一种非可加测度上的拟积概率积分研究

赵辉 张小雪 张绍鑫

摘 要：给出了一种非可加测度的定义，其具有F可加性;并对Einstein算子进行了优化，设计了λ模糊拟积算子和λ模糊拟和算子，证明其满足T范数与S范数的条件;接下来基于这种非可加测度和模糊拟积算子给出了模糊拟积概率积分的定义，并将其积分整体看成一个集函数，研究并证明其满足的性质，由此丰富了模糊测度的理论。

关键词：F连续非可加测度;λ模糊算子;模糊拟积概率积分

DOI：10.15938/j.jhust.2021.06.018

中图分类号： O29

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2021）06-0131-07

A Probabilistic Integral Study of Quasi-product Over

a Non-additive Measure

ZHAO Hui， ZHANG Xiao-xue， ZHANG Shao-xin

（School of Sciences，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Abstract：In this paper， a definition of non-additive measure is given， which has F-addability; the Einstein calculater is optimized， and the λ-fuzzy quasi-product operator and λ-fuzzy quasi-sum operator with adjustable parameters for practical problems are designed， and it is proved that they satisfy the conditions of norm and S-norm; then， based on this non-additive measure and λ-fuzzy quasi-product operator， the definition of fuzzy quasi-product probability integral is given， and the integral as a whole is regarded as a set function， and the nature of its satisfaction is studied and proved， thus enriching the theory of fuzzy measure.

Keywords：F continuous non-additive measure; λ-fuzzy operator; fuzzy quasi-product probability integrals

0 引 言

1974年，日本学者Sugeno首次提出模糊测度的概念;1984年，WANG Z Y[1]首次提出了较弱的“自连续”与“零可加”的重要概念;1989年，哈明虎等[2]研究了模糊测度与其收敛性质;1990年，WU C X等[3]提出了（G）模糊积分的概念并讨论了它的性质;1998年，王贵君等[4]研究了K-拟可加模糊积分的零可加性和绝对连续性;2000年，MARICHAL J L[5]将Sugeno积分作为聚合函数，给出其一些公理;2003年，GRABISCH M[6]给出了对称Sugeno积分的定义，并比较研究了其与Choquet积分的相似性;2005年，CHAKRABORTY C等[7]阐述了模糊数模糊距离测量的理论发展;同年，MESIAR R[8]对一般的和正则的模糊积分进行了研究，对其性质进行了总结;2008年，李宏伟[9]进一步讨论了K-拟可加模糊积分的自连续性和零可加性等性质之间的关系;2010年，HU BAOQING等[10]研究了可信性测度上的模糊积分，并讨论了其积分的性质。

2014年，周彩丽[11]做了集值与模糊值测度、积分以及度量空间的相关研究;2016年，張倩等[12]通过实际例子对模糊综合评价中七种常见的模糊算子进行了比较分析;2018年NAGALINGAM R[13]针对模糊集合的运算给出了一些新型算子，并证明了其与原有算子相似的性质;同年，刘娜[14]给出了模糊拟乘算子，并对模糊概率积分进行了新定义，验证其满足的性质并应用到电池的健康评估上;2019年，岳娜等[15]给出了基于Sugeno积分形式的犹豫模糊算子，对其满足的性质进行了证明;给出基于Sugeno积分形式的犹豫模糊多属性决策方法，并实例验证在实际问题中的应用;2020年，BELIAKOV G等[16]研究了Sugeno积分的拟合形式，其积分形式可以很好的应用到数据的预测及分析中。

本文针对模糊数学、模糊测度及积分的相关研究，给出了一种非可加测度的定义，设计了一对泛化能力较强的算子，即λ模糊拟积算子和λ模糊拟和算子，并证明其满足的条件，在模糊拟积概率积分的定义下，对其满足的定理进行进一步研究。

1 预备知识

首先给出模糊测度及其积分和模糊算子的相关定义和定理。

模糊测度的定义：

定义1 设X为非空集合，F为由X子集构成的σ-代数，集函数μ：F→[0，∞）是（X，F）上的一个模糊测度，当且仅当满足以下条件：

1）μ（）=0;

2）（单调性）

A，B∈F，ABμ（A）≤μ（B）;

3）（下连续性）

A1A2…An…，An∈F ，∪∞n=1An∈F，

n=1，2，…，μ（∪∞n=1An）=limn→∞μ（An）;

