线性表示维数为9的自由群的幂单性
2021-03-14杨新松刁鑫
杨新松 刁鑫
摘 要：利用组合群论的方法寻找本原元的性质，通过对不同Jordan标准形的讨论和对幂单矩阵性质的分析，并利用计算机软件进行辅助计算，找到可以使二元生成自由群在线性表示维数是9时成为幂单群的条件。对幂单性的已有结论进行了推广。
关键词：本原元;幂单性;自由群;线性表示
DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.019
中图分类号： O153.3
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2021）06-0138-11
The Unipotency of the Free Group with Linear
Representation of Dimension 9
YANG Xin-song， DIAO Xin
（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080）
Abstract：By using the method of combinatorial group theory， the properties of primitives are found. By discussing different Jordan canonical forms and analyzing the properties of unipotent matrices， and by using computer software， the conditions that binary generated free groups which linear representation dimension are nine can be proved unipotent groups are found. The existing conclusions have been promoted.
Keywords：primitive element; unipotency; free groups;linear representation
0 引 言
群表示理论更是近年来代数学中发展迅速且相当活跃的数学分支之一，可以说群论已经发展为当代代数学的主流研究方向。十八世纪初法国著名数学家伽罗瓦首次提出群论，并提出了群的同构、正规子群以及置换群同构等概念，1832年，伽罗瓦证明出一元n次代数方程可用根式求解是由伽罗瓦群的“可解性”决定的[1]，由此正式引入群论。Тавгень О И與Самсонов 利用生成元的组合性质[2]，研究并得到了二元生成自由群为幂单群的另一等价条件（令G为数域F上的二元生成自由群，群同态是ρ：G→Cn×n，当且仅当ρ使得本原元的像均为幂单阵时，G为幂单群）。从此幂单群判定开始了逐步探索。幂单性及与之密切相关的幂零性质，可解性质的研究得到了很多好的结论，例如有限交换幺幂群格式，任意域上光滑幺幂代数群本质维数等[3-10]。本文主要讨论了二元生成9阶矩阵群在本原元最高阶若当块不高于4阶时某种特定情况下（某生成元的若当标准型是diag（J4，E5））的幂单性。本文将证明这类矩阵群是幂单的。这在9阶幂单矩阵群的研
究中是最新结论。此前，从若当块最大阶数9到6都有了结论。本文的研究，对最终全部解决9阶矩阵群幂单性有极大促进作用。下面来看证明结论用的基础引理。
1 引 理
作为本原元素的基本性质，有
引理1[11] 设G是二元生成自由群。a∈G。若存在b∈G使得a，b生成G，则称a为G的本原元，并称a是b相关联的本原元。如果a，b生成G，那么和a相关联的本原元具有形式aqb±1ap。
本文将研究生成元之一的标准型为diag（J4，E5）时，9阶矩阵群在本原元幂单条件下的幂单性质。由于有一个若当块最高阶数大于4的情况都有了相应结论，因此，本文假设所有本原元的若当块最大阶数都不高于4.也就是说，任取一对生成元，必然有，（A-E）4=0，（B-E）4=0。下面是在这个条件下，A，B生成的群G的一些本原元组合性质。以下引理均在A，B生成的群G中讨论，并且该群的所有本原元素幂单。
引理2[12] 若A，B生成的群中所有本原元素均幂单，则有trHB=0，trAT=0。
引理3[12] 若A，B生成的群中所有本原元素均幂单，有
tr（TA）i=0，i=1，2，…，8，
tr（TiA）=0，i=1，2，…，8
引理4[12] 若A，B生成的群中所有本原元素均幂单，则有
trHmBHn=0，
trTmATn=0，
trAkTAm=0。
引理5[12] 若i+j>k时tr（TiATjA）=0，则
i+j=ktr（TiATjA）i！j！=0，
i+j=ki≥1，j≥1tr（TiATjA）（i-1）！（j-1）！=0。
引理6[12] 若m<i+j+k时总有
tr（TiATjATkA）=0，则有
i+j+k=mtr（TiATjATkA）i！j！k！=0，
i+j+k=mi≥1，j≥1，k≥1tr（TiATjBTkA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！=0，
i+j+k=mi≥1，j≥1tr（TiATjATkA）（i-1）！（j-1）！k！=0，
i≥1tr（TiATjATkA）（i-1）！j！k！=0。
