交换半环上半模的标准基

周艺璇， 王学平

（1.四川民族学院理工学院，四川 康定626001； 2.四川师范大学数学科学学院，四川 成都610066）

半环上半模理论的研究历史悠久.1966年，Yusuf［1］提出半环上可逆半模的概念，并得到类似于模理论的定理.于是，很多学者以此为起点展开对半模理论的研究［2-4］.如：文献［2］广泛地描述半环以及半环上的半模，并介绍半模理论在数学的其他分支、密码学及理论计算机科学等上的应用；文献［5-6］讨论零和自由半环上可逆矩阵的性质，完善了半可逆矩阵的性质，扩展了矩阵的应用范围；文献［7］描述了有极小理想的半环的结构.

基是半模中最重要的概念，由此国内外学者关于基的研究工作很多，如：文献［3］在MV代数上建立了半线性空间，引入基的概念，并提出在半线性空间中不同基的势是否相等的开问题；文献［8］在join-半环中给出不同基的势相等的充要条件；文献［9］给出Zerosumfree半环上n维半线性空间Vn中每组基有相同势的充要条件；文献［10］探讨了交换的Zerosumfree半环上n维半线性空间Vn的标准正交向量，并给出向量集成为正交向量组生成的半线性空间的基的充要条件；文献［11-12］对交换半环的基和基数展开了深入的讨论；文献［13］引入自由基的概念，探讨交换半环上半模的基的基本性质及其特征，并给出了交换半环上有限生成自由半模的基为自由基的充要条件；文献［4］研究了交换半环上半模的自由集和自由半模.从已有的研究工作不难发现，按现有半模上基的概念，不同基的势要相等需要条件，文献［13］引入的自由基也是有条件的，这就限制了很多半模.为此，本文提出了标准基的概念，并以此为基础，将标准基与自由基做对比，讨论标准基的基本性质.

1 预备知识

下面回忆一些基本概念及已有结论.

定义1.1［2，14］设L是非空集合，若代数结构L＝〈L，+，·，0，1〉满足：

1）（L，+，0）是交换幺半群；

2）（L，·，1）是幺半群；

3）∀r，s，t∈L，r·（s+t）＝r·s+r·t与（s+t）·r＝s·r+t·r成立；

4）∀r∈L，0·r＝r·0＝0成立；

5）0≠1；则称L为半环.

特别地，若对∀r，r′∈L，都有r·r′＝r′·r，则称L为交换半环.

定义1.2［2，14］设L＝〈L，+，·，0，1〉为半环，A＝〈A，+A，0A〉为交换幺半群.若外积*：L×A→A满足：∀r，r′∈L，a，a′∈A，

1）（r·r′）*a＝r*（r′*a），

2）r*（a+Aa′）＝r*a+Ar*a′，

3）（r+r′）*a＝r*a+Ar′*a，

4）1*a＝a，

5）0*a＝r*0A＝0A，则称〈L，+，·，0，1；*；A，+A，0A〉为左L-半模.类似可给出右L-半模的定义.

也称半环L上的半模为L-半线性空间［13］，这里的半模或是左L-半模，或是右L-半模.

例1.1设L＝〈L，+，·，0，1〉是半环.对n≥1，令

其中（a1，a2，…，an）T表示（a1，a2，…，an）的转置.对任意的x＝（x1，x2，…，xn）T，y＝（y1，y2，…，yn）T∈Vn（L）和r∈L，定义

则

是L-半线性空间，其中

设

类似地，按照以上方法定义运算“+”和“*”，则

是L-半模，其中

在不会引起混淆的情况下，在L-半模〈L，+，·，0，1；*；A，+A，0A〉中，对任意的r∈L，α∈A，将用rα代替r*α.

设N为L-半模M的非空子集，若N在加法和数乘运算下封闭，则称N为M的子半模.显然，若是M的一族子半模，则也是M的子半模.