4）（上连续性）

A1A2…An…，An∈F，∩∞n=1An∈F，

n=1，2，…，且n0使得μ（An0）<∞μ（∩∞n=1An）=

limn→∞μ（An）。

当满足1），2），3）时，μ称为下半连续模糊测度;当满足1），2），4）时，μ称为上半连续模糊测度。

Sugeno模糊积分的定义如下：

定义2 设（X，F，μ）为模糊测度空间，A∈F，f为可测函数，μ为模糊测度，则有

（S）∫Afdμ=supα∈[0，∞）[α∧μ（Fα∩A）]

称∫Afdμ为f在A上关于μ的Sugeno模糊积分。

T范数与S范数的定义及性质如下：

定义3 映射T：[0，1]×[0，1]→[0，1]，若a，b，c，d∈[0，1]，满足下列条件：

1）交换律：T（a，b）=T（b，a）;

2）结合律：T（a，T（b，c））=T（T（a，b），c）;

3）单调性：若a≤c，b≤dT（a，b）≤T（c，d）;

4）边界条件：T（a，1）=a。

则称T为T三角模，也称为T范数。

定义4 映射S：[0，1]×[0，1]→[0，1]，若a，b，c，d∈[0，1]，满足下列条件：

1）交换律：S（a，b）=S（b，a）;

2）结合律：S（a，S（b，c））=S（S（a，b），c）;

3）单调性：若a≤c，b≤dS（a，b）≤S（c，d）;

4）边界条件：S（a，0）=a。

则称S为S三角模，也称为S范数。

定理1 三角范算子T和S是对偶算子，即a，b∈[0，1]，S（a，b）=1-T（1-a，1-b）成立。

Sugeno积分满足的性质如下：

定理2 设A∈F，f，f1，f2为可测函数，则Sugeno积分满足的性质如下：

1）如果μ（A）=0，则有（S）∫Afdμ=0;

2）如果（S）∫Afdμ=0，则有

μ（A∩{x|f（x）>0}）=0;

3）如果f1≤f2，则有（S）∫Af1dμ≤（S）∫Af2dμ;

4）如果AB，则有（S）∫Afdμ≤（S）∫Bfdμ;

5）（S）∫A∩Bfdμ≤（S）∫Afdμ∧（S）∫Bfdμ;

6）（S）∫A∪Bfdμ≥（S）∫Afdμ∨（S）∫Bfdμ;

7）a∈[0，∞），（S）∫Afdμ=a∧μ（A）;

8）a∈[0，∞），（S）∫A（f+a）dμ≤（S）∫Afdμ+（S）∫Aadμ;

9）（S）∫Afdμ=（S）∫fχAdμ，其中χA是A的特征函数;

10）（S）∫A（f1∧f2）dμ≤（S）∫Af1dμ∧（S）∫Af2dμ;

11）（S）∫A（f1∨f2）dμ≥（S）∫Af1dμ∨（S）∫Af2dμ。

2 主要结果

首先，给出一种非可加测度的定义，其满足F-可加性。

定义5 设X是一个非空集合，F是由X的若干经典子集组成的σ-代数，集函数μ∶F→[0，1]称为（X，F）的一个F上连续非可加测度，当且仅当满足以下条件：

1）μ（）=0;

2）（F-可加性）A，B∈F，A∩B=，有μ（A∪B）=μ（A）∨μ（B）;

3）（上连续性）

{An}F，A1A2…An…，∩∞n=1An∈F，n=1，2，…，μ（∩∞n=1An）=limn→∞μ（An）。

定義6 设X是一个非空集合，F是由X的若干经典子集组成的σ-代数，集函数μ∶F→[0，1]称为（X，F）的一个F下连续非可加测度，当且仅当满足以下条件：

1）μ（）=0;

2）（F-可加性）A，B∈F，A∩B=，有μ（A∪B）=μ（A）∨μ（B）;