引理7[13] 若 m<i+j+k+l时tr（TiATjATkATlA）=0， 则有
i+j+k+l=mtr（TiATjATkATlA）i！j！k！l！=0，
i+j+k+l=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1tr（TiATjATkATlA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！（l-1）！=0，
i+j+k+l=mi≥1，j≥1，k≥1tr（TiATjATkATlA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！l！=0，
i+j+k+l=mi≥1，j≥1tr（TiATjATkATlA）（i-1）！（j-1）！k！l！=0，
i+j+k+l=mi≥1tr（TiATjATkATlA）（i-1）！j！k！l！=0。
引理8[13] 若m<i+j+k+l+p时必有tr（TiATjATkATlATpA）=0，则有
i+j+k+l+p=mtr（TiATjATkATlATpA）i！j！k！l！p！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！（l-1）！（p-1）！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！（l-1）！p！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！l！p！=0 ，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）！（j-1）！k！l！p！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1tr（TiATjATkATlATpA）（i-1）！j！k！l！p！=0。
引理9[13] 若m<i+j+k+l+p+q时tr（TiATjATkATlATpATqA）=0，则有
i+j+k+l+p+q=mtr（TiATjATkATlATpATqA）i！j！k！l！p！q！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！（l-1）！（p-1）！（q-1）！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！（l-1）！（p-1）！q！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！（l-1）！p！q！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）！（j-1）！（k-1）！l！p！q！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）！（j-1）！k！l！p！q！=0，
i+j+k+l+p=mi≥1，j≥1，k≥1，l≥1，p≥1，q≥1tr（TiATjATkATlATpATqA）（i-1）j！k！l！p！q！=0。
引理10[14] 若存在可逆矩阵P使得
P-1AP=A1*0A2，P-1BP=B1*0B2，
则该群幂单。
引理11 T3FT+T2FT2+TFT3=0，
T3FT2+T2FT3=0，
T3FT3=0。
證明：根据引理1，anB为本原元，其中n∈Z，由假设条件知（AnB-E）4=0，故（T+nFB+n22F2B+n36F3B）4=0，展开后记作12i=0Wini=0，取13个不同的幂指数n，得到方程组。根据范德蒙行列式及方程组理论知，Wi=0，i=0，1，…，12。其中W1=0得
T3F+T2FT+TFT2+FT3=0
等式两端左乘或右乘T的幂得到：
T3FT+T2FT2+TFT3=0，
T3FT2+T2FT3=0，
T3FT3=0。
这些引理使得可以借助计算软件辅助证明。思路是，只要搜索发现满足引理5-9条件，那么就可以根据这些引理确定一组可用方程。下面再次用到这个思路时，只说搜索确定方程，或者寻找确定方程，有时不赘述是哪个引理，因为根据迹的方程形式可以直接看出用的那个引理。另外，下面将用Y[i，j]表示矩阵Y第i行第j列位置的元素。
2 主要结果及证明
我们要证明的是矩阵B=diag（J4，E5）和矩阵A生成的本原元素幂单的矩阵群的幂单性。根据引理10，只需要证明矩阵A和矩阵B能同时化为准上（下）三角矩阵。
在此之前，不妨设矩阵A为x11…x14
x41…x44A12
A21A22，由于，B=E+T，A=E+H，于是T=01…0
00…0。
定理1 若有二元生成9阶矩阵群，其中某个生成元为diag（J4，E5）时，那么当本原元素均幂单时，这个矩阵群是幂单的。
证明：如上一部分所说，不妨假设所有本原元的若当块阶数不超过4。根据引理3得到tr（T3AT3A）=0，解得x241=0，即x41=0，根据引理5得到2tr（T3ATA）1！3！+tr（T2AT2A）2！2！=0
tr（T3ATA）3！1！+tr（T2AT2A）2！2！=0，解得x31=0，x42=0。继续计算得到一个方程组tr（TA）=0tr（（TA）2）=0tr（（TA）3）=0tr（（TA）4）=0，解得x21=0，x43=0，x32=0。
此时矩阵A=x11…x14