令S为L-半模M的非空子集，则所有包含S的M的子半模的交是M的子半模，称其为由S生成的子半模，并用符号LS表示.容易验证

则

特别地，若S＝｛α｝，则用Lα定义LS，即

若LS＝M，则称S为M的生成集.进一步，若S为有限集，则称该半模为有限生成的.定义L-半模M的最小的生成集的势为L-半模M的秩，并用符号r（M）表示.显然，任何有限生成的L-半模M的秩r（M）都存在.

定义1.3［2，13］设S是L-半模M的非空子集，若对任意的α∈S，α∉L（S＼｛α｝），则称S是线性无关的.否则，称S线性相关.如果L-半模M的元至多能被非空子集S中元以一种方式表出，则称S是自由的.

显然，自由集一定是线性无关的.

定义1.4［2，13］称L-半模M中线性无关的生成集为M的基.特别地，称L-半模M的自由生成集为自由基.称有自由基的L-半模M为自由的.

例1.2例1.1中的L-半模Vn是有限生成的自由的L-半模.｛e1，e2，…，en｝是Vn的自由基，其中，e1＝（1，0，…，0）T，e2＝（0，1，…，0）T，…，en＝（0，0，…，1）T.显然，r（Vn）＝n.易见，Vn也是有限生成的自由的L-半模，且r（Vn）＝n.

设下文中的M均为交换半环上有限生成的L-半模.

2 自由基的性质

设T1，T2，…，Tn是L-半模M的n个L-子半模.定义T1，T2，…，Tn的和如下：

显然，T1+T2+…+Tn是L-半模M的L-子半模.设T＝T1+T2+…+Tn，若对任意向量ν∈T，都存在唯一的使得

则称M的L-半模T为T1，T2，…，Tn的直和，记作

定理2.1设V1与V2是M的2个L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分别是V1和V2的自由基，则V1+V2＝V1⊕V2当且仅当任意α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp线性表示.

证明充分性 对任意α∈V1+V2，设

其中，α1，β1∈V1，α2，β2∈V2.于是存在ki，k′i，lj，使得

因此

由于α∈V1+V2可唯一的由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp线性表示，因此

从而

也就是说

必要性 对任意α∈V1+V2，设

其中，ki，k′i，lj，lj′∈L.因为

所以

又｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分别是V1和V2的自由基，因此ki＝k′i，lj＝l′j.即，任意α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp线性表示.

注2.1定理2.1推广了文献［15］中定理3.1.

为了说明注2.1，首先回忆标准正交的概念［16］.

设M为L-半模，若对任意的α，β，γ∈M，λ，μ∈L，满足：

1）〈α，β〉＝〈β，α〉；

2）〈λα+μβ，γ〉＝λ〈α，γ〉+μ〈β，γ〉；

则称M×M→L的二元运算〈，〉为M上的内积运算.

设U（L）＝｛a∈L｜存在b∈L使得ab＝ba＝1｝.再设A是L-半模M的非空子集，若对任意α，β∈A，α≠β，有

成立，则称A是标准正交的.

引理2.1［16］设A＝｛α1，α2，…，αn｝是M的标准正交集，则A自由.

由引理2.1即知L-半模M的标准正交集一定是自由的，但自由的向量集不一定是标准正交的.

例2.1设α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T∈Vn，定义

易见〈，〉为半模Vn的内积，又称为Vn上的标准内积.

例2.2考虑模8的剩余类环

易见（0，0，1）T、（0，1，1）T、（1，1，1）T是V3的自由基，但按标准内积显然不是标准正交的.

由定理2.1及其证明易见下面定理成立.

定理2.2设V1与V2是M的2个L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分别是V1和V2的自由基，则V1+V2＝V1⊕V2当且仅当｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的自由基.

定义2.1定义半模的秩为半模的维数.半模M的维数用符号dim M表示.

注2.2上面维数的定义与经典线性代数中维数的定义是一致的，但与文献［9］中维数的定义不同.

例2.3设L是非负整数连同运算

和

构成的半环，其中g.c.d.｛a，b｝表示a与b的最大公因数，l.c.m.｛a，b｝表示a与b的最小公倍数.在L-半模V2中，向量组｛（0，1）T，（1，0）T｝、｛（2，0）T，（3，0）T，（0，2）T，（0，3）T｝都是V2的基.在定义2.1下，dim V2＝2.但在文献［9］的定义下，维数是不存在的.

