和制造工艺上提出了一些建议。

笔者曾对实验室里的两个样品（样品1：灵敏度为2.84mV.mA-1GS-1的硅晶片，螺线管匝数密度为109.07×102m-1；样品2：灵敏度为2.54mV.

mA-1GS-1的硅晶片，螺线管匝数密度为111.70×102m-1）进行过实际研究，在励滋电流为0.7A且保持不变的条件下，改变工作电流从1.0mA递增到10mA，其中里纪-勒杜克效应和能斯脱效应引起的相对误差极小，平均值在0.1%左右，且在电流增大后趋近于零；不等位电势差的相对误差最大，样品1平均值为8.8%，样品2平均值为17.6%，且基本保持不变，而爱廷豪森效应引起的相对误差两个样品均在3%左右，且均保持不变，与其它文献在5%以下的结论相符。