0…x44A12
A21A22。计算发现，矩阵
P1=
abcdefgwh
0abc00000
00ab00000
000a00000
000c3c4b1b2b3b4
000c5b5s1s3s4s5
000c6b6s6s2s8s17
000c7b7s9s10s11s12
000c8b8s13s14s15s16
满足P1B=BP1。由于矩阵相似是矩阵群的同构，所以，A，B生成的群G与M1=P-11AP1，N1=P-11BP1生成的群同构。再因为N1=P-11BP1=B，所以可以把M1=P-11AP1看做是矩阵A。 此时，相似变换可以把矩阵A的左下角化成行最简型，又因为这个矩阵只有四列，所以左下角最简形有5种，即：
Ⅰ.R（A21）=0，
Ⅱ.R（R21）=1，
Ⅲ.R（R21）=2，
Ⅳ.R（R21）=3，
Ⅴ.R（a21）=4。
第一种情况计算直接结束，此时矩阵
A=
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x24x25x26x27x28x29
00x33x34x35x36x37x38x39
000x44x45x46x47x48x49
0000x55x56x57x58x59
0000x65x66x67x68x69
0000x75x76x77x78x79
0000x85x86x87x88x89
0000x95x96x97x98x99
（实际上是M1）和矩阵B同时是准上三角矩阵（同时出现左上角三乘三矩阵）。
下面来讨论第二种情况。
A=
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x24x25x26x27x28x29
00x33x34x35x36x37x38x39
000x44x45x46x47x48x49
1000x55x56x57x58x59
0000x65x66x67x68x69
0000x75x76x77x78x79
0000x85x86x87x88x89
0000x95x96x97x98x99
利用Maple软件根据引理5搜索确定可用方程：tr（T·T·T·A·A）=0，解得x45=0。继续寻找时得到方程组tr（T·T·A·A）=0tr（TA）=0，解得x35=0，x25=0。再根据引理6得到方程组tr（T·A·A·）=0tr（T·T·A·A·A）=0，也就是
x26x65+x27x75+x28x85+x29x95=0
x36x65+x37x75+x38x85+x39x95=0。
此时取矩阵
P1=
a000efgwh
0a0000000
00a000000
000a00000
0000ab1b2b3b4
00000s1s3s4s5
000000s2s8s17
0000000s11s12
00000000s16
因为P1B-BP1=0，有M1=P-11AP1，与B生成的矩阵群和A，B生成的矩阵群是同构的（下面再用到此方法时，不再赘述，直接把M1等同A）此时"根据M1的第五列，可以分成5种情况： 95位，85位，75位，65位的取值分成5种情况，分别是
Ⅱ-1（0000），
Ⅱ-2（1000），
Ⅱ-3（0100），
Ⅱ-4（0010），
Ⅱ-5（0001）。
Ⅱ-1：当95位，85位，75位，65位为（0000）时，A，B同时相似于准上三角矩阵（左上角是五乘五矩阵块），根据引理8，证明结束。
Ⅱ-2：当95位，85位，75位，65位为（1000）时，寻找i+j+k<4时，得到方程组
tr（T·A·A·）=0
tr（T·T·A·A·A）=0，解得x29x95=0， 注意到x95=1即得到x29=0。
再次引入线性变换P1， 根据矩阵G的性质得到89位，79位，69位有4种可能：
Ⅱ-2-1 3个位置是（000），
Ⅱ-2-2 3个位置是（100），
Ⅱ-2-3 3个位置是（010），
Ⅱ-2-4 3个位置是（001）。
Ⅱ-2-1：3个位置是（000）时，矩阵A，B在第六，七，八行、列出现了三乘三矩阵，所以可以同时相似于准上三角矩阵。证明结束。
Ⅱ-2-2：3个位置是（100）时，根据引理6和引理7得到方程組
tr（T·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A）=0
tr（T·A·A·A·A）=0
tr（T·T·T·A·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A·A）=0
解得x28=0，x38=0，x48=0。
继续引入线性变换P1，同样对于矩阵B有P1B-BP1=0，那么有G1=P-11AP1，此时根据G1的第8列，68位和78位可以分成3种情况：
Ⅱ-2-2-1全是0，
Ⅱ-2-2-2是0，1，
Ⅱ-2-2-3是1，0。
Ⅱ-2-2-1： 68位和78位全是0时，由于前面交代过利用群同构，矩阵A等同于G1，所以认为矩阵A此时68位和78位也是0，此时矩阵A，B在第六，七行、列出现了二乘二矩阵，所以可以同时相似于准上三角矩阵。证明结束。
Ⅱ-2-2-2：68位和78位是0，1时，矩阵A为
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x240x26x2700
00x33x340x36x3700
000x440x46x4700
1000x55x56x57x58x59
00000x66x6700