引理2.2［13］设M是有限生成的自由的R-半模，则对其任意基S和任意自由基T都有

推论2.1设V1与V2是M的2个L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分别是V1和V2的自由基.若

则

1）dimV1+dimV2＝dim（V1+V2）；

2）V1∩V2＝｛0｝.

证明1）由定理2.2及引理2.2易知结论成立.

2）设α∈V1∩V2，于是存在ki，k′i，lj，lj′∈L，使得

因此

而由定理2.2可知｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的自由基，于是

从而α＝0.

推论2.2设V1与V2是M的2个L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝和｛η1，η2，…，ηp｝分别是V1和V2的自由基.若α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp线性表示，则V1∩V2＝｛0｝.

证明由定理2.1及引理2.1易知结论成立.

定理2.1、定理2.2、推论2.1以及推论2.2都只讨论了2个子半模的情况.事实上，在n个子半模上也有类似的结论，并且其证明过程也是类似的.

定理2.3若｛γ1，γ2，…，γs｝是L-半模V的自由基，则

〈γ1〉+〈γ2〉+…+〈γs〉＝〈γ1〉⊕〈γ2〉⊕…⊕〈γs〉.

证明假设存在使得

不妨设

由｛γ1，γ2，…，γs｝自由可知ki＝k′i，从而ηi＝η′i，即

3 L-半模的标准基

定义3.1称L-半模M中向量个数最少的基为标准基.

显然，任意有限生成的L-半模M都有标准基.

注3.1秩为r（M）的L-半模M中任意r（M）个线性无关的向量不一定为M的基，更不一定为标准基.

例3.1已知布尔格B2＝｛0，σ1，σ2，1｝，其中σ1、σ2为B2的原子.0、1分别为B2的最小元和最大元.显然〈B2，+，·〉是交换环，其中“+”＝∨，“·”＝∧.考虑B2-半模V3.设

其中

则M是有限生成的B2-半模，它的基分别为：

显然，一个向量不能成为M的基.因此，r（M）＝2.显然α1与α3线性无关，但｛α1，α3｝不是基，更不是标准基.

由引理2.2即知L-半模M的自由基一定是标准基，但标准基不一定是自由基.

例3.2例3.1中M的所有基都不是自由的，从而M无自由基，但T1、T2、T3为M的标准基.

设L是半环，定义Mm×n是L上的m×n阶矩阵的集合.特别地，令

对任意的定义

容易验证，〈Mn（L），+，·，0，In〉是半环，其中0为n×n零矩阵，In为n×n单位矩阵.

以下先回忆可逆矩阵的概念［17］.

设A∈Mn（L），如果存在矩阵B∈Mn（L）使得AB＝In，则称矩阵A是右可逆的；类似地，可定义左可逆矩阵.如果矩阵A既是左可逆的又是右可逆的，则称A是可逆矩阵.

引理3.1［17］设L是交换半环，A，B∈Mn（L）.若AB＝In，则BA＝In.

定理3.1若M是有限生成的自由的L-半模，A＝｛α1，α2，…，αn｝为M的标准基，则A也是M的自由基.

证明由引理2.2与定义3.1可设B＝｛β1，β2，…βn｝为M的自由基，于是存在A∈Mn×n（L）与B∈Mn×n（L）使得

成立，从而有

因为B是自由的，所以BA＝In.由引理3.1可知B可逆.现设

其中ki，λi∈L，且则

于是

因为B是自由的，所以

又因为B可逆，所以

从而A自由.

注3.2定理3.2中L-半模M是自由的条件一般不能去掉.

例3.3在例3.1中，L-半模M是有限生成的，M不是自由的.T1、T2、T3为M的标准基，但不是自由基.

推论3.1若M是有限生成的自由的L-半模，则A＝｛α1，α2，…，αn｝是M的标准基的充要条件是A是M的自由基.

