利用Geogebra辅助教学——“对椭圆的一个性质的再探究”教学设计及反思

张艾楠

（黑龙江省实验中学 黑龙江 150000）

一、教学设计

为严谨探究，本节课所提直线斜率均存在且不为零。

（一）教学目标

1.使学生在掌握圆锥曲线概念、性质的基础上能够运用“数形结合”“几何法”等方法求解圆锥曲线的定值问题；

2.通过类比椭圆中的斜率之积为定值，引导学生逆向、类比探究问题，使学生体会“提出猜想—验证猜想—证明猜想”的研究过程，提高学生解决综合问题的能力；

3.使学生通过研究椭圆中定值与定点间的关系，理解事物间既有联系又有区别的辩证观点。提高学生逻辑推理、数学运算的能力。

（二）教学重点

教学重点为通过椭圆中直线斜率乘积为定值推出斜率间的其他关系。

（三）教学难点

教学难点为如何引导学生由已知性质类比联想其他性质。

（四）教学方法

教学方法主要是问题化和探究式教学。

（五）教学手段

教学手段包括多媒体、PAD教学。

（六）教学过程

1.创设情境

自主预习：

问题2：若将问题1中的长轴顶点A1,A2改为短轴顶点B1,B2，则kPB1与kPB2还存在上述关系吗？

问题3：观察上述两个问题中的A1,A2,B1,B2位置的特殊性，你能否提出其他猜想呢？

图1

利用PAD展示学生预习结果：

学生可能出现的回答：

（3）猜想1：若两点关于坐标轴对称，与椭圆上另一个动点斜率的乘积为定值。

猜想2：若两点关于原点对称，与椭圆上另一个动点斜率的乘积为定值。

法1利用椭圆方程，分别替换两点的纵坐标，达到消元的目的。法2利用椭圆方程作差，整体消元。

2.问题驱动

问题4：由刚才研究的三个问题，你能总结出什么结论?

生：由kPA1×kPA2=-3/4，可得P A2的斜率范围是[-3/8,-3/4]。

师：事实上，这道高考题就是以我们刚才研究的结论为背景，将对称的两点特殊设为长轴顶点。若没有上述性质，计算起来较为复杂。借由性质，我们就可以很快解决这道题。

设计意图：用一道具体的高考题做引，让学生体会上述性质的实用性。

学生可能出现的回答（如图2）：

猜想2：过椭圆上一点作两条直线，若斜率乘积为λ，则交点连线经过定点。利用Geogebra验证猜想。

图2

设计意图：引导学生类比刚总结的性质并进行进一步的猜想，通过逆命题、由特殊到一般两个方向进行猜想，并用PAD验证，深化学生对性质的理解。

问题6：刚才我们研究的是斜率乘积为定值时，可以推出直线经过定点。两条直线之间能否有其他关系呢？你又能给出什么猜想吗？

生：斜率和、差、比值是定值。

教师在黑板上分别演示三种猜想。当斜率比值λ＞0且λ≠1时或斜率之差λ为定值时，出现椭圆的包络线（如图3）。

图3

当斜率比值λ＜0且λ≠-1时，出现双曲线的包络线（如图4）。

图4

当斜率之和λ是定值且λ≠0时，直线仍过定点（如图5）。

图5

当斜率比值λ=-1或斜率之和λ=0时，得到一组平行直线（如图6）。

图6

3.知识应用

教师借这道高考题，引导学生对上述性质加以验证。

4.课堂小结

（1）知识小结：本节课对椭圆上对称点与另一点连线斜率之积为定值这一性质进行了发散探究，得到了一些相关结论。且所得结论仅通过猜想和利用Geogebra验证，并未严谨地证明，望学生课后严谨证明。

（2）数学思想方法：①数与形的结合，用代数的方法解决几何问题；②归纳猜想、类比推理。

（七）板书设计

二、教学反思

本节课通过类比椭圆中的斜率之积为定值这一性质，引导学生逆向、类比探究问题，使学生体会“提出猜想—验证猜想—证明猜想”的研究过程，提高学生解决综合问题的能力。教师利用数学中的一个性质来创设情境，引发学生的一系列问题，并通过PAD教学，最大限度地发挥了信息化教学为课堂服务的作用，以学生为主体，引导学生通过动手实践作图，了解数之间的特殊关系，发现形具有一定的特殊性，使学生深刻体会数学中的一种重要思想方法——数形结合[1]。同时，本节课在设计的时候确切落实了数学学科的核心素养，从椭圆的长短轴定点到椭圆上任意两点，从定值到定点，从斜率乘积到斜率和、差、比值，提升了学生的逻辑推理能力。