Cartan型模李超代数W(n)的伴随模

孙丽萍 张秋阳 刘文德

摘 要：Cartan型模李超代数的分类是解决素特征域上单李超代数分类问题的关键。识别定理为素特征域上李代数分类问题的解决奠定了基础。仿照识别定理中对于Cartan型模李代数伴随模的理论，研究了Cartan型模李超代数W（n）的伴随模。通过对W（n）的 2-阶化分支的直和分解，得到了两类伴随模，进而给出了这两类伴随模之间的关系，并证明了它们的不可约性。

关键词：Cartan型李超代数;伴随模;子模;不可约

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.020

中图分类号： O152.5

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2021）06-0149-04

Adjoint Modules of Cartan Type Modular Lie Superalgebras W（n）

SUN Li-ping1， ZHANG Qiu-yang1， LIU Wen-de2

（1.School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China;

2.School of Mathematics and Statistics， Hainan Normal University， Haikou 571158， China）

Abstract：The classification of Cartan type modular Lie superalgebras is the key of the classification of Lie superalgebras over a fields of prime characteristic. The Recognition Theorem established foundation for the classification of Lie algebras over a fields of prime characteristic. According to the theories on adjoint modules of Cartan type modular Lie algebras in Recognition Theorem， we study the adjoint modules of Cartan type modular Lie superalgebras W（n）. By virtue of the direct sum decomposition of the2-graded components in W（n）， we obtain two types of adjoint module， analyse the relationship between them， and prove their irreducibilities.

Keywords：Cartan type Lie superalgebra; adjoint module; submodule; irreducibility

0 引 言

对于特征零域上的李超代数（称为非模李超代数），有限维单李超代数的分类工作和向量场线性紧致单李超代数的分类及结构研究已经完成[1-3]。对于素特征域上的李超代数（称为模李超代数），由于受到基域的限制，至今单李超代数的分类工作仍是一个开放问题[4-5]。研究表明，模与非模李超代数的区别主要在Cartan型李超代数上，所以此类问题研究受到关注，如文[6-10]。本文将模李代数识别定理（见文[11]）中对于Cartan型李代数W（n）的伴随模的相关结论推广到模李超代数中，以期對于研究Cartan型模李超代数的极大子代数等结构有所帮助，参见文[12-13]。

1 预备知识

本文设域F的特征p>3，2={1-，0-}为模2剩余类环。本文中所有子空间、子代数和子模都是2-阶化和-阶化的，|x|和degx分别表示齐次元素x的2-次数和-次数。

设Λ（n）是F上由n个变元x1，x2，…，xn生成的外代数，并有自然的2-阶化结构：

Λ（n）k-=spanF{xi1…xir|1≤i1≤，…，≤ir≤n}， 当r为偶数时，k=0，当r为奇数时，k=1。令

B（n）：={〈i1，…，ik〉|0≤k≤n}，

对于u：=〈i1，i2，…，ik〉∈B（n），记

xu：=xi1xi2…xik，x=1，‖u‖=k。

令degxi=1，则degxu=‖u‖，得到外代数Λ（n）的一个自然-阶化结构：Λ（n）=nl=0Λl（n）， 其中

Λl（n）=spanF{xu|‖u‖=l}。

设i为外代数Λ（n）的超导子，使得i（xj）=δij，易见|i|=1-，degi=-1，i=1，2，…，n。令

W（n）：={ni=1fii|fi∈Λ（n）}，

则W（n）是Λ（n）的导代数，且每个导子D∈W（n）都可以表示成D=ni=1xui，xu∈Λ（n）。外代数Λ（n）的-阶化结构诱导出W（n）的一个-阶化结构：W（n）=n-1l=-1W（n）l，其中

W（n）l={D∈W（n）|D（Λ（n）s）Λ（n）s+l}=

spanF{xui|‖u‖=l+1，i=1，…，n}，

则W（n）l是W（n）0=spanF{xij|1≤i，j≤n}的伴随模，且W（n）-1=spanF{i|i=1，…，n}是W（n）0的不可约模。 方便起见，下文中简记W（n）为W，并在W中定义以下次数导子：

Df：=fD，其中f∈Λ（n）， D=ni=1xii。

易见，degDf=degf，且

[Df，Dg]=（degg-degf）Dfg。

令

div（xui）=（-1）||u||i（xu），

W′l：={D∈Wl|div（D）=0}，

W″l：=spanF{Df|degf=l}。

当l≥0时，我们将研究Wl′和W″l作为W（n）0伴随模的性质。首先，容易证明：

引理1 W′l=spanF{S∪T}，其中

S={xui|i{u}，‖u‖=l+1}，

T={xixvi-xjxvj|i，j{v}，‖v‖=l}。

引理2 若f∈Λ（n）l，则divDf=（l-n）f。

证明：设f=xu，则

divDf=div（fni=1xii）=ni=1（-1）l+1i（fxi）=

niu（-1）2l+1i（xif）=niu-f=（l-n）f。

引理3 对于如上定义的W′l和W″l，有

（i）当l-n≡0（modp）时，Wl=W′lW″l;