定理3.2设M是有限生成的L-半模，｛α1，α2，…，αn｝是M的一组标准基.若存在可逆矩阵

使

则｛γ1，γ2，…，γn｝是M的标准基.

证明设B是A的逆矩阵，则

从而有

于是｛γ1，γ2，…，γn｝与｛α1，α2，…，αn｝可相互线性表出，也就是说｛γ1，γ2，…，γn｝也是M的生成集.显然｛γ1，γ2，…，γn｝线性无关，否则与标准基的向量个数为n相矛盾，即是说｛γ1，γ2，…，γn｝是基.于是，｛γ1，γ2，…，γn｝是标准基.

注3.3定理3.2的逆命题不一定成立.

例3.4在例3.2中，T1＝｛α1，α4｝，T2＝｛α2，α3｝均为M的标准基.容易得到但均不可逆.

4 标准基的性质

设M和N是L-半模，若映射φ：M→N满足以下条件：

1）对任意的α，β∈M，

2）对任意的α∈M，λ∈L，φ（λα）＝λφ（α）；则称φ为L-同态映射.若φ是满射，则称φ为满同态映射；若φ是双射，则称φ为同构映射［2］，并记为M≅N.

定理4.1设M与M′是2个有限生成的L-半模，φ：M→M′是同构映射，则｛α1，α2，…，αn｝是M的标准基当且仅当｛φ（α1），φ（α2），…，φ（αn）｝是M′的标准基.

证明设｛α1，α2，…，αn｝是M的标准基，α′∈M′，则由φ是满射知存在α∈M使φ（α）＝α′.因此存在使得

由于φ同构，于是

于是｛φ（α1），φ（α2），…，φ（αn）｝是M′的生成集.再由φ同构容易证明｛φ（α1），φ（α2），…，φ（αn）｝是M′的标准基.

反之，设｛φ（α1），φ（α2），…，φ（αn）｝是M′的标准基，α∈M，于是φ（α）∈M′.因此存在

使得有

于是

所以｛α1，α2，…，αn｝是M的生成集.再由φ同构容易证明｛α1，α2，…，αn｝是M的标准基.

由定理4.1及秩的定义易见下面推论成立.

推论4.1设M、N是2个有限生成的L-半模，若M≅N，则r（M）＝r（N）.

注4.1推论4.1的逆命题不一定成立.

例4.1在例3.1中，令

其中

则r（N1）＝2＝r（N2）.显然有N1与N2不是同构的.

但我们有下面定理.

定理4.2设M、N是2个有限生成的L-半模，若r（M）＝r（N）且N是自由的，则M≅N.

证明设A＝｛α1，α2，…，αn｝是M的标准基，A′＝｛α′1，α′2，…，α′n｝是N的自由基.定义φ：M→N满足任意

由A′是N的自由基，易见φ是M到N的映射.设

其中li∈L，则

从而φ是同态映射.对任意

令＝

则有φ（y）y′，从而φ是满射.设

则

由于｛α′1，α′2，…，α′n｝自由，所以ki＝li，于是α＝β，从而φ是单射.综上，M≅N.

定理4.3设V1、V2是M的2个L-子半模，｛γ1，γ2，…，γs｝、｛η1，η2，…，ηp｝分别是V1、V2的标准基.如果任意α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp线性表示，则：

1）｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的标准基；

2）V1+V2＝V1⊕V2；

3）dimV1+dimV2＝dim（V1+V2）；

4）V1∩V2＝｛0｝.

证明1）由任意α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp线性表示可知｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的自由基，从而｛γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp｝是V1+V2的标准基.

2）由定理2.1充分性的证明过程易知结论成立.

3）由于｛γ1，γ2，…，γs｝是V1的标准基，于是dimV1＝s.同理，dimV2＝p.又由1）的结论，于是dim（V1+V2）＝s+p.从而结论成立.

4）设α∈V1∩V2，于是存在ki，k′i，lj，l′j∈L，i∈s，j∈p，使得

因此

由于α∈V1+V2可唯一地由γ1，γ2，…，γs，η1，η2，…，ηp线性表示，所以

从而α＝0.