00000x76x77x780
00000x86x87x88x89
0000x95x96x97x98x99
根据引理8搜索得到方程组
tr（T·T·T·A·A·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A·A·A）=0
tr（T·A·A·A·A·A）=0
解得x47x78x89x95=0
x37x78x89x95=0
x27x78x89x95=0。
根據连续的分类讨论发现，现在只需讨论x78x89x95≠0。（它们之一等于0就会出现前面讨论的同时把矩阵A，B相似于准上三角型的情况。就可以结束证明。）那么可以解得x47=x37=x27=0。此时根据引理9搜索得到
tr（T·T·T·A·A·A·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A·A·A·A）=0
tr（T·A·A·A·A·A·A）=0
解得x26x67x78x89x95=0，x36x67x78x89x95=0，x46x67x78x89x95=0。由于x78x89x95≠0，所以解得x26=x36=x46=0 或x67=0。如果是x26=x36=x46=0，那么两个矩阵的第二，三，四行列出现三乘三矩阵，可以同时化成准上三角矩阵。如果是x67=0，那么在六六位同时出现一个一阶方阵，两个矩阵可以同时相似于准上三角矩阵。无论哪种情况证明都结束。
Ⅱ-2-2-3：68位和78位是1，0这种情况。此时矩阵A为
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x240x26x2700
00x33x340x36x3700
000x440x46x4700
1000x55x56x57x58x59
00000x66x67x680
00000x76x7700
00000x86x87x88x89
0000x95x96x97x98x99
搜索确定方程组
tr（T·T·T·A·A·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A·A·A）=0
tr（T·A·A·A·A·A）=0
解得x46x68x89x95=0
x36x68x89x95=0
x26x68x89x95=0。根据分类发现，此时仅需讨论x68x89x95≠0的情况。所以解得x46=x36=x26=0。接下来搜索得到方程组
tr（T·T·T·A·A·A·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A·A·A·A）=0
tr（T·A·A·A·A·A·A）=0
解得x27x76x68x89x95=0，x37x76x68x89x95=0，x47x76x68x89x95=0。根据x68x89x95≠0，解得x27=x37=x47=0或x76=0。与前面一样，无论哪种情况证明都可以结束。
至此完成了Ⅱ-2-2，下面是Ⅱ-2-3。
Ⅱ-2-3：89位，79位，69位是（010）。此时矩阵A为
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x240x26x27x280
00x33x340x36x37x380
000x440x46x47x480
1000x55x56x57x58x59
00000x66x67x680
00000x76x77x78x79
00000x86x87x880
0000x95x96x97x98x99
搜索方程组并求解得到x47x79x95=0
x37x79x95=0
x27x79x95=0。基于分类考虑，此时x79x95≠0，所以解得x47=x37=x27=0。
接着引入矩阵
P1=
a000efgwh
0a0000000
00a000000
000a00000
0000ab1b2b3b4
00000s10s40
000000s2s50
0000000s110
00000000s16
根据相似变换后的的第8列，可以分成3种情况： 67位，87位分别
Ⅱ-2-3-1全是0，
Ⅱ-2-3-2是0，1，
Ⅱ-2-3-3是1，0。
Ⅱ-2-3-1：67位，87位全是0，那么在第六，八行列出现二阶方阵，证明结束。
Ⅱ-2-3-2：67位，87位是0，1时的情况。此时矩阵A为
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x240x26x27x280
00x33x340x36x37x380
000x440x46x47x480
1000x55x56x57x58x59
00000x660x680
00000x76x77x78x79
00000x86x87x880
0000x95x96x97x98x99
搜索得到方程组
tr（T·T·T·A·A·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A·A·A）=0
tr（T·A·A·A·A·A）=0
解得x48x79x87x95=0
x38x79x87x95=0
x28x79x87x95=0。根据分类目前仅需考其中x79x87x95≠0，所以解得x48=x38=x28=0。繼续寻找得到方程组
tr（T·T·T·A·A·A·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A·A·A·A）=0
