移动平均模型的经验欧氏似然推断*

容健荣

（广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004）

0 引言

移动平均模型是自回归移动平均模型的一个特例,而自回归移动平均模型是时间序列分析的一个重要模型。研究移动平均模型可为日后自回归移动平均模型的研究带来一定的借鉴。

经验似然方法是由Owen 在文献[1]中提出的一种非参数推断方法。由于它拥有类似于重抽样方法的优点,吸引了一大批学者投身于经验似然方法的研究。Li 等人在文献[2]中利用了经验似然方法对移动平均模型进行研究。但是经验似然方法在求解过程中会出现没有显式解的情况，而且计算比较复杂。为了应对这些问题,Ow⁃en 在文献[3]中提及了使用经验欧氏似然来替代经验似然。罗旭在文献[4]中系统地研究了经验欧氏似然,发现了经验欧氏似然方法使得在一些场合下,其解拥有显式表达式,由此降低了计算上的复杂性,而且经验欧氏似然方法也同样拥有类似于经验似然方法的渐近性质。基于此，本文通过经验欧氏似然方法来研究移动平均模型。

1 主要结果和证明

考虑下面的移动平均模型：

其中q是模型的阶数,而且q是一个正整数,β1,…,βq是模型的参数。{ϵt}是一个独立同分布并且具有非退化密度函数的序列,它们的均值为0,方差为σ2。令yn=(x1,…,xn)′,其中{xt}是来自模型(1)的观测值。记β0=1,β=(β1,…,βq)′,θ=(β′,σ2)′=(θ1,…,θq+1)′。 能 够 计 算 出E(yn) =0,Σn=Cov(yn) =(Cov(xi,xj))n×n,其中

yn的拟对数似然函数(省略常数项)

对似然函数求偏导可得

令上述偏导数等于0, 我们获得以下估计方程：

令ϵ(n)=(ϵ1-q,ϵ2-q,…,ϵn)′,β(i)=(0,…,0,βq,…,β0,0,…,0)′,其中βq是β(i)的第i部分。则xi=,1≤i≤n,可得

我们用bki,j表示矩阵Bk,n的(i,j)元素。并且规定，当求和的上标小于1 时，我们令该和为0。为了处理(3)式中的二次型形式，需要引入文献[5]中介绍的鞅差序列。

定义σ-域:F0={φ,Ω},Fi=σ(ϵ1-q,ϵ2-q,…,ϵi),1-q≤i≤n。令

则Fi-1⊆Fi,eik,n是Fi-可测的，并且E(eik,n|Fi-1)=0。因此{eik,n,Fi,1-q≤i≤n}构成一个鞅差序列，且

令

通过ωi(θ),我们提出θ的经验欧氏似然比统计量

其中pi满足

在本文中，记μ4=Eϵ4t。用Vec(diag(A))表示由矩阵A的主对角线上的元素构成的列向量。令ΣSn=2σ4C1+(μ4-3σ4)C2, 其 中C1=(C1i,j),C1i,j=tr(Bin Bjn), 和C2=(C2i,j),C2i,j=(Vec(diag(Bin)))′×(Vec(diag(Bjn)))。为了获得经验欧氏似然比统计量的渐近分布，需要给出以下假设条件：

(A1){ϵi,1-q≤i≤n}是均值为0,方差有限的独立同分布随机变量序列,且存在δ＞0,使E|ϵi|4+δ＜∞。

(A3)存在常数c＞0 使ηmin((n+q)-1ΣSn) ≥c,其中ηmin(A)表示矩阵A的最小特征值。

(A4)移动平均模型的移动平均系数多项式方程的根在单位圆外。

引理1在(A1)～(A3)假设条件下，当n→∞时,有

见文献[2]的引理3。

定理1在(A1)～(A3)假设条件下，当n→∞时,有

其中表示自由度为q+1 的卡方分布。

证明：利用拉格朗日乘数法给出ln(θ)的表达式,为此取

其中γ∈R,λ∈Rq+1是拉格朗日乘数。对(6)式求关于pi的偏导数并令为零,即∂G/∂pi=0,得

在(7)式两边对i从1-q到n求和,得

上式化简可得

由(8)～(10),得

由引理1, 得

由此完成了定理1 的证明。