3）（下连续性）

{An}F，A1A2…An…，∪∞n=1An∈F，

n=1，2，…，μ（∪∞n=1An）=limn→∞μ（An）。

例1 设X=（-∞，∞），

μ（E）=0.3，E={5}

0，E=

1，E≠{5}，，

易证μ是F下连续非可加测度。

定义7 若μ既是F上连续非可加测度，又是F下连续非可加测度，则称μ为（X，F）上的F连续非可加测度。

定理3 若μ为F上（或下）连续非可加测度，且满足μ（A）+μ（Ac）=1，则μ为F下（或上）连续非可加测度。

证明：若μ为F上连续非可加测度，只需证μ满足下连续性即可。

由于{An}F，A1A2…An…，n=1，2，…，则

A1cA2c…Anc…，n=1，2，…，

又因为limn→∞μ（Anc）=μ（limn→∞Anc）=μ（∩∞n=1Anc），且

μ（A）+μ（Ac）=1，可知

limn→∞μ（An）=1-limn→∞μ（Anc）=1-μ（∩∞n=1Anc）=

1-μ（（∪∞n=1An）c）=μ（∪∞n=1An）。

则μ为F下连续非可加测度。

若μ为F下连续非可加测度，则μ满足上连续性同理可证。

定理4 设μ为F上（或下）连续非可加测度，则μ是单调的。

证明：若A，B∈F，且AB，则有

B=A∪（B-A）且A∩（B-A）=

由定义5可知

μ（B）=μ（A∪（B-A））=μ（A）∨μ（B-A）≥μ（A）。

则μ是单调的。

基于对模糊数学中模糊算子的学习，改进了原本的Einstein算子，下面给出λ模糊拟积算子和λ模糊拟和算子的定义。

定义8 设映射T：[0，1]×[0，1]→[0，1]，对于a，b∈[0，1]，λ∈[0，+∞]，构造λ模糊拟积算子：a^b=ab1+λ（1-a）（1-b）。

注：由a，b∈[0，1]，λ∈[0，+∞]，可轻易证得

a^b=ab1+λ（1-a）（1-b）∈[0，1]。

定理5 算子^为[0，1]上的T-模，a，b，c，d∈[0，1]，须满足T-模中的4个基本条件：

1）交换律：T（a，b）=T（b，a）;

2）结合律：T（T（a，b），c）=T（a，T（b，c））;

3）单调性：若a≤c，b≤d，则T（a，b）≤T（c，d）;

4）边界条件：T（a，1）=a。

证明：1）a，b∈[0，1]，有

a^b=ab1+λ（1-a）（1-b）=b^a;

2）（a^b）^c=（a^b）c1+λ（1-a^b）（1-c）=

abc（1-a）（1-b）（λ2-λ2c+λ）+（ab-1）（λc-λ）+1=

a^（b^c）;

3）a，b，c，d∈[0，1]，a≤c，b≤d，有ab≤cd，（1-a）（1-b）≥（1-c）（1-d）。

又因为λ∈[0，+∞]，则

1+λ（1-a）（1-b）≥1+λ（1-c）（1-d）。

有11+λ（1-a）（1-b）≤11+λ（1-c）（1-d）。

则ab1+λ（1-a）（1-b）≤ab1+λ（1-c）（1-d）≤cd1+λ（1-c）（1-d）。

4）a∈[0，1]，a^1=a1=a。

因此^满足T-模条件，即构造的λ模糊拟积算子：a^b=ab1+λ（1-a）（1-b）成立。

定理6 设T三角模为λ模糊拟积算子a^b=ab1+λ（1-a）（1-b），则：

1）（a∨b）^c=（a^c）∨（b^c）;

2）a^0=0;

3）{an}，{bn}[0，1]且limn→∞an=a，limn→∞bn=b，则limn→∞（an^bn）=a^b。

证明：1）（a∨b）^c=（a∨b）·c1+λ（1-a∨b）（1-c）;

（a^c）∨（b^c）=ac1+λ（1-a）（1-c）∨bc1+λ（1-b）（1-c）;

可知无论（a∨b）=b或（a∨b）=a都有（a∨b）^c=（a^c）∨（b^c）成立。

2）a^0=a·0=0。

3）limn→∞（an^bn）=limn→∞anbn1+λ（1-an）（1-bn）=

limn→∞anlimn→∞bn1+λ（1-limn→∞an）（1-limn→∞bn）=a^b。

定义8 构造的λ模糊拟积算子满足T范数的条件，由此可由定理1计算出其对偶算子，即a，b∈[0，1]，S（a，b）=1-T（1-a，1-b）=1-（1-a）（1-b）1+λ[1-（1-a）][1-（1-b）]=a+b+（λ-1）ab1+λab，即以下定义的λ模糊拟和算子。

定义9 设映射S：[0，1]×[0，1]→[0，1]，对于a，b∈[0，1]，λ∈[0，+∞]，构造λ模糊擬和算子：a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab。