tr（T·A·A·A·A·A·A）=0
解得x26x79x68x87x95=0，x36x79x68x87x95=0，x46x79x68x87x95=0。由于x79x87x95≠0所以解得x26=x36=x46=0或x68=0。如前面讨论一样发现，无论哪种情况运算都结束。
Ⅱ-2-3-3：67位，87位是1，0的情况证明方法与Ⅱ-2-3-2完全相同这里不再赘述，最终可以得到希望的结果。
至此Ⅱ-2-3全部结束。
由于Ⅱ-2-4和Ⅱ-2-3研究方式完全相同，仅仅是换了个列而已。所以这里不再赘述。到这里，Ⅱ-2的所有情况全部结束。
Ⅱ-3： 95位，85位，75位，65位是（0100）的情况。此时矩阵A为
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x240x26x27x28x29
00x33x340x36x37x38x39
000x440x46x47x48x49
1000x55x56x57x58x59
00000x66x67x68x69
00000x76x77x78x79
0000x85x86x87x88x89
00000x96x97x98x99
根据引理6搜索得到方程组
tr（T·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A）=0
tr（T·T·T·A·A·A）=0
解得x28=x38=x48=0。此时引入矩阵
M=
100000000
010000000
001000000
000100000
000010000
000001000
000000100
000000001
000000010
由MB-BM=0所以只需要考虑B=MBM-1和矩阵MAM-1生成矩阵群的情况，此时矩阵MAM-1此时为
x11x12x13x14x15x16x17x19x18
0x22x23x240x26x27x290
00x33x340x36x37x390
000x440x46x47x490
1000x55x56x57x59x58
00000x66x67x69x68
00000x76x77x79x78
00000x96x97x99x98
0000x85x86x87x89x88
可以看出矩阵MAM-1此时的结构与Ⅱ-2结构完全相同。所以Ⅱ-3证明结束。
Ⅱ-4：95位，85位，75位，65位是（0010）。根据引理6搜索得到
tr（T·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A）=0
tr（T·T·T·A·A·A）=0
解得x27=x37=x47=0。此时只要同时交换第七行和第九行做相似变换，那么矩阵B不变，而矩阵A化作
x11x12x13x14x15x16x18x19x19
0x22x23x240x26x28x290
00x33x340x36x38x390
000x440x46x48x490
1000x55x56x58x59x57
00000x66x68x69x67
00000x86x88x89x87
00000x96x98x99x97
0000x75x76x78x79x77
再次化成了Ⅱ-2的情况，证明结束。
Ⅱ-5的证明过程和上述过程相同， 只是交换的行变成了第六第九行而已。当然，因为行的变换前面搜索解方程的结果略有差异，这里不再赘述。
到这里，Ⅱ.R（R21）=1的所有情况全部证明结束。接下来讨论Ⅲ.R（R21）=2的情况。
Ⅲ.R（R21）=2。此时矩阵A=
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x24x25x26x27x28x29
00x33x34x35x36x37x38x39
000x44x45x46x47x48x49
1x52x53x54x55x56x57x58x59
01x63x64x65x66x67x68x69
0000x75x76x77x78x79
0000x85x86x87x88x89
0000x95x96x97x98x99
根据引理5，引理6，引理7搜索得到方程组
tr（T·T·T·A·A）=0
tr（T·T·A·A）=0
tr（T·T·T·A·A·A）=0
2tr（T·T·A·A·T·T·A·A）2！2！+
4tr（T·A·A·T·T·T·A·A）3！1！=0
解得x45=0，x46=0，x35=0。继续寻找得到
tr（T·A·A）=0tr（T·A·A·T·A·A）=0，解得x25=0，x36=0。取和矩阵B相乘可交换的矩阵
P1=
a000efgwh
0a0000000
00a000000
000a00000
0000ab1b2b3b4
00000as3s4s5
000000s2s8s17
0000000s11s12
00000000s16
把A相似变换后的结果仍视作A。根据变换后的第5列，可以分成四种情况： 95位，85位，75位是
Ⅲ-1 95位，85位，75位是（000），
Ⅲ-2 95位，85位，75位是（100），
Ⅲ-3 95位，85位，75位是（010），
Ⅲ-4 95位，85位，75位是（001）。
Ⅲ-1： 95位，85位，75位是（000）的情况。根据引理6有tr（T·T·A·A·A）=0，即x47x76+x48x86+x49x96=0。取与矩阵B相乘可交换的矩阵
P1=
a000efgwh
0a0000000