（ii）当l-n≡0（modp）时，W″lW′l。

证明：（i）首先证明W′l∩W″l=0。对于任意D∈W′l∩W″l，可设D=fD，f∈Λ（n）。由引理2，

0=div（D）=div（fD）=（l-n）f。

由于l-n≡0（modp），有f=0，从而D=0。

下面证明Wl=W′l+W″l。对于任意D∈Wl，D可写成D1+D2，其中：

D1=D-1l-n（divD）D，

D2=1l-n（divD）D。

由于deg （div）=0，有divD1=0，則D1∈W′l。又由D2∈W″l，知WlW′l+W″l。反包含显然成立。

（ii）对于任意D∈W″l，可设D=fD，其中f∈Λ（n）。由l-n≡0（modp）知，div（D）=（l-n）f=0，因此D∈W′l。

引理4 设N是Wl的一个非零W0-子模，则N包含以下形式的元素：

B=xE1+nk=2bkk，

其中xE=x1x2…xl+1，bk∈Λ（n）l+1。

证明：设A=nk=1akk∈N，ak∈Λ（n）l+1，且A≠0。不失一般性，可设a1≠0。由

[xij，A]=nk=1xij（ak）k-aij

知存在由a1决定的j使得j（a1）≠0，且由xij经过最多l+1次相乘之后，即有：

B=x1x2…xl+11+nk=2bkk∈N。

2 主要结论

定理1 W′l和W″l都是Wl的非平凡W0-子模，且W″l是不可约的W0-模。

证明：首先证明[W′l，W0]W′l。对于任意D∈W′l，E∈W0，有divD=0，divE∈F，则

div（[D，E]）=D（divE）-（-1）|D||E|E（divD）=0，

故[D，E]∈W′l。然后证明[W″l，W0]W″l。对于任意D=fD∈W″l，E=xij∈W0，

[E，D]=[xij，fD]=

xij（f）D+f[xij，D]=

xij（f）D∈W″l（1）

最后，由式（1）可知W″l是不可约的W0-模。

定理2 设N是W′l的W0-子模，如果有某个元素xui∈N，其中i{u}，则N=W′l。

证明：首先证明，对于任意xv∈Λ（n）l+1，j{v}都有xvj∈N。设xu=xi1…xirxir+1…xil+1，xv=xj1…xjrxir+1…xil+1，其中r表示xu和xv中不同因子的个数。如果r=0，即xv=±xu，则

xvj=±[xui，xij]∈N。

下面对r应用数学归纳法。当r=1，记xu=xi1xl，xv=xj1xl，则

[xui，xij]=xuj-δj，i1xixl∈N，

[xj1，[xui，xij]]=xvj-δj，i1[xj1i1，xixli]=

xvj+δj，i1δi，j1xixli1∈N。

若j=i1且i=j1，则有2xvj∈N。否则，直接可得xvj∈N。由于域F特征p>3，r=1时得证。由归纳法知，

[xjrir，xj1…xjr-1xir…xil+1j]=xj1…xjrxir+1…xil+1j=xvj∈N。

其次，由上面的证明知xjxvi∈N，故对于i，j{v}，且‖v‖=l，

[xij，xjxvi]=xixvi-xjxvj∈N

最后，由引理1，知N=W′l.

定理3 当l-n0（modp）时，W′l是Wl的不可约的W0-子模。

证明：假定N是W′l的非零W0-子模，根据引理4，N包含一个非零的元素B：

B=xE1+nk=2bkk，bk∈Λ（n）l+1

我们断言，必存在i0≤l+1和j0>l+1，使得[xi0j0，B]≠0。否则，倘若对于任意i≤l+1和j>l+1都有[xij，B]=0。当i=1时，

[x1j，B]=-xEj+nk=2x1j（bk）k=0（2）

当2≤i≤l+1时，

[xij，B]=nk=2xij（bk）k-bij=0（3）

由式（2），有x1j（bj）=xE，那么

bj=xjx2…xl+1+b′j，jb′j=0，j>l+1（4）

由式（3），有xij（bj）=bi，再由式（4），得

bi=xix2…xl+1=0，2≤i≤l+1（5）

综上，

B=nk=1xkx2…xl+1k+nj=l+2b′jj=

nk=1（-1）lx2…xl+1xkk+nj=l+2b′jj =

（-1）lx2…xl+1D+nj=l+2b′jj

由引理2，并注意到jb′j=0，j=2，…，l+1，有

divB=（l-n）（-1）lx2…xl+1

但是在l-n0（modp）的情况下，有divB≠0，此与B∈W′l矛盾。

不失一般性，可设[x1j0，B]=A≠0，其中j0>l+1。由式（2），如果nk=2x1j0（bk）k=0，那么[x1j0，B]=-x1…xl+1j∈N，由定理2，知N=W′l;如果存在k=2，…，n，使得x1j0（bk）≠0，由[A，xij]∈N， i≤l+1，j>l+1，可得xEs∈N，其中s>l+1。由定理2，也有N=W′l。