注：需证明a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab∈[0，1]，证明如下：

证明：先证a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab≥0。

因为a，b∈[0，1]，λ∈[0，+∞]，则1+λab≥0，只需证a+b+（λ-1）ab≥0。

又a，b∈[0，1]，则a+b≥ab。

又λ∈[0，+∞]，则ab≥（1-λ）ab。

即a+b≥ab≥（1-λ）ab。

则a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab≥0。

下面证a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab≤1，只需证a+b+（λ-1）ab≤1+λab，即a+b-ab≤1。

又a，b∈[0，1]，则a+b-ab≤1恒成立。

即a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab≤1成立。

则a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab∈[0，1]。

定理7 算子^为[0，1]上的S-模，a，b，c，d∈[0，1]，须满足S-模中的4个基本条件：

1）交换律：S（a，b）=S（b，a）;

2）结合律：S（S（a，b），c）=S（a，S（b，c））;

3）单调性：若a≤c，b≤d，则S（a，b）≤S（c，d）;

4）边界条件：S（a，0）=a。

证明：1）a，b∈[0，1]，有

a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab=b^a;

2）（a^b）^c=a+b+（λ-1）ab1+λab^c=

（λc-λ+1）[a+b+（λ-1）ab]+（1+λab）c1+λ（ab+ac+bc）+λabc（λ-1）=

a^（b^c）;

3）a，b，c，d∈[0，1]，a≤c，b≤d，则-a≥-c，-b≥-d。

即1-a≥1-c，1-b≥1-d。

由定理5可知算子T是单调的，则T（1-c，1-d）≤T（1-a，1-b）。

即1-T（1-c，1-d）≥1-T（1-a，1-b）。

由定理1可知S（a，b）=1-T（1-a，1-b）。

则S（a，b）≤S（c，d）。

4）a∈[0，1]，a^0=a1=a。

因此^满足S-模条件，即构造的λ模糊拟和算子：a^b=a+b+（λ-1）ab1+λab成立。

注：当λ=0时，上述算子退化为普通的数乘与加法运算;当λ=1时，上述算子退化为Einstein算子。

定义2中的Sugeno模糊积分采用的是模糊测度与扎德算子之间的运算，本文设计的λ模糊拟积算子满足T-模条件，故可将模糊拟积算子应用到F连续非可加测度空间上，以此对模糊拟积概率积分的性质进行研究，丰富了模糊测度的理论。

定义10 给定F连续非可加测度空间（X，F，μ），f∶X→[0，1]是可测函数，A∈F，其中μ是F连续非可加测度，^为λ模糊拟积算子，则∫Afdμ=supα∈[0，1][α^μ（A∩Nα（f））]，称∫Afdμ为f在A上关于μ的模糊拟积概率积分。

其中Nα（f）={x|f（x）≥α，x∈X}（α∈[0，1]），当积分存在时，称f在A上可积，记L1+（X）为X上全体非负可积函数构成的集合。

下面研究将∫Afdμ整体看成一个集函数，当集合A或函数f分别改变时，研究其满足的性质。

定理8 设f∶X→[0，1]是可测函数，μ为F连续非可加测度，A∈F，∫Afdμ为f在A上的模糊拟积概率积分，当函数f改变时，设vf=∫Afdμ，则有：

1）如果f1≥f2，则vf1≥vf2;

2）vc+f≤vc+vf，其中c∈[0，1];

3）对于c∈[0，1]，有vc=c^μ（A）。

证明：1）f1，f2是可测函数，由定义10可知，当f1≥f2，有

vf1-vf2=∫Af1dμ-∫Af2dμ=

supα∈[0，1]αf11+λ（1-a）（1-f1）-αf21+λ（1-a）（1-f2）=

supα∈[0，1]α（f1-f2）+λα（1-a）（f1-f2）[1+λ（1-a）（1-f1）][1+λ（1-a）（1-f2）]≥0。

所以vf1≥vf2。

2）α∈[0，1]，Nα（c+f）=Nα（f），α>cX，α≤c，

有

vc+f=∫A（c+f）dμ=supα∈[0，c][α^μ（A∩Nα（f））]+

supα∈（c，1][α^μ（A∩Nα（f））]≤supα∈[0，c][α^μ（A）]+

supα∈（c，1][α^μ（A∩Nα（f））]=∫Acdμ+∫Afdμ=vc+vf。

即vc+f≤vc+vf。

3）α∈[0，1]，Nα（c）=，α>cX，α≤c，有

vc=∫Acdμ=supα∈[0，1][α^μ（A∩Nα（c））]=c^μ（A）

则有vc=c^μ（A）。

定理9 设f是可测函数，μ为F连续非可加测度，A∈F，∫Afdμ为f在A上的模糊拟积概率积分，当集合A改变时，设v（A）=∫Afdμ，则有：

1）若μ（A）=0，则v（A）=0;