00a000000
000a00000
0000ab1b2b3b4
00000as3s40
000000s2s80
0000000s11s12
00000000s16
根据相似变换后矩阵A的第5列，可以分成四种情况： 76位，86位，96位是
Ⅲ-1-176位，86位，96位是（000），
Ⅲ-1-2 76位，86位，96位是（100），
Ⅲ-1-3 76位，86位，96位是（010），
Ⅲ-1-4 76位，86位，96位是（001）。
Ⅲ-1-1：76位，86位，96位是（000）时，左下角三阶方阵，右上角六阶方阵，两个矩阵同时相似于准上三角矩阵，证明结束。
Ⅲ-1-2：76位，86位，96位是（100）。此时矩阵
A=
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x240x26x27x28x29
00x33x3400x37x38x39
000x4400x47x48x49
1x52x53x54x55x56x57x58x59
01x63x64x65x66x67x68x69
00000x76x77x78x79
000000x87x88x89
000000x97x98x99
由引理6寻找方程组。考虑到此时解得除公共解x47=0之外还有3种情况：
Ⅲ-1-2-1x65=x37=0，
Ⅲ-1-2-2x26=x37=0。
Ⅲ-1-2-1： x65=x37=0。只要把矩阵第五行挪到底二行，做相似变换，两矩阵同时化成准上三角矩阵，左上角是二阶方阵。证明结束。
Ⅲ-1-2-2： x26=x37=0。根据引理6，引理7，寻找到一个可用方程x48x87+x49x97=0。做相似p1，得到两种情况：
Ⅲ-1-2-2-ⅰ：x87=x49=0，
Ⅲ-1-2-2-ⅱ：x97=x48=0。
Ⅲ-1-2-2-ⅰ：x87=x49=0。根据引理6得到tr（T·A4·T·A4）=0tr（T·A4）=0，解得x27=0。再根據引理7得到x48x76x89x97=0。由于此时当x48，x89，x97，x76任一等于0时，都能使两矩阵同时准对角化，所以证明结束。
Ⅲ-1-2-2-ⅱ：x97=x48=0。寻找i+j+k+i1<2，i+j+k+i1+J1<3时的方程，解得x27=x38=0，x49x76x87x98=0，当x49，x87，x98，x76任一等于0时， 都可以使证明结束。所以Ⅲ-1-2-2全部讨论结束，而这也导致Ⅲ-1-2得到了完全证明。
Ⅲ-1-3：76位，86位，96位是（010）。取
M=
100000000
010000000
001000000
000100000
000010000
000001000
000000010
000000101
000000001
B=MBM-1，而MAM-1为
x11x12x13x14x15x16x18x17x19
0x22x23x240x26x28x27x29
00x33x3400x38x37x39
000x4400x48x47x49
1x52x53x54x55x56x58x57x59
01x63x64x65x66x68x67x69
00000x86x88x87x89
000000x78x77x79
000000x98x97x99
可以看出矩阵MAM-1此时的结构与Ⅲ-1-2中A的结构完全相同，所以Ⅲ-1-3证明结束。
Ⅲ-1-4 也是一样，只不过这次是用把第九行串到底七行的相似变换。这里就不赘述了。
到这里Ⅲ-1全部完成。
Ⅲ-2：95位，85位，75位为（100）。
此时矩阵
A=
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x240x26x27x28x29
00x33x3400x37x38x39
000x4400x47x48x49
1x52x53x54x55x56x57x58x59
01x63x64x65x66x67x68x69
00000x76x77x78x79
00000x86x87x88x89
0000x95x96x97x98x99
根据引理6，引理7，引理9得到方程
tr（T·T·T·A·A·A）=0
tr（T·T·A·A·A）=0
tr（T·T·T·A·A·A·A）=0
2tr（A·A·T·T·A·A·A·T·T·A）2！2！+
6tr（A·A·T·A·A·T·T·T·A）3！1！=0
又由F=A-E-（A-E）22+（A-E）36，Y=T3F+T2FT+TFT2+FT3。根据引理11知Y=0。于是，它的第三行第四列，第九行第四列都是0，即得到Y[3，4]=0，Y[9，4]=0。这两个位置都是矩阵A中元素的方程，解方程解得x49=0，x95=0或x39=0。当x95=0就是Ⅲ-1的情况，证明结束。所以下面讨论x39=0时的情况
满足x39=0的解有三组，期中有两组已经满足x76=x79=0，不满足这个条件的解满足-x65x76/x95=x79，-x65x86/x95=x89。根据Y[4，4]=0得x47x76+x48x86=0。结合刚刚的两个等式可知x47x79+x48x89=0。由于当x47=x48=0，时，矩阵矩阵A，B第四行，第四列出现一阶矩阵，两个矩阵可以同时相似于准上三角矩阵。如果x47，x48不同时为零，那么可以用他们组成可逆矩阵
P1=
a000efgwh
0a0000000
00a000000
000a00000
0000ab1b2b3b4
00000as3s40