定理4 当l-n≡0（modp）时，W″l是W′l的唯一非平凡W0-子模。

证明：设N≠W″l，是包含于W′l的一个非零子模。由引理4，在N里存在如下形式非零元素B：

B=xE1+nk=2bkk，bk∈Λ（n）l+1

如果BW″l，由定理1的证明知，存在i0≤l+1，j0>l+1，使得

0≠[B，xi0j0]=A∈N。

当i≤l+1，j>l+1，将xij作用在A上，有

xEj∈N，j>l+1。

由定理2，知N=W′l。

如果B∈W″l，那么W″lN。由定理1，知W″l是不可约的。对于任意A=nk=1akk∈N，但AW″l，我们考虑以下两种情况：

（i）对于任意i≤l+1，j>l+1，都有[xij，A]=0。由

[xij，nk=1akk]=nk=1xij（ak）k-aij=0

知xij（aj）=ai，xij（ak）=0，其中，k≠j。从而ai=λixE，λi∈F，i≤l+1，且

aj=xjl+1i=1λii（xE）+ajxE，j>l+1

因此

A=l+1i=1λixEi+nj=l+2（xjl+1i=1λii（xE）+ajxE）j=

l+1i=1λi（i（xE）xii+nj=l+2i（xE）xjj）+

nj=l+2ajxEj=

l+1i=1λii（xE）D+nj=l+2ajxEj

注意到AW″l，l+1i=1i（xE）D∈W″l，則nj=l+2ajxEjW″l，但属于N。由于aj不全为零，设ak≠0，l+1<k≤n，则

[xkn，nj=l+2ajxEj]=-λkxEn∈N

由定理2，有N=W′l。

（ii）如果存在i0≤l+1，j0>l+1，使得对于任意[xi0j0，A]=D≠0，则取A=xuj0，其中i0{u}，j0∈{u}，则D=xi0j0（xu）j0∈N。由定理2，亦有N=W′l，定理得证。

参 考 文 献：

[1] KAC V G. Classification of Simple Lie Superalgebras[J].  Functional Analysis and Its Applications，1975，9（3）：263.

[2] KAC V G. Representations of Classical Lie Superalgebras[M]. Springer， Berlin： Lecture Notes in Mathematics， 1978.

[3] KAC V G. Classification of Infinite-dimensional Simple Linearly Compact Lie Superalgebras[J]. Advances in Mathematics， 1998， 139（1）：1.

[4] LEITE D. Towards Classification of Simple Finite Dimensional Modular Lie superalgebras[J]. The Journal of Prime Research in Mathematics， 2007（3）：101.

[5] BOUARROUDJ S， GROZMAN P， LEITES D. Classification of Finite Dimensional Modular Lie Superalgebras with Indecomposable Cartan Matrix[J]. Symmetry Integrability and Geometry-Methods and Applications， 2009（5）：60.

[6] 张永正，刘文德. 模李超代数[M].北京：科学出版社，2004.

[7] WANG Shujuan， YUAN Jixia， LIU Wende. Restricted Kac Modules for Special Contact Lie Superalgebras of Odd Type[J]. Front. Math. China 2020，15（2）：419.

[8] LIU Wende， YUAN Jixia， WANG Shujuan . Character Formulas for Simple Modules of Hamiltonian Lie Superalgebras of Odd Type[J].Taiwanese Journal of Mathematcs，2019，23（5）：1091.

[9] TANG Liming， LIU Wende. The Minimal Number of Generators for Finite-dimensional Cartan Lie Superalgebras[J] Colloquium Mathematicum，2019，158（2）：305.

[10]Liping， LiuWende ， Wu Boying .Low-dimensional Cohomology of Lie Superalgebra sl（m|n） with Coefficients in Witt or Special Superalgebras[J]. Indagations Mathematicae. 2014，25（1）：59.

[11]BENKART G， GREGORY T，PREMET A. The Recognition Theorem for Graded Lie Algebras in Prime Characteristic[J]. Memoirs of American Mathematical Society， 1987，67（365）：1.

[12]BAI Wei，LIU Wende，MELIKYAN H. Maximal Subalgebras for Lie Superalgebras of Cartan Type over Fields of Characteristic of Zero[J]. Journal of Algebra，2014，404：176.

[13]LIU  Wende， WANG Qi. Maximal Subalgebras for Modular Graded Lie Superalgebras of Odd Cartan Type. Transform[J]. Groups，  2015，20（4）： 1075.

（編辑：温泽宇）

收稿日期： 2020-08-28

基金项目： 国家自然科学基金（11471090）;黑龙江省自然科学基金（A20150017，QC2018006）.

作者简介：

张秋阳（1993—），男，硕士研究生;

刘文德（1965—），男，教授，博士，博士研究生导师.

通信作者：

孙丽萍（1970—），女，博士，教授，硕士研究生导师，E-mail：sunliping@hrbust.edu.cn.

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