2）如果AB，则有v（A）≥v（B）;

3）v（）=0;

4）若A，B∈F，A∩B=，有v（A∪B）=v（A）∨v（B）;

5）v（A）是零可加的;

6）{An}F，A1A2…An…，∪∞n=1An∈F，n=1，2，…，有v（∪∞n=1An）=limn→∞v（An）;

7）{An}F，A1A2…An…，∩∞n=1An∈F，n=1，2，…，有v（∩∞n=1An）=limn→∞v（An）。

证明：1）若μ（A）=0，则v（A）=∫Afdμ=supα∈[0，1][α^0]=0。

2）因为AB，则α∈[0，1]，有（A∩Nα（f））（B∩Nα（f））。

由定理4μ的单调性知μ（A∩Nα（f））≥μ（B∩Nα（f））。

所以v（A）=∫Afdμ≥∫Bfdμ=v（B）。

3）v（）=supα∈[0，1][α^μ（φ∩Nα（f））]=

supα∈[0，1][α^μ（）]=supα∈[0，1][α^0]=0。

4）v（A∪B）=∫A∪Bfdμ=

supα∈[0，1][α^μ（（A∪B）∩Nα（f））]=

supα∈[0，1][α^μ（（A∩Nα（f））∪（B∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][α^（μ（A∩Nα（f））∨μ（B∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][（α^μ（A∩Nα（f））∨（α^μ（B∩Nα（f））]=

supα∈[0，1]（α^μ（A∩Nα（f））∨supα∈[0，1]（α^μ（B∩Nα（f））=

v（A）∨v（B）。

5）若A，B∈F，A∩B=，v（A）=0，則

v（A）=∫Afdμ=supα∈[0，1][α^μ（A∩Nα（f））]=0

即α^μ（A∩Nα（f））=0。

则v（A∪B）=supα∈[0，1][α^μ（（A∪B）∩Nα（f））]=

supα∈[0，1][α^μ（（A∩Nα（f））∪（B∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][α^（μ（A∩Nα（f））∨μ（A∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][（α^μ（A∩Nα（f））∨（α^μ（B∩Nα（f））]=

supα∈[0，1][α^μ（B∩Nα（f））]=v（B）。

即零可加性成立。

6）{An}F，A1A2…An…，∪∞n=1An∈F，n=1，2，…，则v（An）=∫Anfdμ。

由2）可知∫A1fdμ∫A2fdμ…∫Anfdμ…，有v（A1）v（A2）…v（An）…，则limn→∞v（An）存在。

v（∪∞n=1An）=supα∈[0，1][α^μ（∪∞n=1（An∩Nα（f）））]=

supα∈[0，1][α^μ（limn→∞（An∩Nα（f）））] =

supα∈[0，1]limn→∞[α^μ（An∩Nα（f））]=

supα∈[0，1]supn→∞[α^μ（An∩Nα（f））]=

supn→∞supα∈[0，1][α^μ（An∩Nα（f））]=

supn→∞v（An）=limn→∞v（An）。

7）类似于性质6）的证明，同理可证。

注;由定理9中的3）、4）、6）和7）可知v（A）是F连续非可加测度。若μ为模糊测度，则在λ模糊拟积算子的作用下，其积分依旧满足定理9中的2）、3）、6）和7），则此时v（A）为模糊测度。

3 结 论

本文给出了F连续非可加测度的定义;给出了一对λ模糊算子，其具有参数可调，泛化能力较强的特点;在F连续非可加测度空间下，给出了模糊拟积概率积分的定义，将其积分整体看作一个集函数，验证其满足的性质及定理，证明其也是F连续非可加测度，以此对模糊测度的性质进行了补充。

参 考 文 献：

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（编辑：温泽宇）

收稿日期： 2020-09-30

基金项目： 四川省科技计划项目（2016JZ0014-1）;黑龙江省自然科学基金（A201214）.

作者简介：

赵 辉（1963—），男，教授，硕士研究生导师;

张绍鑫（1995—），男，硕士研究生.

通信作者：

张小雪（1995—），女，硕士研究生，E-mail：2365732041@qq.com.

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