000000s2-x480
000000ux470
000000vps16
相似变换后矩阵B保持不变，但是矩阵A的（7，6）位，（7，9）位已经化作0。所以可以认为必有
x76=x79=0，此时矩阵
A=
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x240x26x27x28x29
00x33x3400x37x380
000x4400x4700
1x52x53x54x55x56x57x58x59
01x63x64x65x66x67x68x69
000000x77x780
00000x86x87x88x89
0000x95x96x97x98x99
此寻找矩阵迹的方程得到tr（T3a4）=0，tr（T2a3）=0。解得x89=x86=0或者x48=0
若x89=x86=0，则两个生成矩阵第七行，第八行出现同型矩阵，两矩阵可以同时相似于准上三角矩阵，证明结束。
再来看x48=0的情况，寻找矩阵迹的方程，有tr（T·A·A·A）=0，又F=A-E-（A-E）22+（A-E）36，Y=T3F+T2FT+TFT2+FT3，由引理11得Y[1，6]=0，Y[8，4]=0，解這些方程组得四组解：x47=0或x78=0或x89=x86=0或x86=x95=0，上述4种解任意一种都使得两个生成矩阵可以同时相似于准上三角矩阵，所以证明结束。
至此，Ⅲ-2全部结束。
Ⅲ-3： 95位，85位，75位为（010）。此时矩阵
A=
x11x12x13x14x15x16x17x18x19
0x22x23x240x26x27x28x29
00x33x3400x37x38x39
000x4400x47x48x49
1x52x53x54x55x56x57x58x59
01x63x64x65x66x67x68x69
00000x76x77x78x79
0000x85x86x87x88x89
00000x96x97x98x99
然后引入線性变换
M=
100000000
010000000
001000000
000100000
000010000
000001000
000000100
000000001
000000010
由MA-AM=0，得A=MAM-1，所以此时矩阵A可以表示为
x11x12x13x14x15x16x17x19x18
0x22x23x240x26x27x290
00x33x3400x37x390
000x4400x47x490
1000x55x56x57x59x58
00000x66x67x69x68
00000x76x77x79x78
00000x96x97x99x98
0000x85x86x87x89x88
可以看出矩阵A此时的结构就是Ⅲ-2结构，即证明过程是一样的，Ⅲ-3证明结束。
Ⅲ-4情况的证明过程和上述过程相同，这里不再赘述。
这样，Ⅲ.R（R21）=2的所有情况全部证明结束。
情况Ⅳ，情况Ⅴ的讨论方法和上面相同，只是由于过程更加负责，因此只用上述方程寻找手段不足了。于是，需要利用本原元素性质构造必然是0的矩阵X=（A-E）4然后找到它的表达式简单的位置，这样就增加了可用方程，完成了类似讨论。过程类似，就不在赘述。
定理证明结束。
例 矩阵A=
110000000
011000000
001100000
000100000
000010000
000001000
000000100
000000010
000000001
与B=
100000000
110000000
001000000
000100000
000010000
000001000
000000100
000000010
000000001虽然是满足定理条件的幂单矩阵，但是它们生成的矩阵群不是幂单的，因为BA的迹不是9，所以BA不幂单。
可见，定理中本原元素幂单还是必要的。
3 结 语
本文就二元生成9阶矩阵群在本原元最高阶若当块不高于4阶时的幂单性进行了研究，且只对标准型为diag（J4，E5）进行讨论证明，在研究期间，学习并总结了一些文献的研究思路，Yu Wang，F. J. Plaza Martín，Dong Liu，以及Yufeng Pei等对李代数，上三角形矩阵的若当块以及一变量微分算子的李子代数进行了深入研究，极大地推动了李代数的发展[16-18]，此外，Jinfang. Huang， B，Hu， A. N. Skiba关于一类可解群幂映射的满射性进行了深入研究，证明了满群G的每个完备Hall集构成G的一个广义可解基[19]，这使得有限广义可解群的研究得到了更广阔的发展。同年D.N.Azarov和N.S.Romanovskii首次提出关于有限秩群的有限同态象问题，推导并证明出有限秩的每个可解群包含一个有限指数子群，该子群的每个有限同态像是幂零的这一重要结论[20]。此外，Wei Meng深刻的研究了具有少数非循环子群的有限可解群，并证明出有限可解群具有少数非循环子群这一结论是成立的[21]，发表了有限群中可解子群存在性的判据，并对这一判据进行全面且清晰的阐述。因此，接下来将继续研究标准型分别为diag（J4，J4，E），diag（J4，J3，E2），diag（J4，J2，E3），diag（J4，J3，J2），diag（J4，J2，J2，E）这几种情况，相信不久就会有新的研究突破。
参 考 文 献：
[1] 冯晓华. 伽罗瓦及其理论传播史[D]. 西安：西北大学， 2006.
[2] Тавгень.ОИ， Самсонов Ю Б. Унипотентность Образа Представления F2（x，y） Матрицами из GL（n，C）， n=2，3，4 При Условии Отображения Образующих и Примитивных Элементов в Унипотентные Матрицы[J].Докл. НАН Беларуси， 2001， 45（6）： 29.
[3] BAYAN Bekbolat， AIDYN Kassymov， NIYAZ Tokmagambetov. Blow-up of Solutions of Nonlinear Heat Equation with Hypoelliptic Operators on Graded Lie Groups[J]. Complex Analysis and Operator Theory， 2019， 13（7）：3347.
[4] IULIAN I. Simion. Double Centralizers of Unipotent Elements in Simple Algebraic Groups of Type E7 and E8[J]. Journal of Pure and Applied Algebra， 2015， 219（4）：930.
[5] SUPRUNENKO， I. D . Unipotent Elements of Nonprime Order in Representations of the Classical Algebraic Groups： Two Big Jordan Blocks[J]. Journal of Mathematical Sciences， 2014， 199（3）：350.
[6] KHUKHRO E I， SHUMYATSKY P. Length-type Parameters of Finite Groups with Almost Unipotent Automorphisms[J]. Doklady Mathematics， 2017， 95（1）：43.
[7] NESTEROV V V. On the Normalizer of a Unipotent Root Subgroup in a Chevalley Group[J]. Journal of Mathematical Sciences， 2018， 232（5）：717.
[8] DAJANO Tossici. Essential Dimension of Inifinitesimal Commutative Unipotent Group Schemes[J]. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana， 2019， 12（4）：575.
[9] NGUY， Duy， Tn. On the Essential Dimension of Unipotent Algebraic Groups[J]. Journal of Pure and Applied Algebra， 2013， 217（3）：432.
[10]OSINOVSKAYA A A . Regular Unipotent Elements from Subsystem Subgroups of TypeA2in Representations of the Special Linear Groups[J]. Journal of Mathematical Sciences， 2016， 219（3）：473.
[11]KRAMMER D. Braid Groups are Linear[J]. Annals of Mathematics， 2002（155）： 131.
[12]杨新松，刘欢. 二元生成自由群的幂单性质[J].哈尔滨理工大学学报， 2014，19（6）： 98.
YANG Xinsong， LIU Huan. The Unipotency of Free Group of Rank Two[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2014，19（6）： 98.
[13]杨新松，马畅.本原元只含不高于六阶若当块矩阵群的幂单性[J].哈尔滨理工大学学报， 2019， 24（1）：124.
YANG Xinsong， MA Chang. The Unipotency of Linear Groups Generated by Matrices with Primitive Elements Contain no more than Six Jorden Blocks[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2019， 24（1）：124.
[14]谭朋顺. 本原元幂单的二元生成自由群的幂单性[D].哈尔滨：哈尔滨理工大学， 2013.
[15]杨新松，王那英.标准型不高于五阶若当块矩阵群的幂单性[J].哈尔滨理工大学学报， 2016， 21（2）： 112.
YANG Xinsong， WANG Naying. The Unipotency of Linear Groups Generated by Matrices with Jordan Normal Blocks of Size at Most Five[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2016， 21（2）： 112.
[16]WANG Yu. Lie （Jordan） Derivations of Arbitrary Triangular Algebras[J]. Aequationes Mathematicae， 2019， 93（6）：1221.
[17]MARTN F. J. Plaza， PRIETO C. Tejero. Lie Subalgebras of Differential Operators in One Variable[J]. Mediterranean Journal of Mathematics， 2019， 16（6）：1.
[18]LIU Dong， PEI Yufeng. Deformations on the Twisted Heisenberg-Virasoro Algebra[J]. Chinese Annals of Mathematics，Series B， 2019， 40（1）：111.
[19]HUANG J， HU B， SKIBA A N. Finite Generalized Soluble Groups[J]. Algebra and Logic， 2019， 58（2）： 173.
[20]AZAROV D N， ROMANOVSKII N S. Finite Homomorphic Images of Groups of Finite Rank[J]. Siberian Mathematical Journal， 2019， 60（3）： 373.
[21]MENG Wei . Finite Solvable Groups with Few Non-cyclic Subgroups[J]. Bulletin of the Iranian Mathematical Society， 2019， 45（4）： 1221.
（編辑：温泽宇）
收稿日期： 2020-09-10
基金项目： 国家自然科学基金（11871181）.
作者简介：
刁 鑫（1996—），女，硕士.
通信作者：
杨新松（1972—），男，博士，教授，硕士研究生导师，E-mail ：yangxinsong2005@163.com.
3202501908299
